精品解析：浙江省杭州第二中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

杭州二中2024学年第一学期高二年级期末考 数学试卷 命题：贺晟 校对：陈炜 审核：金洁 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 4与9的等比中项为（ ） A. 6 B. C. D. 6.5 2. 双曲线渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知的图象如图，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 设等差数列的前项和为，已知．，则等差数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9 8. 已知数列满足，，则的最大值为（ ） A. 420 B. 380 C. 342 D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 一个函数的极大值一定大于极小值 B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C. 函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 10. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线为 B. 周长大于 C. 抛物线上到直线距离为1的点共有2个 D. 若以为直径的圆过点，则直线的斜率为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 13. 若单调递增数列满足，，则的取值范围是________． 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点恰为，曲线与在第一象限的交点为．若，则双曲线的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程． 16. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 17. 已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3． （1）求的方程； （2）设点，过直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” （1）分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． （2）数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州二中2024学年第一学期高二年级期末考 数学试卷 命题：贺晟 校对：陈炜 审核：金洁 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 4与9的等比中项为（ ） A. 6 B. C. D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项的概念计算即可. 【详解】设4与9的等比中项为，则，所以或. 故选：C 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线方程写出渐近线方程即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 3. 已知的图象如图，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由图可知，曲线在点处的切线的斜率比曲线在点处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知， 故选：B. 4. 已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程的特点，可得且，将直线方程与椭圆方程联立，令即可求出答案. 【详解】根据椭圆方程的特点，可得且， 将直线与椭圆联立得， 即， 因为直线与椭圆有交点，所以， 解得或， 又且，所以的取值范围是. 故选：D. 5. 已知点是曲线上的任意一点，曲线在点处的切线的倾斜角为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，求出原函数的导函数，依题得到，由二次函数的性质和正切函数的图象性质即得的取值范围. 【详解】设点，由求导得， 依题意，， 因，故得，又，故得. 故选：B. 6. 设等差数列前项和为，已知．，则等差数列的公差为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列基本量的计算公式求解. 【详解】因为为等差数列，所以. 所以，又，所以或. 若，则； 若，则. 故选：C 7. 已知圆，圆，点在圆上，点在圆上，点在轴上，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，先得到，作圆关于轴的对称圆，则得，则，即当三点共线时，取得最大值. 【详解】 如图，由圆，圆可得，两圆半径依次为， 因点是轴上一点，点分别是圆和圆上一点， 则 ， 如图作圆关于轴的对称圆，其圆心为，半径为， 由图知，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即的最大值为9. 故选：D. 8. 已知数列满足，，则的最大值为（ ） A. 420 B. 380 C. 342 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】条件可变形为①，将代入递推公式可得或；当时，②. ①-②化简变形可得或.当时，或； 当时，，故数列是以为首项，公差为2的等差数列.由等差数列通项公式可得，再利用累加法即可求解. 【详解】，①. 当时，，解得或. 当时，②. ①-②得， 或. 当时，或； 当时，， ∴数列是以为首项，公差为2等差数列. 要使取得最大值，则，， 由等差数列通项公式可得. ，，，…，， 以上式子相加得 ， . 故的最大值为420. 故选：A. 【点睛】本题考查求数列通项公式与数列求和，解题关键是当时，两条件式作差变形后可得或.对第二种情况变形后利用等差数列通项公式与累加法即可求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 一个函数的极大值一定大于极小值 B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点 C. 函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到 D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足 【答案】ACD 【解析】 【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断. 【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定， 比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误； 对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确； 对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误； 对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前项和为.正项等比数列的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 不可能是等差数列 B. 若，则 C. 是等差数列 D. 若单调递减，则单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】通过举反例的方法判断A、D；在等差数列中，由得，再利用等差数列通项的性质可判断B；利用等差数列的定义结合等差数列的前项和公式及等比数列的定义即可判断C. 【详解】对于A，当等比数列的公比时，，是等差数列.故A不正确. 对于B，在等差数列中中，由得， ∴，即，故B正确； 对于C，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，， 则为常数. 所以是等差数列；故C正确； 对于D，令，显然单调递减，单调递减，故D不正确. 故选：BC. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的准线为 B. 的周长大于 C. 抛物线上到直线距离为1的点共有2个 D. 