2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第34讲 概率初步

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第十单元　统计与概率 《第34讲 概率初步》 【知识梳理】 1.事件的分类 (1)确定事件:确定事件包括　必然　事件与　不可能　事件.  (2)必然事件:在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件. (3)不可能事件:在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件. (4)随机事件:在一定条件下可能　发生　，也可能　不发生　的事件叫做不确定事件或随机事件.  2.概率的概念 (1)定义:把事件发生的可能性大小称为事件发生的概率，一般用P表示，事件A发生的概率记为P(A). (2)各类事件的概率:必然事件发生的概率为　1(或100%)　，不可能事件发生的概率为　0　，随机事件发生的概率介于　0　与　1　之间.  3.概率的计算 (1)如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为P(A)＝ 　.列表和　画树状图　是求简单随机事件的概率的常用方法.  (2)用频率估计概率:在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的　频率　就稳定在相应的概率附近.因此，我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的　频率　来估计这一事件发生的概率.  4.概率的应用 (1)用概率分析事件发生的可能性:概率在日常生活和生产中有着广泛的应用，如用于福利彩票、商品促销、零部件备份、确定保险费用等.事件发生的可能性越大，发生的概率就越　大　.  (2)用概率设计游戏方案:在设计游戏规则时，要注意设计的方案要使双方获胜的概率相等;若概率不相等，则可将概率乘相应得分，使游戏公平. 【考题探究】 类型一　生活中的确定事件与随机事件 【例1】[2024·湖北]下列各事件，属于必然事件的是(　D　) A.掷一枚正方体骰子，朝上一面恰好是3 B.某同学投篮，不中 C.经过红绿灯路口时，遇到红灯 D.画一个三角形，其内角和为180° 变式1 下列成语所描述的事件中，属于不可能事件的是(　D　) A.水落石出 B.水涨船高 C.水滴石穿 D.水中捞月 类型二　概率公式 【例2】[2024·浙江]有8张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7，8.从中随机抽取1张，该卡片上的数是4的整数倍的概率为 　.  变式2－1 [2024·深圳]二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为:春季(立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨)，夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑)，秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降)，冬季(立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒)，若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为(　B　) A. B. C. D. 变式2－2 [2024·苏州]如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 　.  变式2－2图 变式2－3 [2023·杭州]一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n个白球(仅有颜色不同).若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则n＝　9　.  【解析】 由题意，得， 解得n＝9. 经检验，n＝9是所列方程的解且符合题意， ∴n＝9. 变式2－4 [2023·烟台]如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球停在阴影部分的概率为P1，停在空白部分的概率为P2，则P1与P2的大小关系为(　B　) 变式2－4图 A.P1＜P2 B.P1＝P2 C.P1＞P2 D.无法判断 【解析】 方法一:令正方形的边长为2a， ∴空白部分的面积为2××π·a2＋2πa2＋2a2－πa2＝2a2， ∴阴影部分的面积为(2a)2－2a2＝4a2－2a2＝2a2， ∴小球停在阴影部分的概率＝停在空白部分的概率，即P1＝P2. 方法二:如答图，由割补法易知，空白部分和阴影部分面积相等，故P1＝P2. 变式2－4答图 类型三　用频率估计概率 【例3】[2024·扬州]数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的试验后，整理的试验数据如下表: 累计抛 掷次数 50 100 200 300 500 1 000 2 000 3 000 5 000 盖面朝 上次数 28 54 106 157 264 527 1 056 1 587 2 650 盖面朝 上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率为　0.53　.(精确到0.01)  类型四　用列表法或画树状图法求概率 【例4】(1)[放回][2023·绥化]在4张完全相同的卡片上，分别标出1，2，3，4，如果从中随机抽取1张后，放回再混合在一起，再随机抽取一张，那么第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是 　.  【解析】 画树状图如答图1. 例4答图1 共有16种等可能的结果，其中第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的结果有8种， ∴第二次抽取卡片上的数字能够整除第一次抽取卡片上的数字的概率是. (2)[不放回][2024·山西]一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球，这些球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，则两次摸到的球恰好有一个红球的概率是(　B　) A. B. C. D. 【解析】 列表如下: 红 白 绿 红 (红，白) (红，绿) 白 (白，红) (白，绿) 绿 (绿，红) (绿，白) 共有6种等可能的结果，其中两次摸到的球恰好有一个红球的结果有4种， ∴两次摸到的球恰好有一个红球的概率为. (3)[一次性取两个][2024·安徽]一个不透明的袋中装有大小、质地完全相同的4个球，其中1个黄球、1个白球和2个红球.从袋中任取2个球，恰为2个红球的概率是 　.  【解析】 画树状图如答图2，共有12种等可能的结果，其中2个红球的结果出现2次， ∴P＝. 例4答图2 (4)[两组各取一个]一个盒子里放有草莓味、柠檬味的两种糖各1块，另一个盒子里放有草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖各1块，糖的外形相同.