6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例【8大题型】-2024-2025学年高一数学必修第二册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 · 考点三：几何图形中的计算 · 考点四：测量距离问题 · 考点五：测量角度问题 · 考点六：测量高度问题 · 考点七：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点八：正、余弦定理在几何中的综合性问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：几何图形中的计算 7．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 8．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，已知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 9．（21-22高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 题型四：测量距离问题 10．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 12．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 题型五：测量角度问题 13．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 14．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 15．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 题型六：测量高度问题 16．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 17．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 题型七：求三角形面积最值或者范围问题 19．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 20．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型八：正、余弦定理在几何中的综合性问题 22．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 23．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 24．（23-24高一下·河南·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高一下·全国）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市采石矶景区，素有“明月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平高度且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为，且，则太白楼的高度为（    ）.    A． B． C． D． 27．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 28．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 29．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 二、多选题 32．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 33．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知的半径为为其内接三角形，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最大值为 C．若，则 D．若，则面积的最大值为 35．（23-24高一下·安徽·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（    ）    A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若是的中点，则的面积是面积的5倍 36．（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 三、填空题 37．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 38．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 39．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 40．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 四、解答题 41．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 42．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 43．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 44．（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 45．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4.3.3余弦定理、正弦定理在几何和生活应用举例 【考点梳理】 · 考点一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 · 考点二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 · 考点三：几何图形中的计算 · 考点四：测量距离问题 · 考点五：测量角度问题 · 考点六：测量高度问题 · 考点七：求三角形面积最值或者范围问题 · 考点八：正、余弦定理在几何中的综合性问题 【知识梳理】 知识一．几个专业术语 术语名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平宽度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 知识二　距离问题 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理， 再用余弦定理 知识三　高度问题 类型 简图 计算方法 底部可达 测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝a·tan C. 底部不可达 点B与C，D共线 测得CD＝a及C与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值. 点B与C，D不共线 测得CD＝a及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值. 【题型归纳】 题型一：正、余弦定理判定三角形的形状问题 1．（23-24高一下·福建龙岩·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，，则该三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据特殊角的三角函数值可得，即可结合正弦定理求解． 【详解】由，,则， 由，则， 由于，则， ，均为三角形的内角，，即， 故该三角形的形状是等腰三角形． 故选：B． 2．（23-24高一下·天津·阶段练习）在中，已知，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角. 故选：C 3．（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【答案】D 【分析】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【详解】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 题型二：求三角形的周长或者边长最值或范围问题 4．（23-24高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，角的对边分别为为的面积，，且，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求值域的问题. 【详解】， ， ∴，即，为锐角， ∴，又， 由正弦定理可得， 所以 ，其中，， 因为为锐角三角形， 所以，则， 即：， 所以，又， ∴，即， 故的周长的取值范围是. 故选：D. 5．（23-24高一下·宁夏石嘴山·期末）在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知式子化简得出角，再由余弦定理结合基本不等式求边长和范围即可. 【详解】由余弦定理得, 所以由正弦定理得, 所以, 所以， 所以, 可得 由余弦定理可得, 又因为基本不等式所以, 所以, 当且仅当时，取最大值2， 因为,所以, 所以. 故选：B. 6．（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【详解】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C 【点睛】方法点睛：求解三角形周长和面积的取值范围问题一般需将表达式转化为边或者角的式子，再利用三角函数性质或基本不等式即可求得取值范围. 题型三：几何图形中的计算 7．（23-24高一下·重庆·期末）某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中，，，现计划在工业园区外选择P处建一仓库，若，则CP的最大值为（    ）    A．6km B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据锐角三角函数可得，再在中利用余弦定理得到，再由三角恒等变换公式及三角函数的性质求出，即可得解． 【详解】设，， 则， 在中，， 在中， 所以当时，，， 所以最大值为． 故选：C． 8．（22-23高一下·江苏镇江·阶段练习）如图，平面四边形A､B､C､D，已知，，，，则A､B两点的距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正余弦定理计算即可. 【详解】由题意可知在中，有，， ，所以， 由正弦定理可得， 而， 故， 又， 在中，， 由正弦定理可得， 在中， 由余弦定理可得. 故选：B 9．（21-22高一下·福建泉州·期中）如图，在平面四边形中，，，，，，则（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】设，由正弦定理得，，两式相除即可求出. 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，化简得，故. 故选:C 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题. 题型四：测量距离问题 10．（23-24高一下·四川眉山·阶段练习）某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分别为，它们对应的山脚位置分别为，在山脚附近的一块平地上找到一点，（所在的平面与山体垂直），使得是以为斜边的等腰直角三角形，现从处测得到两点的仰角分和，若到的距离为1千米，则两个峰顶的直线距离为（    ）    A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】A 【分析】先求得，然后利用梯形的知识求得. 【详解】依题意可知，， ，由于是直角梯形， 所以千米. 故选：A 11．（23-24高一下·浙江杭州·期末）如图，计划在两个山顶间架设一条索道.为测量间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高，在同一水平面上选一点，在处测得山顶的仰角分别为和，且测得，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，在直角和直角中，分别求得和，再在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，可得， 且， 在中，可得， 在中，可得， 在中，由余弦定理得 ， 所以. 故选：C. 12．（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）阿蓬，土家语为“雄奇秀美”之意.阿蓬江为长江二级支流，乌江一级支流，阿蓬江国家湿地公园以河流湿地为主，跨黔江、酉阳两区县，黔江境内自古石城经官渡峡到神龟峡，还有丰富的支流水系，湿地生态系统完整，贯穿黔江境内多个A级景区，有着一江两岸秀美的湿地风光.如图为了测量湿地内A、B两点间的距离，观察者在同一平面内找到在同一条直线上的三点C、D、E，从D点测得，从C点测得，，从E点测得.若测得，，则A，B两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理和余弦定理以及角度和距离之间的关系计算可得答案. 【详解】在中，因为，， 所以，则． 在中，因为，， 所以， 由正弦定理得，可得． 在中，因为，，， 所以由余弦定理得， 得， 故选：B． 题型五：测量角度问题 13．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 14．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 15．（23-24高一下·浙江温州·期中）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为.若，山坡与地平面的夹角为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，在中，由正弦定理求出，在中，由正弦定理，再由，即可求解. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理得， 又， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 所以. 故选：. 题型六：测量高度问题 16．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 17．