若以为直径的圆过点，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据抛物线方程求准线方程，判断A的真假；根据抛物线的定义可求周长的最小值，判断B的真假；根据直线与抛物线的交点个数判断C的真假；根据可求直线的方程，判断D的真假. 【详解】如图： 对A：因为抛物线：，所以其准线方程为：，故A正确； 对B：过作与准线垂直，垂足为，交抛物线与点， 则，当且仅当P与C重合时等号成立，且. 所以周长的大于等于， 当点坐标时取“”，但此时与抛物线只有一个交点， 故等号不可取，故的周长大于，故B正确； 对C：因为直线：. 到直线的距离为1的点的轨迹方程设为：. 由或. 当时，由. 因为，所以方程有两个不同的解； 当时，由. 因为，所以方程有两个不同的解. 所以抛物线上到直线距离为1的点共有4个，故C错误； 对D：设直线：，即，代入， 整理得：，A在抛物线内部，必有， 设，，则：，， 所以，. 因为以为直径的圆过点，所以，即， 所以，解得：. 所以直线：，其斜率为：，故D正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：涉及抛物线中线段和最小的问题，一般要借助抛物线的定义转化为点到直线的距离求最小值. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据导数的运算求，再把代入求值. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 13. 若单调递增数列满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求的取值范围. 【详解】由，可得， 两式相减可得：， 又，所以. . 因为数列为递增数列， 所以，故. 故答案为： 14. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点恰为，曲线与在第一象限的交点为．若，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接，在直角中，通过抛物线和双曲线的定义，利用勾股定理构建等式关系，计算求解. 【详解】如图，过作抛物线准线的垂线，垂足为，连接；设，抛物线方程为， 则通过抛物线定义可得，通过双曲线定义可得,. 直角中，，,. 根据抛物线方程， ，即，，故解方程得. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆． （1）求的取值范围； （2）若，过作圆的切线，求切线的方程． 【答案】（1） （2），或 【解析】 【分析】（1）根据二元二次方程表示圆可得答案； （2）当斜率不存在时，可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离等于半径即可求解. 【小问1详解】 因为方程表示圆， 所以，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 若，则圆， 即，则圆心为，半径为， 当斜率不存在时，直线方程为， 因为圆心到直线方的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线距离为， 解得，所以切线方程为， 即. 综上所述，切线的方程为，或． 16. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式； （2）利用“错位相减法”求数列的前项的和. 【小问1详解】 当时，. 当时，，用代替，可得：. 两式相减得：， 又， 所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 . 【小问2详解】 ， 所以： 两式相减得：， 所以： . 17. 已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3． （1）求的方程； （2）设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的最大值为，结合焦点三角形的周长可得出关于的方程组，解得后再求出即得； （2）设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，然后代入斜率公式化简，由不等式的性质即可求解． 【小问1详解】 由于，所以， 由于，故当时，此时的最大值为， 解得，又，解得，则， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设，又， 当直线不与轴平行时，设直线方程为， 由得， 则，， 所以 ， 由于，故， 当直线与轴平行时，则直线方程为，此时， 综上可得的取值范围为， 18. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； （3）若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）写出过的图象上一点的切线方程，根据切线过定点列方程，根据方程有2解求参数的取值范围. （3）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设辅助函数（），求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【小问1详解】 因为，，所以，. 因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. 【小问2详解】 设切点，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以. 整理得：（） 设（），则（）. 由，由. 所以在上递增，在上递减. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点. 因为，，， 所以. 即所求的取值范围为：. 【小问3详解】 当时，，，. 设，则. 假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设（）， 则（当且仅当时取“”）. 但，所以在恒成立. 所以在上单调递增，又. 所以在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件点不存在. 【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围. 19. 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”．若各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列” （1）分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由： A：1，2，3，4；B：2，，，，，． （2）数列一共项，且满足，，． （i）求证：当和时，都存在“完美互补子列”； （ii）设共有对“完美互补子列”，求证：． 【答案】（1）存在“完美互补子列”，不存在. （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据“完美互补子列”的概念和性质进行判断即可. （2）先利用完美互补子列的定义证明当和时，都存在“完美互补子列”，再分类讨论证明. 【小问1详解】 对A选项：取：，；取：，. 则和是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”. 对B选项：因为， 假设该数列存在一对“完美互补子列”和， 则和的各项和为，但中各项均为偶数， 所以和的各项和为不可能成立. 故数列2，，，，，不存在“完美互补子列”. 【小问2详解】 （i）当时，因为， 所以…. 不妨令中的各项为：，； 中的各项为：. 则与中所有项的和均为. 所以时，数列存在“完美互补子列”. 当时，只需将中，中的移到中， 将放入中，将放入中，此时与中的和均在原来的基础上增加了， 所以，数列存在“完美互补子列”. （ii）当时，数列有对“完美互补子列”， 对的一对“完美互补子列”，比如： 中的各项为：，； 中的各项为：. ①将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ②将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； ③将中的移到中，将放入中，将放入中， 此时与中的和均在原来的基础上增加了，可得的一对“完美互补子列”； 所以时的一对“完美互补子列”，时，都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的第二问中，证明的方法，就是说明时的一对“完美互补子列”，时都至少有三对“完美互补子列”与之对应. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $