1.6.3解三角形应用举例（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 1.6.3解三角形应用举例 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.将实际问题转化为三角形问题。 2.灵活运用正弦定理和余弦定理解决实际问题。 难点 3 1.如何将复杂的实际问题抽象为数学模型。 2.在实际问题中正确选择正弦定理或余弦定理进行求解。 1.理解正弦定理和余弦定理在实际问题中的应用。 2.掌握如何将实际问题抽象为三角形问题，并运用正弦定理和余弦定理求解。 3.学会解决测量距离、高度、角度等实际问题。 新课导入 问题1：在日常生活中，我们经常会遇到一些需要测量距离、高度或角度的问题，比如测量一座山的高度、两座岛屿之间的距离等。这些实际问题如何用数学方法解决呢？ 问题2：回顾正弦定理和余弦定理的内容，思考它们在实际问题中的应用价值。 一、实际问题的数学建模 新课讲授 新课讲授 在解决一些与三角形有关的实际问题时，正弦定理及余弦定理起着非常重要的作用。 下面分别举例说明。 问题3：如何将这个问题转化为三角形问题？ 一、实际问题的数学建模 新课讲授 新课讲授 总结：通过正弦定理，可以将已知条件转化为三角形的边长关系， 从而求解未知距离。 二、测量高度问题 新课讲授 新课讲授 问题4：如何利用仰角关系求解高度？ 二、测量高度问题 新课讲授 新课讲授 总结：通过仰角和正切函数关系，可以求解高度问题。 三、航天测量问题 新课讲授 新课讲授 问题5：如何利用卫星的运行轨迹和时间求解距离？ 三、航天测量问题 新课讲授 新课讲授 三、航天测量问题 新课讲授 新课讲授 总结：通过余弦定理，可以解决航天测量中的距离问题。 学后总结 【感悟提升】　三角形中与距离有关问题的求解策略 (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解． (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决． 学后总结 【感悟提升】　　求距离问题的注意事项 (1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理． 12 学后总结 【感悟提升】　测量高度问题的一般步骤　 13 学后总结 【感悟提升】　　测量角度问题的基本思路 测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． 14 学以致用 15 学以致用 16 学以致用 17 学以致用 18 学以致用 4．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________． 30° 19 学以致用 20 课堂小结 余弦定理: 余弦定理推论: 正弦定理: 正弦定理的变式: 21 课堂小结 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 22 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 例9:如图1.6-10，货轮在海上以 的速度沿着南偏东 的方向航行， 货轮在点 处观测灯塔 在其南偏东 的方向上，航行半小时到达 点， 此时观测灯塔 在其北偏东 的方向上，求 点与灯塔 的距离。 解：在 中， ， ， ， 所以 。 由正弦定理得 因此， 点与灯塔 的距离是 。 例10:如图1.6-11，有一段河流，河的一侧是以 为圆心，半径为 的扇形区域OCD， 河的另一侧是一段笔直的河岸 。河边有一烟囱AB（不计 到河岸的距离）， 且OB的连线恰好与河岸 垂直，设OB与圆弧CD的交点为 。 已知扇形区域和河岸处于同一水平面， 在点 ，点 和点 处测得烟囱AB顶端的仰角分别为 ， 和 。 (1)求烟囱AB的高度 ； (2)如果要在CE间修一条直路，求CE (1)设烟囱AB的高度为hm, 因为 ， ， ， 所以 ， 。 又 ，所以 ，解得 。 (2)在 中， ， ，所以 。 由(1)知， 。 在 中， 。 所以在 中， 。 因此CE的长为10m。 例11:一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行， 每2h沿轨道绕地球旋转一圈。 假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站 点的正上空， 解：(1)如图，设人造卫星在12:03时位于 点，其中 。 则 。 在 中， ， 。 EMBED Equation.DSMT4 。 解得 。 因此，在12:03时，人造卫星与跟踪站相距约1950km， 则 。 由正弦定理得 。 故 ，即 。 所以，天线轴线的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64。 (2)在 中，因为 ， ， 根据等腰直角三角形的性质可知 。 由(1)知 。在 中， 根据余弦定理 ， 其中 ， ， ，代入可得： 在 中， ， 再根据余弦定理 ， 可得： 所以 ，即CE的长为10m。 解析：在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5eq \r(19) m，BC＝10 m，由余弦定理，得cos∠ACB＝eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC×BC)＝eq \f(152＋102－（5\r(19)）2,2×15×10)＝－eq \f(1,2)，∴∠ACB＝120°.又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴∠ACD＝60°.在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(15\r(3),2)(m)．故选B. 1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5eq \r(19) m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　) A．30 m B．eq \f(15\r(3),2) m C．15eq \r(3) m D．45 m 解析：AB＝1 km，CD＝3 km，∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝150°，∴AE＝2AB＝2 km，CE＝eq \f(CD,sin60°)＝eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2eq \r(3)(km)，在△ACE中，由余弦定理得AC2＝AE2＋CE2－2AE·CEcos∠AEC＝4＋12－2×2×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝28，∴AC＝2eq \r(7) km，即两山顶A，C之间的距离为2eq \r(7) km.故选A. 2．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1 km，CD＝3 km，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠AEC＝150°，则两山顶A，C之间的距离为(　　) A．2eq \r(7) km B．3eq \r(3) km C．4eq \r(2) km D．2eq \r(5) km 3．(2024·江苏南通高一下质检)如图所示，河边有一座塔OP，其高为20 m，河对面岸上有A，B两点与塔底O在同一水平面上，在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，在塔底部O处测得A，B两点形成的视角为150°，则A，B两点之间的距离为(　　) A．10 m B．10eq \r(3) m C．20eq \r(7) m D．10eq \r(42) m 解析：因为在塔顶部测得A，B两点的俯角分别为45°和30°，所以在Rt△PAO中，∠PAO＝45°，可得OA＝OP＝20 m，在Rt△PBO中，∠PBO＝30°，可得OB＝eq \f(OP,tan30°)＝20eq \r(3) m，在△AOB中，由题意知∠AOB＝150°，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos∠AOB＝400＋1200－2×20×20eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝2800，得到AB＝20eq \r(7) m．故选C. 解析：如图，AC＝10 m，∠DAC＝45°，∠ACD＝90°，∴DC＝10 m，∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°，∴BC＝10eq \r(3) m．由余弦定理，得cos∠ACB＝eq \f(102＋（10\r(3)）2－102,2×10×10\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴∠ACB＝30°. 5．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为6 m，则树的高度为(　　) A．(3＋3eq \r(3)) m B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(3\r(3),2))) m C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋3\r(3))) m D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\f(3\r(3),2))) m 解析：由eq \f(6,sin（45°－30°）)＝eq \f(PB,sin30°)，得PB＝eq \f(6×\f(1,2),sin15°)＝eq \f(3,sin15°)，所以树的高度为PBsin45°＝(3＋3eq \r(3)) m．故选A. $$