1.6.2正弦定理（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.6.2正弦定理 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.正弦定理的推导过程及其公式形式。 2.正弦定理的应用，包括求解三角形的边长、角度及判断三角形的形状。 难点 3 1.正弦定理的推导过程，尤其是不同三角形的统一证明。 2.在复杂问题中灵活运用正弦定理，特别是判断三角形解的个数及三角形形状的判断。 1.理解正弦定理的推导过程。 2.掌握正弦定理的内容及其应用，能够利用正弦定理解决三角形的边角问题。 3.理解正弦定理与三角形外接圆的关系，掌握扩充的正弦定理。 新课导入 上一节课我们从“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”提出问题,并且利用向量 法得到了余弦定理，通过将余弦定理进行变形得出余弦定理的推论， 此推论也从数量角度反映了“三边分 别相等的两个三角形全等”这个结论,你能从另外两个判断三角形全等的方法中提出问题,发现其他解三 角形的定理吗？ 一、正弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 问题1余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知 两角和一边,是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 一、正弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 问题2：对于锐角三角形，如何利用面积公式推导正弦定理？ 一、正弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 问题3：对于钝角三角形，如何证明正弦定理仍然成立？ 你能用文字语言表述正弦定理吗？ 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 问题：分析正弦定理的表达形式,你能说说利用正弦定理可以解决哪些解三角形问题吗？ 正弦定理可以解决的两类解三角形问题： （1）已 知两角和任一边，求其余的两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求其余的 边和角. 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 问题4：为什么会出现两个可能的角B？如何判断取哪个解？ 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、正弦定理的应用 新课讲授 典例分析 二、正弦定理的应用 新课讲授 典例分析 二、正弦定理的应用 新课讲授 典例分析 二、正弦定理的应用 新课讲授 典例分析 问题5：如何利用正弦定理判断三角形的形状？ 二、正弦定理的应用 新课讲授 典例分析 学后总结 正弦 两角和一边 两边和其中一边的对角 学后总结 学后总结 学以致用 1．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2asinB，则角A等于(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 23 学以致用 24 学以致用 25 学以致用 26 学以致用 5．(多选)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中只有一解的是(　　) A．a＝7，b＝14，A＝30° B．a＝30，b＝25，A＝150° C．a＝6，b＝9，A＝45° D．a＝30，b＝40，A＝30° 27 学以致用 6．在△ ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若b＝2a，B＝A＋60°，则A＝________． 30° 28 课堂小结 课堂小结 课堂小结 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 课堂小结 ✦已知边边角的三角形解的个数✦ 已知两边和其中一边的对角，则不能唯一确定三角形，因此解这类三角形问题将出现无解、一个解、两个解三种情况． 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 在解三角形时，我们有时还要探讨任意三角形的三条边与对应角的正弦之间的关系。 设 ， ， 分别为 的内角 ， ， 的对边。 若 为直角三角形，且 ， 如图1.6-3，则根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有 ， ， 由此得到 。 又 ，从而我们有下述结论： 。 若 为锐角三角形，如图1.6-4， 设CD为AB边上的高，则 。 于是， 的面积 。 同理可得 ， 。 因此 ， 即 。 若 为钝角三角形，也可类似得到上述结论。 综上可得如下定理： 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即 。 例4:如图1.6-5，已知 ，正方形ADEB，BFGC，CHIA。 求证： 。 证明： 。 又 ， ， ， 因而 。 同理可证 ， 。 所以 。 例5:已知 中， ， ， ， ，求 ， 。 解：由题意可得 。 由正弦定理得 ，即 。 又 ， 于是 。 同理可得 。 例6:在 中，分别求下列条件下的 和 。 (1) ， ， ； (2) ， ， ， 。 解：(1)由正弦定理得 ，即 ， 所以 或 。 当 时， ， 所以 。 当 时， ， 所以 例6:在 中，分别求下列条件下的 和 。 (1) ， ， ； (2) ， ， ， 。 由例6可以发现，已知两边a，b和其中一边的对角 解三角形时， 会出现解的情况，还会出现其他情况吗？ 我们以点C为圆心，以边长a为半径画弧，则此弧与除去顶点A的射线l的公共点个数即为三角形解的个数。 由正弦定理可知，三角形各边和它所对角的正弦的比值相等， 那么这个比值的几何意义是什么？ 设 的外接圆的圆心为 ，外接圆的半径为 。 (1)若 为直角三角形，设 ，则 。 又 ， ， ，于是 。① (2)若 为锐角三角形，如图1.6-8，则点 在 内。 过 ， 作直径BD，连接CD， 则 ， ， （同弧所对圆周角相等）。 在 中， ， 由此得到 。 类似可证 ， ，于是仍可得①式。 (3)若 为钝角三角形，如图1.6-9，设 ，则点 在 外。 过 ， 作直径CD，连接AD，则 ， ， （圆内接四边形对角互补）。 在 中， ， 即 。 类似可证 ， ，于是仍可得①式。 综上可知，对于任意三角形，①式均成立， 这个结果称为扩充的正弦定理， 说明三角形各边与它所对角的正弦的比值为一个常数， 这个常数等于该三角形外接圆的直径2R。 