小亮从两个盒子中各随机取出一块糖，则两块糖是不同口味的概率为 　.  【解析】 记草莓味、柠檬味、葡萄味的三种糖分别为A，B，C， 画树状图如答图3. 例4答图3 共有6种等可能的结果，其中两块糖是不同味的结果有4种， ∴两块糖是不同口味的概率为. 变式4 [2024·陕西]一个不透明的袋子中共装有5个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同.将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次. (1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是　0.3　.  (2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率. 解:(2)列表如下: 红1 红2 红3 白 黄 红1 (红1，红1) (红1，红2) (红1，红3) (红1，白) (红1，黄) 红2 (红2，红1) (红2，红2) (红2，红3) (红2，白) (红2，黄) 红3 (红3，红1) (红3，红2) (红3，红3) (红3，白) (红3，黄) 白 (白，红1) (白，红2) (白，红3) (白，白) (白，黄) 黄 (黄，红1) (黄，红2) (黄，红3) (黄，白) (黄，黄) 共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种， ∴这两次摸出的小球都是红球的概率为. 类型五　概率与其他数学知识的综合 【例5】若关于x的方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，且m≥－3，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率为 　.  【解析】 由题意得，该一元二次方程的根的判别式Δ＞0， 即(－3)2－4×1×m＞0， 解得m＜. 又∵m≥－3，∴－3≤m＜， ∴满足条件的所有整数为－3，－2，－1，0，1，2共6个，其中负数有－3，－2，－1共3个， ∴从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率为. 变式5 [2023·安徽]如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”.用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为(　C　) A. B. C. D. 【解析】 用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数出现的等可能结果有123，132，213，231，312，321， 其中恰好是“平稳数”的有123，321， ∴恰好是“平稳数”的概率为. 类型六　概率的应用 【例6】[2024·贵州]根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次.某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩(单位:秒)记录如下: 男生成绩:7.61，7.38，7.65，7.38，7.38. 女生成绩:8.23，8.27，8.16，8.26，8.32. 根据以上信息，解答下列问题: (1)男生成绩的众数为　7.38　，女生成绩的中位数为　8.26　.  (2)如图，判断下列两位同学的说法是否正确. 例6图 (3)教练从成绩最好的3名男生(设为甲、乙、丙)中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率. 解:(2)5名男生中成绩最好的是7.38秒，故小星同学的说法正确. 5名女生的成绩中超过8.3秒的有8.32秒， ∴5名女生的成绩不都是优秀等次，故小红同学的说法不正确. (3)列表如下: 甲 乙 丙 甲 (甲，乙) (甲，丙) 乙 (乙，甲) (乙，丙) 丙 (丙，甲) (丙，乙) 共有6种等可能的结果，其中甲被抽中的结果有4种， ∴甲被抽中的概率为. 变式6－1 [2024·苏州]一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四个季节(如图)，书签除图案外都相同，将4张书签充分搅匀. 变式6－1图 (1)若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为 　.  (2)若从盒子中任意抽取2张书签(先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签)，求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率(请用画树状图或列表等方法说明理由). 解:(2)画树状图如答图. 变式6－1答图 共有12种等可能的结果，其中抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的结果有2种， ∴抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率为. 变式6－2 [2024·烟台]“山海同行，舰回烟台”.2024年4月23日，烟台舰与家乡人民共庆人民海军成立75周年.值此，某学校开展了“奋进万亿新征程，共筑强国强军梦”的主题研学活动.为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长(用t表示，单位:h)进行调查.经过整理，将数据分成四组(A组:0≤t＜2;B组:2≤t＜4;C组:4≤t＜6;D组:6≤t＜8)，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图. 变式6－2图 (1)请补全条形统计图. (2)扇形统计图中，a的值为　32　，D组对应的扇形圆心角的度数为　28.8　°.  (3)D组中有男、女生各两人，现从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用画树状图法或列表法求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率. 解:(1)抽取的人数为10÷20%＝50， C组的人数为50－10－16－4＝20， 补全条形统计图如答图1. 变式6－2答图1 (2)a%＝＝32%，即a＝32. D组对应的扇形圆心角的度数为360°×＝28.8°. (3)画树状图如答图2. 变式6－2答图2 共有12种等可能的结果，其中所选的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， ∴所选的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为. 【课后作业】 1.[2024·连云港]下列说法正确的是(　C　) A.10张彩票中有1张奖票，10人去摸，先摸的人摸到奖票的概率一定较大 B.从1，2，3，4，5中随机抽取一个数，取得偶数的可能性较大 C.小强一次掷出3颗质地均匀的骰子，3颗全是6点朝上是随机事件 D.抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，连续抛此硬币2次必有1次正面朝上 2.