（2024·湖南·模拟预测）为测量塔的高度，因地理条件的限制，分别选择点和一建筑物的楼顶为测量观测点，已知点为塔底，在水平地面上，塔和建筑物均垂直于地面（如图所示）.测得，，在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为，则塔的高度约为（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】现从四棱锥中提取两个直角三角形和的边角关系，进而分别解出两个三角形边的长，求出塔AB的高度即可. 【详解】平面，平面， 过点作，交于点，则有，， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 则. 故选：B. 18．（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【答案】A 【分析】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【详解】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 题型七：求三角形面积最值或者范围问题 19．（2024·陕西·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则面积的最大值为（    ） A． B． C．12 D．15. 【答案】C 【分析】先利用正弦定理化边为角，可得出的关系，再利用余弦定理求出，进而可得出，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由，由正弦定理得，即， 所以， 由余弦定理得， 所以， 所以， 当，即时，取得最大值. 故选：C. 20．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用正弦定理求出角，再利用三角形面积公式结合正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换转化为三角函数求范围即可. 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 21．（22-23高一上·福建宁德·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，是半径上的动点，.则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用正弦定理可表示出，代入三角形面积公式，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦型函数最值求法可求得结果. 【详解】设，则， ，，，，， 在中，由正弦定理得：， ， ，， 当，即时，取得最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查几何图形中的面积最值的求解，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，结合三角恒等变换和三角函数值域的知识求解得到最值. 题型八：正、余弦定理在几何中的综合性问题 22．（23-24高一下·天津东丽·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积； (3)若锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知条件和正弦定理，将边化为角，利用三角函数关系即可求出A的大小； （2）结合余弦定理求出bc，从而可求面积； （3）结合正弦定理求出a，根据是锐角三角形求出B的范围，利用正弦定理用B表示b，将化为关于sinB的式子，利用对勾函数单调性即可求其范围. 【详解】（1）由及正弦定理得： ， 因为， 所以，又，， ，又，故； （2）由余弦定理，又， 所以，所以， 由可得， 故的面积； （3）由正弦定理可知，故， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 令，，， 由对勾函数的性质可知，当时，y单调递增；当，y单调递减； 当时，；当时，；当时，； 因为，所以， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第3小问解决的关键在于，利用锐角三角形的条件得到，从而得解. 23．（23-24高一下·山东青岛·期中）已知函数，若锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)在中，，其外接圆直径为（如图），，求和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化简函数，由，得到，即可求解； （2）由（1）知，可得，求得，结合，即可求解； （3）设，圆的半径为，利用正弦定理，列出方程求得的值，结合直角三角形的性质和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 因为，可得，即， 又因为，可得，所以，可得. （2）解：由（1）知，可得, 因为为锐角，所以，解得， 则， 因为，可得，所以， 所以的取值范围为. （3）解：因为为圆直径，所以且 设，可得，， 设圆的半径为，在中，可得， 在中，可得， 所以，即，可得， 又因为，解得， 所以， 又由， 所以， 四边形的面积为 . 24．（23-24高一下·河南·期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足，，且. (1)求角； (2)证明：； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用三角形的面积公式和已知条件，结合正弦定理化简求得，即可求得的值； （2）先利用正弦定理求得，，进而表示出，在结合正弦定理化简为角，化简运算，即可得证； （3）结合（2），利用三角恒等变换的公式，化简得到，再结合的范围，利用正弦函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 又因为，所以， 由正弦定理得， 又由， 所以， 即， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以. （2）证明：因为，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 在直角中，， 所以，所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 .    （3）解：由（2）知，，所以， 因为，所以， 所以, 因为，所以，所以， 故的取值范围为. 【高分演练】 一、单选题 25．（24-25高一下·全国）如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50m，，后，可以计算出A，B两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，, 所以， 在中，由正弦定理得, 即，解得. 所以A，B两点的距离为m. 故选：A. 26．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）太白楼，原名谪仙楼，位于安徽省马鞍山市采石矶景区，素有“明月江天贮一楼”的美誉.如图，为测量太白楼的高度MN，取与楼底端N处位于同一水平高度且共线的三点A，B，C，测得楼顶端M处的仰角分别为，且，则太白楼的高度为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设太白楼的高度为，解直角三角形，表示出， 利用余弦定理即可求得答案. 【详解】设太白楼的高度为， 由题意知在中，，则； 在中，，则； 在中，，则； 在中，， 在中，， 由于， 即，解得， 即太白楼的高度为， 故选：A 27．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，若，则此三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换可得求解. 【详解】由可得， 又， 所以， 由于为的内角，所以， 故为等腰三角形， 故选：B 28．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）在中，若，为的中点，，则面积的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得，即可利用面积公式得，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设，由于， 所以，故， 所以 ， 故当时，此时取最大值4，故面积的最大值为2. 故选：B 29．（23-24高一下·湖南株洲·期末）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦定理可得，再根据三角恒等变换可得，由三角形形状得出角的取值范围可得结果. 【详解】由及正弦定理得， 所以，得， 所以或（舍去），所以， 因为是锐角三角形，故，解得， 故，， . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用二倍角公式将化简得出对应表达式，由得出取值范围. 30．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在中，点，在边上，且满足：，，若，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为，则M为BC中点，两边平方化简得到；因为，则AN为角平分线，，化简得到．解出，代入面积公式即可. 【详解】如图，在中，设,      因为，则M为BC中点，两边平方得到， ， 即，化简 因为，则AN为角平分线，， 即，条件代入化简得， ，则，且， 联立解得，解得(负值舍去). 所以. 故选：D. 31．（23-24高一下·安徽六安·期末）的内角的对边分别为，且，，则（    ） A． B．的外接圆半径为 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围是 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB，利用余弦定理和基本不等式求出和的范围判断CD即可. 【详解】选项A，由可得， 又是的内角，， 所以，由正弦定理得， 因为中，所以，即， 所以，A说法错误； 选项B，设的外接圆半径为，因为， 所以由正弦定理得， 所以，解得，B说法错误； 选项C：由正弦定理可得，解得， 由余弦定理得，即，解得， 当且仅当时等号成立， 所以的面积，C说法错误； 选项D，由C知， 解得，当且仅当时等号成立， 由三角形的性质知， 所以，D说法正确； 故选：D 二、多选题 32．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，角所对的边分别为，下列说法正确的有（    ） A． B．若，则为锐角三角形 C．若，则 D．若，则为钝角三角形 【答案】ACD 【分析】作图分析，结合解直角三角形判断A；利用余弦定理判断B；利用正弦定理判断C；利用诱导公式以及余弦函数的单调性可判断D。 【详解】对于A，在中，作于D， 则,即，即，A正确； 对于B，由得， 结合，可知A为锐角，但不能确定B，C角的大小， 故不能确定为锐角三角形，B错误； 对于C，若，由正弦定理可得，则，C正确； 对于D，若，由于，则A为锐角； 若B为锐角，则，可得，则， 故为钝角三角形； 若B为钝角，则，可得，则，适合题意， 此时为钝角三角形； 综合以上可知为钝角三角形，D正确， 故选：ACD 33．（23-24高一下·广东佛山·期中）如图，为测量海岛的高度以及其最高处瞭望塔的塔高，测量船沿航线航行，且与在同一铅直平面内，测量船在处测得，，然后沿航线向海岛的方向航行千米到达处，测得，（，测量船的高度忽略不计），则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在中由正弦定理得求出可判断BA；求出，由正弦定理求出可判断C；在中，由正弦定理求出可判断D． 【详解】在中，，， ，由正弦定理得，， 即，所以，，故B正确； 且，故A错误； 故， 在中，，， 由正弦定理得，， 所以，故C错误； 对于D，在中，，， ，代入， 所以，故D正确． 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用正弦定理解三角形. 34．（23-24高一下·广东东莞·期末）已知的半径为为其内接三角形，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则周长的最大值为 C．若，则 D．若，则面积的最大值为 【答案】ABC 【分析】A选项，求出，利用向量数量积公式求出答案；B选项，由正弦定理得，由余弦定理得到，由基本不等式求出最值；C选项，根据，求出，故；D选项，由C选项可知，，，故，，所以，，由余弦定理得到，求出面积最大值. 【详解】A选项，，故， 则，A正确； B选项，由正弦定理得，故， 由余弦定理得，故， 即，解得， 当且仅当时，等号成立， 故周长的最大值为，B正确； C选项，若，则， 故， ，C正确； D选项，由C选项可知，， ，故， 因为，所以， 解得，因为为锐角，故， 由余弦定理得，故， 由基本不等式得，即， 当且仅当时，等号成立， 故，解得， 所以面积的最大值为，D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题， 常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案； ②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法； ③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值. 35．（23-24高一下·安徽·期末）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”．如图1，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．对于图2．下列结论错误的是（    ）    A．这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形 B．若，则 C．若，则 D．若是的中点，则的面积是面积的5倍 【答案】ACD 【分析】对于A选项：由，即可判断A；对于B选项：在中，利用正弦定理求得，进而可判断B；对于C选项：在中，设，利用余弦定理即可求得，进而可判断C；对于D选项：利用三角形的面积公式，可得，进而可判断D． 【详解】对于A，根据题意，题图2是由三个全等的针角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形， 故，所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形，故A错误； 对于B，在中，，所以， 而， 所以， 由正弦定理得，解得， 又因为，所以，故选项B正确； 对于C，不妨设， 在中，由余弦定理得， 即， 解得， 所以，故选项C错误； 对于D，若是的中点， ， 所以，故选项D错误． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：关键是利用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式进行分析，由此即可顺利得解. 36．（23-24高一下·四川内江·期末）已知的三个内角，，的对边分别是，，，且，则下列说法正确的是（    ） A．若点在边上，为角平分线且长度为，则 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．的取值范围是 D．若，且只有一解，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理与正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换可得，再根据角分线利用等面积法可判断A选项；结合转化法表示向量的模，再根据基本不等式可得面积的最值，判断B选项；根据三角恒等变换可得，根据三角函数性质可判断C选项；根据三角形解的情况可判断D选项. 【详解】由已知， 根据余弦定理可知，即， 再由正弦定理可得， 又，即，所以， 即，又，， 所以，， A选项：为角平分线，则，所以， 即， 即，则，A选项正确； B选项：由为边的中点，则， 即， 所以，即， 又，即，， 即，当且仅当时等号成立，B选项正确； C选项：由三角形可知 ， 又在中，， ，即， 所以，即，C选项正确； D选项：，且只有一解，则或，即或，D选项错误； 故选：ABC. 三、填空题 37．（23-24高一下·重庆·期末）如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【分析】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【详解】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 38．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，角B的平分线交AC于点D，则 . 【答案】 【分析】用三角形面积公式分别表示出，，面积，列出等式计算即可. 【详解】在中，， 又∵， ∴，∴. 故答案为： 39．（23-24高一下·四川泸州·期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则周长的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围. 【详解】在锐角中，，，，则， 由正弦定理， 得， ， 所， 由，得，而，则， 因此，所以周长的取值范围为. 故答案为： 40．（23-24高一下·上海闵行·期末）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理，某消毒装备的设计如图所示，为路面，为消毒设备的高，为喷杆，，，处是喷酒消毒水的喷头，且喷射角，已知，.则消毒水喷洒在路面上的宽度的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题知，底边上的高，又，可得，根据余弦定理和均值不等式得到，则计算可得答案. 【详解】 设中，定点到底边的距离为h， 已知，，，， 则 又， 则， 即， 在中，由余弦定理： ， 当且仅当时，等号成立， 故，而， 所以，则， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 41．（23-24高一下·浙江·期中）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. (1)求两点AC间的长度； (2)求山MN的高度. 【答案】(1) (2)200 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 【详解】（1）在中，因为，，， 所以， （2）在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 42．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)设为的中点，；求：①面积的最大值；②的最大值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合、的取值范围可得出、的关系，由此可得出角的值； （2）①由余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，再结合三角形的面积公式即可求得面积的最大值； ②由平面向量的线性运算可得出，由平面向量数量积的运算性质可得出，由余弦定理可得出，可得出、的表达式，结合基本不等式可得出关于的不等式，由此可解得的最大值. 【详解】（1）由余弦定理可得，所以，， 由得，整理可得， 由正弦定理可得， 即， 所以，， 所以，， 因为、、，所以，、、，有如下几种情况： ，即，矛盾； ，即，矛盾； ，可得，解得. （2）①由余弦定理、基本不等式可得， 即，当且仅当时，等号成立， 所以，， 故面积的最大值为； ②因为为边的中点，则，即， 所以，， 所以，， 又因为， 所以，，由①知， 可得，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为. 43．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 44．（23-24高一下·广东肇庆·阶段练习）成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道一侧规划一个三角形区域做绿化，如图，已知，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形． (1)若米，求的长； (2)绿化完成后，某游客在绿道的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从到，再从到，然后从到，最终返回点拍照．已知，求游客所走路程的最大值． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）记，由正弦定理得，可得由辅助角公式可得答案. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以米； （2）因为，所以，记， 由正弦定理得， 即， 所以， ， 其中， 所以当时，的最大值为米. 即游客所走路程的最大值为米. 45．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知的内角的对边为，且. (1)求； (2)若的面积为； ①为的中点，求底边上中线长的最小值； ②求内角的角平分线长的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意及正弦定理和余弦定理可得的值，进而可得角的正切值； （2）①由中线的向量表示，两边平方，可得中线的最小值； ②由等面积法可得角平分线的表达式，再由基本不等式可得的最大值． 【详解】（1）由正弦定理，得，即， 故，因为，所以， 所以，所以 （2）①由（1）知， 因为的面积为，所以，解得， 由于，所以 ， 当且仅当时，等号取得到，所以， 故的最小值为； ②因为为角的角平分线，所以， 由于， 所以， 由于，所以， 由于， 又，所以 由于，当且仅当时，等号取得到， 故，故， 故的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$