1.6.1余弦定理（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版 必修第二册 1.6.1余弦定理 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 1.余弦定理的推导过程及其公式形式。 2.余弦定理的应用，包括求解三角形的边长、角度及面积。 难点 3 将三角形边角关系的向量式转化为数量式. 能用向量方法探索已知三角形的两边及其夹角求解三角形的问题，并能用向量方法证明余弦定理. 新课导入 在初中，我们借助锐角三角函数的有关知识解决了一些有关直角三角形的问题。 在实际生活中，我们往往更多遇到的是有关斜三角形的问题，那么如何求解呢？ 三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，通常只要知道了三个元素（其中至少包括一条边）就可以求出其余三个未知元素。这种从已知三角形的某些元素出发求出这个三角形其他元素的过程叫作解三角形。 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 从“基本事实”可知, 给定三角形的六个元素中的三个元素 （其中至少有一条边），那么这个三角形就是唯一确定的. 也就是说, 三角形的其他任意一个元素与给定的这些元素之间存在唯一确定的数量关系. 接下来的任务就是要研究这种数量关系的具体表达式. 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 问题3：余弦定理包含三个公式，你能用文字语言统一表述吗？ 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 问题4：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，你能解释为什么吗？ 一、余弦定理的推导 新课讲授 新课讲授 余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是一个解决三角形问题的重要工具。在实际应用中，有时可将余弦定理写成下面的形式： 二、余弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、余弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 二、余弦定理的应用 新课讲授 新课讲授 问题5：如果已知三角形的三边，如何求解其中一个角？ 学后总结 知识点一　余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于_______________________________________ _________________．即a2＝_______________，b2＝__________________，c2＝_______________． 知识点二　余弦定理的推论 cosA＝__________，cosB＝_________，cosC＝__________． 其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccosA c2＋a2－2cacosB a2＋b2－2abcosC 学后总结 知识点三　解三角形 (1)一般地，三角形的_________________和它们的____________叫做三角形的元素． (2) _______________________________________叫做解三角形． 知识点四　余弦定理及其推论的应用 应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题：一类是已知________________解三角形，另一类是已知________解三角形． 三个角A，B，C 对边a，b，c 已知三角形的几个元素求其他元素的过程 两边及其夹角 三边 学后总结 [提示]　判定三角形形状时常用到的结论 (1)在△ABC中，若a2<b2＋c2，则0°<A<90°；反之，若0°<A<90°，则a2<b2＋c2.例如：在不等边三角形ABC中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则60°<A<90°. (2)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2. (3)在△ABC中，若a2>b2＋c2，则90°<A<180°；反之，若90°<A<180°，则a2>b2＋c2. 学以致用 17 学以致用 18 学以致用 3．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状． 19 学以致用 20 学以致用 21 学以致用 22 课堂小结 课堂小结 课堂小结 余弦定理: 余弦定理推论: 利用余弦定理判断角的形状： 适合用余弦定理解三角形： （1）已知三条边； （2）已知两边及其夹角； （3）已知两边及一边对角 （不一定有解） 即已知两边或三边. 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 问题2：已知三角形的两边及其夹角，你能想到哪些方法来求解第三边？ 问题1：在初中，我们学习了直角三角形的勾股定理，它揭示了直角三角形三边之间的关系。 那么，对于非直角三角形，如何求解第三边呢？ 在初中，我们学习过三角形内角和定理，还学过勾股 定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系，对于一般三角形，还定性地研究过边角关系，得 到了 SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的“基本事实”. 令 ，则 ，① 因此 。 将①式中的角 依次换成另外两个角后，同理可得如下两个等式： ，② 。③ 于是得到以下定理： 当 是直角时，向量等式 中的 ， 等式变为 ， 这就是勾股定理 。 