1.5.2数量积的坐标表示及其计算（教学课件）数学湘教版必修第二册

湘教版选择性必修第二册 1.5 向量的数量积 1.5.2数量积的坐标表示及其计算 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 第1章平面向量及其应用 湘教版 必修第二册 学习目标 目标 1 重点 2 数量积的坐标表示及其计算公式。 利用数量积的坐标表示解决向量的模、夹角和垂直问题。 难点 3 数量积的坐标表示的推导过程。 利用数量积的坐标表示解决复杂的几何问题。 理解数量积的坐标表示方法。 掌握利用数量积的坐标表示计算向量的模、夹角余弦值以及判断向量垂直的方法。 能够运用数量积的坐标表示解决实际问题，如求点的坐标、投影等。 新课导入 同学们，上节课我们学习了数量积的定义及其物理背景，谁能说一说数量积的定义是什么？ 新课导入 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作　　　　　　　　　　　　 则∠AOB=θ (0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 1.向量的夹角 0≤θ≤π 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 2.平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ 新课导入 数量积的运算律有哪些？ 对向量a，b，c 和实数λ，有： 1.平面向量数量积的运算律 2.重要题型 这四个量，知三可求一 新课导入 在平面直角坐标系中，向量可以用坐标表示。那么，数量积是否也可以用坐标表示呢？ 今天我们就来学习数量积的坐标表示及其计算。 一、数量积的坐标表示 新课讲授 新课讲授 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 1.向量长度 问题5：如何利用数量积的坐标表示计算向量的模？ 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 2.夹角余弦值 问题6：如何利用数量积的坐标表示计算两个向量的夹角余弦值？ 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 3.垂直条件 问题7：两个向量垂直的条件是什么？ 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 问题8：如何利用数量积的坐标表示解决实际问题？ 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 二、计算公式 新课讲授 新课讲授 学后总结 问题9：通过本节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？ 数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (3) 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ． 特别地， 或 　 ． 学后总结 数量积 两个向量的数量积等于它们________________________，即a·b＝_____________ 两个向量垂直 a，b是非零向量，a⊥b⇔____________________ 知识点一　两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． 对应坐标的乘积的和 x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 学后总结 知识点二　三个重要公式 学后总结 【感悟提升】　 1．求平面向量的数量积的一般步骤 2．求向量夹角的一般步骤 学以致用 1.已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　∵a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，∴2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，则(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1. 21 学以致用 2.已知a＝(1，2)，b＝(x，4)，且a·b＝10，则|a－b|＝________． 22 学以致用 23 学以致用 4.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2.故选D. 24 学以致用 25 课堂小结 主讲： 湘教版(2019)必修(第二册) 感谢聆听 问题4：如果两个向量的坐标分别为 ， ，那么它们的数量积如何表示？ 设向量 ， 在这组基下的坐标分别为 ， ，则 于是可得两个向量 ， 的数量积的坐标表达式为 。 向量 与自身的夹角为 ，因此 。 于是得到计算向量 的模（即长度）的公式为 。 根据两个非零向量 ， 数量积的定义， 得到计算两向量夹角余弦值的公式为 。 已知向量 ， ， 则 例4已知 ， ，求 为何值时： (1) ； (2) ； (3) 与 的夹角为钝角。 解：(1)因为 ，所以 ，解得 。 (2)因为 ，所以 ，解得 。 (3)因为 ，所以 ， 则由向量夹角余弦公式可得 ，解得 。 由(1)知， 时， ，即 ， 共线，此时 。 所以 且 时， ， 的夹角为钝角。 例4已知 ， ，求 为何值时： (1) ； (2) ； (3) 与 的夹角为钝角。 例5如图1.5-6，已知点 为平面直角坐标系的原点， 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，作 ，垂足为点 。 (1)求 ， ， ； (2)求 ； (3)将OA绕点 逆时针旋转 到OA'，求点A'的坐标； (4)求 （5）求 解：（1） ，得 ， 因此 ， ， (2)因为 所以 (3)记 ， 与 轴正方向的夹角为 ，则 ， 。 由于点 的坐标为 ，那么 ， 。 因此 ，即点A'的坐标为 。 (4)将向量 投影到 上，得到投影向量 ，则 。 而 就是 在 方向上的投影 的绝对值，则 (5)(方法一) 。 (方法二) 。 eq \r(x2＋y2) eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 2,1)eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋yeq \o\al(2,1)) \r(xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2))) 解析：由题意，得a·b＝x＋8＝10，∴x＝2，∴a－b＝(－1，－2)，∴|a－b|＝eq \r(5). eq \r(5) 3．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋eq \r(3)”是“a∥b”的充分条件 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±eq \r(3)，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋eq \r(3)时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C. 5.已知eq \o(OA,\s\up14(→))＝(2，－1)，eq \o(OB,\s\up14(→))＝(3，1)，eq \o(OC,\s\up14(→))＝(m，3)，且eq \o(AB,\s\up14(→))⊥eq \o(BC,\s\up14(→))，求实数m的值． 解　eq \o(AB,\s\up14(→))＝eq \o(OB,\s\up14(→))－eq \o(OA,\s\up14(→))＝(1，2)， eq \o(BC,\s\up14(→))＝eq \o(OC,\s\up14(→))－eq \o(OB,\s\up14(→))＝(m－3，2)． 因为eq \o(AB,\s\up14(→))⊥eq \o(BC,\s\up14(→))，所以eq \o(AB,\s\up14(→))·eq \o(BC,\s\up14(→))＝0， 即1×(m－3)＋2×2＝0，解得m＝－1. 1．知识清单： (1)向量数量积的运算律． (2)利用数量积求向量的模和夹角． (3)向量垂直的应用． 2．方法归纳：类比法． 3．常见误区：忽略向量数量积不满足结合律． $$