[2024·广西]不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是(　D　) A.1 B. C. D. 3.[2024·齐齐哈尔改编]六月份，在“阳光大课间”活动中，某校安排了“篮球、足球、排球、羽毛球”四种球类运动项目，且每名学生在一个大课间只能选择参加一种运动项目.若甲、乙两名学生随机选取，则他们在一个大课间参加同种球类运动项目的概率是(　C　) A. B. C. D. 4.[2024·北京]在不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，两个小球除颜色外无其他差别.从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的都是红球的概率是(　A　) A. B. C. D. 【解析】 列表如下: 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出的都是红球的结果有1种， ∴两次摸出的都是红球的概率为. 5.三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽取的卡片图案是琮琮的概率是 　.  第5题图 6.[2023·金华]下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位:人)，在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是 　.  “偏瘦” “标准” “超重” “肥胖” 80 350 46 24 7.[2024·成都]盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.从盒中随机取出一枚棋子，若它是黑棋的概率是，则的值为 　.  【解析】 由题意，得， ∴8x＝3x＋3y，∴5x＝3y， ∴. 8.[2024·甘肃]在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为:两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲获胜;若两球上的数字之和为偶数，则乙获胜. (1)请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率. (2)这个游戏规则对甲乙双方公平吗?请说明理由. 解:(1)画树状图如答图. 第8题答图 共有12种等可能的结果，其中甲获胜的结果有8种， ∴甲获胜的概率为. (2)不公平.理由如下: 由(1)知，乙获胜的概率为. ∵，∴游戏不公平. 9.如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)，转盘甲上的数字分别是－6，－1，8，转盘乙上的数字分别是－4，5，7(规定:若指针恰好停留在分界线上，则重新转一次). (1)转动转盘，转盘甲指针指向正数的概率是 　;转盘乙指针指向正数的概率是 　.  (2)若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a，转盘乙指针所指的数字记为b，请用列表或画树状图的方法求满足a＋b＜0的概率. 第9题图 解:(2)同时转动两个转盘，指针所指的数字所有可能出现的结果如下表: a a＋b b －6 －1 8 －4 －10 －5 4 5 －1 4 13 7 1 6 15 共有9种等可能的结果，其中两个转盘指针所指数字之和为负数的有3种， ∴同时转动两个转盘，满足a＋b＜0的概率是. 10.如图，已知正六边形ABCDEF内接于半径为r的☉O，随机地往☉O内投一粒米，则米落在正六边形内的概率是(　A　) 　第10题图 A. B. C. D. 11.动物学家通过大量的调查，估计某种动物活到20岁的概率约是0.8，活到25岁的概率约是0.5，据此，若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有　0.8a　只，现年20岁的这种动物活到25岁的概率是 　.  【解析】 若设刚出生的这种动物共有a只，则20年后存活的有0.8a只，活到25岁的有0.5a只， ∴现年20岁的这种动物活到25岁的概率是. 12.问题情境:在数学探究活动中，老师给出了如图的图形及下面三个等式:①AB＝AC;②DB＝DC;③∠BAD＝∠CAD.若以其中两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式成立? 解决方案:探究△ABD与△ACD全等. 问题解决:(1)当选择①②作为已知条件时，△ABD与△ACD全等吗?　全等　(填“全等”或“不全等” )，理由是　三边对应相等的两个三角形全等或SSS　.  (2)当任意选择两个等式作为已知条件时，请用列表或画树状图的方法求△ABD≌△ACD的概率. 第12题图 第12题答图 解:(2)画树状图如答图. 共有6种等可能的情况，符合条件的有(①②)(①③)(②①)(③①)共4种. 令△ABD≌△ACD为事件A，则P(A)＝. 13.[2024·连云港]数学文化节猜谜游戏中，有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，分别记作字谜A、字谜B、字谜C、字谜D，其中字谜A、字谜B是猜“数学名词”，字谜C、字谜D是猜“数学家名字”. (1)若小军从中随机抽取一张字谜卡片，则小军抽取的字谜是猜“数学名词”的概率是 　.  (2)若小军一次从中随机抽取两张字谜卡片，请用画树状图或列表的方法求小军抽取的字谜均是猜“数学家名字”的概率. 解:(2)画树状图如答图. 第13题答图 共有12种等可能的结果，其中小军抽取的字谜均是猜“数学家名字”的结果有2种， ∴小军抽取的字谜均是猜“数学家名字”的概率＝. 14.[2024·绥化]为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了A.音乐、B.体操、C.诵读、D.书法四项社团活动.为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动(且只能选择一项).根据调查结果，绘制成如图两幅统计图.请根据统计图中的信息，解答下列问题: (1)参加本次问卷调查的学生共有　60　人.  (2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是　30%　，请补全条形统计图.  (3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示，请用画树状图或列表的方法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率. 第14题图 解:(1)12÷20%＝60(人). 故参加本次问卷调查的学生共有60人. (2)A组的人数为60－20－10－12＝18， ∴在扇形统计图中，A组所占的百分比是18÷60×100%＝30%. 补全条形统计图如答图. 第14题答图 (3)列表如下: A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 共有12种等可能的结果，其中选中的2个社团恰好是B和C的结果有2种，∴选中的2个社团恰好是B和C的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$