因此，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。 余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 即 当 是直角时，向量等式 中的 ， 等式变为 ， 这就是勾股定理 。 因此，余弦定理可以看作是勾股定理的推广。 利用上述公式就可由三角形的三条边计算出三角形的三个内角。 例题1:在 中，已知 ， ， ，求 和 。 解：由余弦定理得 所以 。 解 ：再由余弦定理可得 因为 是三角形的内角，所以 。 例2:如图1.6-2，在 中， ， ， ，求 的面积。 解：由已知条件，根据余弦定理 可得： 整理得： ， 因式分解为 ， 解得 或 （舍去）。 作AC边上的高BD，则 。 因此 。 例3:已知 的三边分别为 ， 和 ，试求 最大内角的度数。 解：根据三角形中大边对大角的原理可知， 是 的最大内角。 由余弦定理得： 因为 是三角形的内角，所以 。 eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(c2＋a2－b2,2ca) eq \f(a2＋b2－c2,2ab) 1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是(　　) A．8 B．2eq \r(17) C．6eq \r(2) D．2eq \r(19) 解析：根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，所以c＝2eq \r(19). 2.在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－eq \r(3)c)，则A＝(　　) A．90° B．30° C．120° D．150° 解析　因为(a＋c)(a－c)＝b(b－eq \r(3)c)，所以b2＋c2－a2＝eq \r(3)bc，所以cosA＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(\r(3),2).因为0°<A<180°，所以A＝30°.故选B. 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB， ∵B＝60°，b＝eq \f(a＋c,2)， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋c,2))) eq \s\up12(2)＝a2＋c2－2accos60°. ∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°， ∴△ABC为等边三角形． 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋eq \r(2)ab＝c2，则角C为(　　) A．eq \f(π,4) B．eq \f(3π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(2π,3) 解析：∵a2＋b2＋eq \r(2)ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－eq \r(2)ab，∴cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(－\r(2)ab,2ab)＝－eq \f(\r(2),2)，∵C∈(0，π)，∴C＝eq \f(3π,4). 解析：由a2＋b2<c2，可以得出cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)<0，所以C>eq \f(π,2)，故A正确；由ab>c2，得cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)>eq \f(2ab－ab,2ab)＝eq \f(1,2)，得0<C<eq \f(π,3)，故B错误；假设C≥eq \f(π,2)，则c>a，c>b，cosC＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)≤0，∴c2≥a2＋b2，即c3≥ca2＋cb2>a3＋b3，与a3＋b3＝c3矛盾，∴C<eq \f(π,2)，故C正确；取a＝b＝c＝2，满足a＋b＝2c，此时C＝eq \f(π,3)，故D错误．故选AC. 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是(　　) A．若a2＋b2<c2，则C>eq \f(π,2) B．若ab>c2，则C≥eq \f(π,3) C．若a3＋b3＝c3，则C<eq \f(π,2) D．若a＋b＝2c，则C>eq \f(π,2) 请你带着以下问题回顾本节课的内容,并给出回答： (1)余弦定理及其推论的内容是什么？运用余弦定理能够解决哪些问题? （2）你能概括出利用向量方法研究余弦定理的基本思路吗？ （3）余弦定理的探究过程蕴涵着哪些思想方法？ 1．知识清单： (1)余弦定理． (2)余弦定理解决的两类问题． (3)余弦定理的简单应用． 2．方法归纳：化归转化、数形结合． 3．常见误区：易忽略三角形中的隐含条件． 余弦定理是定量刻画三角形边角关系的重要定理，实现了三角形边角几何关系的代数化,开辟了 用代数方法研究三角形的新途径.为“已知三角形两边及其夹角求第三边”“已知三角形三边求角”等解三 角形问题及实际测量问题提供了基本而重要的工具. （2）本节课以“怎样根据三角形已知的两边及其夹角来确定第三边”这一问题为主线,借助三角形的 向量回路和向量数量积运算，根据向量法解决平面几何问题的“三步曲”，获得了余弦定理，充分体现了向 量法的优势,为用向量法探究正弦定理提供了数学活动经验. （3）定理的探究蕴涵着“转化与化归”“从特殊到一般”“分类与整合”等数学思想;定理的结构形式给 我们以简洁美、对称美、和谐美与统一美的熏陶. $$