例7:在 中，已知 ，试判断 的形状。 解：设 的外接圆的半径为 ， 由扩充的正弦定理可得 ， ， 。 将其代入 得： 即 。 又角 ， ， ，所以 ，因而 为等边三角形。 例8:设 是 的外接圆的半径， 是 的面积，求证： (1) ； (2) 。 证明：(1)由扩充的正弦定理得 ， 所以 。 (2)由 ， ， ， 得 。 知识点　正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即eq \f(a,sinA)＝_________＝ ________． 利用正弦定理可以解决的两类解三角形问题： ①已知______________，解三角形． ②已知______________________，解三角形． eq \f(b,sinB) eq \f(c,sinC) [提示]　(1)设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆的半径为R，正弦定理有如下变形： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA＝eq \f(a,2R)，sinB＝eq \f(b,2R)，sinC＝eq \f(c,2R)； ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； ④eq \f(a,sinA)＝eq \f(b,sinB)＝eq \f(c,sinC)＝eq \f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC). (2)判定三角形形状通常有两种途径：①通过正弦定理、余弦定理，化边为角(如：a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sinA＝sinB⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔A＝B；sin2A＝sin2B⇔A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)等；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，如：sinA＝eq \f(a,2R)，cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 解析：∵b＝2asinB，∴利用正弦定理的变式得sinB＝2sinAsinB.∵sinB≠0，∴sinA＝eq \f(1,2)，∵A为锐角，∴A＝30°.故选A. 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于(　　) A．4eq \r(2) B．4eq \r(3) C．4eq \r(6) D.eq \f(32,3) 解析：A＝180°－(B＋C)＝45°，由正弦定理得b＝eq \f(asinB,sinA)＝eq \f(8×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq \r(6).故选C. 3．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边．若eq \f(c,b)<cosA，则△ABC的形状为(　　) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 解析：由题意知eq \f(c,b)<cosA，由正弦定理得sinC<sinBcosA，∴sin(A＋B)<sinBcosA，∴sinAcosB＋sinBcosA<sinBcosA，∴sinAcosB<0.又A是△ABC的一个内角，∴0<A<π，∴sinA>0，∴cosB<0，即B为钝角．故选A. 4．(2024·浙江温州期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 且满足eq \f(bcosA,cosB)＋a＝2c，则角B＝________． 解析：由于eq \f(bcosA,cosB)＋a＝2c，整理得bcosA＋acosB＝2ccosB，利用正弦定理，得sinBcosA＋sinAcosB＝2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB.由于sinC≠0，所以cosB＝eq \f(1,2)，由于B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3). eq \f(π,3) 解析：对于A，bsinA＝14sin30°＝7＝a，故△ABC只有一解；对于B，a＝30，b＝25，故a>b，又A＝150°，故△ABC只有一解；对于C，bsinA＝9sin45°＝eq \f(9\r(2),2)>6＝a，故△ABC无解；对于D，bsinA＝40sin30°＝20，因为bsinA<a<b，故△ABC有两解．故选AB. 解析：∵b＝2a，∴sinB＝2sinA，又B＝A＋60°，∴sin(A＋60°)＝2sinA，即sinAcos60°＋cosAsin60°＝2sinA，化简，得sinA＝eq \f(\r(3),3)cosA，∴tanA＝eq \f(\r(3),3)，又0°<A<180°，∴A＝30°. 请你带着以下问题，回顾本节课的学习内容,并给出回答： （1）正弦定理的本质是什么？ （2）正弦定理可以直接解决哪些解三角形问题？需要注意什么？ （3）你能概括探究正弦定理的基本思路吗？ （4）回顾正弦定理的推导过程，你能总结其中的思想方法吗？ （1）正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,是对“大边对大角，等边对等角， 小边对小角”这一结论的定量刻画.正弦定理是向量应用的重要载体，是构建三角形边角关系的数学模型. （2）正弦定理为解决“已知两角和任一边，求其余的两边和一角”“已知两边和其中一边的对角，求另 一边的对角,进而求其余的边和角”等解三角形问题提供基本的数学工具，在解题时需注意对解的个数进 行判断. （3）本节课的内容按照正弦定理的引入、猜想、证明、应用的顺序展开.借助向量运算，在经历知识的发生和发展过程中获得正弦定理，充分体现了向量法的应用价值.在进一步领悟向量法所蕴含的数学思 想,掌握用向量运算解决几何问题的基本要领和方法的同时，完善三角形的认知结构. （4）本节课以向量运算推导正弦定理为主线,过程中蕴含着“数形结合”“分类讨论”“转化与化归”“从 特殊到一般”“函数与方程”等数学思想.这对培养学生用向量法解决几何问题的意识和能力,对数学抽象、 逻辑推理和数学运算素养的发展具有重要意义.定理表达形式简洁对称、和谐统一,突显了三角形边角关 系的本质. $$