精品解析：江苏省南京市第十三中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题

2024－2025学年高二上学期期末质量检测（数学） （时间：120分钟 满分150份） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则，所以渐近线. 故选：C. 2. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把等比数列各项用基本量和表示，根据已知条件列方程即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得：， 即：， 所以，， 又，所以，， 所以，. 故选：A. 3. 已知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ） A. （x－2）2+y2= 13 B. （x+2）2+y2= 17 C. （x+1）2 +y2= 40 D. （x－1）2 +y2 = 20 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为，由圆心到距离相等求得，然后再求出半径后可得． 【详解】由题意，设圆心坐标为，则，解得， 圆半径为． 所以圆方程为． 故选：D． 4. 根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ） x 3 4 5 6 7 8 9 y 4.0 2.5 0.5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图表数据求出，代入回归直线求出，得到回归直线方程即可求得. 【详解】根据图表数据求出，， 把代入回归直线，有，解得， 所以. 当时，. 故选：B 5. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个. A. 576 B. 1296 C. 1632 D. 2020 【答案】B 【解析】 【分析】 分成两种情况：取出数字中无0和取出数字中有0.第一种情况全排列即可；第二种情况下，千位有3种可能，再乘对剩余数字的全排列.两种情况的结果相加即可. 【详解】解：当取出4个数字中没0时，再组成四位数，这样的四位数有个； 当取出的4个数字中有0时，共有中组合，这四位数字所组成的四位数有 个，所以这种情况下的四位数共有个. 故选:B. 【点睛】本题考查了排列与组合的综合应用.本题的易错点是忽略这个四位数，千位不能为零. 6. 若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 129 【答案】C 【解析】 【分析】赋值，即可求得系数和. 【详解】令，得. 故选：C 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案. 【详解】解：设关于平分线的对称点为， 则三点共线， 设，则， 又，所以为等边三角形，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 即，所以， 所以. 故选：B. 8. 已知数列各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ） A. 599 B. C. 554 D. 568 【答案】D 【解析】 【分析】先由与的递推关系式推出的通项公式，进而得到的通项公式，然后根据与的通项公式，找出它们相同的项，从而可求的前20项的和. 【详解】因为，所以，又因为，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即， 所以，， 所以数列是首项为1，公差为2等差数列，即， 所以，， 由得，所以， 所以 . 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选对的得0分． 9. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，根据正态分布的期望方差性质可判断；对于C，根据及二项分布期望公式可求出p；对于D，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得. 【详解】对AB，因为且，所以， 故，，选项A正确，选项B错误； 对C，因为，所以，所以，解得，选项C正确； 对D，，选项D错误， 故选：AC. 10. 已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则 【答案】BC 【解析】 【分析】若的公差为，利用等差数列通项公式、前n项和公式，结合单调性依次判断各项正误. 【详解】若的公差为，则： A：由题设，故，则，错； B：，对； C：由，即，而，即，对； D：由题设，又是递增数列，则， 所以，即对，，而的符号无法确定，错. 故选：BC 11. 已知直线，点，圆心为的动圆经过点，且与直线相切，则 （ ） A. 点的轨迹为抛物线 B. 圆面积最小值为 C. 当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D. 存在点，使得，其中为坐标原点 【答案】ACD 【解析】 【分析】由抛物线定义可知A正确；由抛物线性质可知当为坐标原点时，圆面积最小，可知B错误；设，利用垂径定理可构造方程求得，由此可得圆的半径，知C正确；设存在点，由可求得点坐标，知D正确. 【详解】对于A，由题意知：点到点与到定直线的距离相等，且点不在直线上，符合抛物线定义，点的轨迹为抛物线，A正确； 对于B，由A知，点的轨迹为抛物线，则当为坐标原点时，点到直线距离最小，即此时圆的半径最小，即，圆面积的最小值为，B错误； 对于C，由A得：点的轨迹方程为，设，则圆的半径，点到轴的距离，，解得：， 圆的半径，C正确； 对于D，假设存在点，使得， 设，则，整理可得：， 解得：，，或，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离是______． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 13. 某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式可知任选1名学生概率为，由该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率可得，从而可求解. 【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生， 则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为，解得. 因为该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，所以. 故的取值范围是. 故答案为：. 14. 函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知数列的通项公式为，设的前项和为，则使得的最大正整数的值为______． 【答案】59 【解析】 【分析】根据取整函数定义，结合对数的运算可得，，进而根据裂项求和得，即可根据求解. 【详解】， ， 故时，，共项 其和为， ，又时，，故， 因此，所求正整数的最大值为59. 故答案为：59 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 已知数列满足. （1）判断数列是否是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，可知该数列不是等比数列，利用递推关系即可求出； （2）利用裂项相消法即可求和. 【小问1详解】 ，故数列不是等比数列. ∵， ∴ 同理 ， 迭代得，即 所以. 小问2详解】 ， 所以. 16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． （1）请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 （2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0的同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 【答案】（1）列联表见解析，没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关 （2）概率分布见解析，1 【解析】 【分析】（1）完成2×2列联表，计算出即可得出判断； （2）由题可知，随机变量服从超几何分布，由此求出的概率分布和数学期望． 【小问1详解】 列联表： 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 10 15 25 女生 13 12 25 合计 23 27 50 提出假设：是否喜爱阅读与性别没有关系， 根据列联表的数据，可以求得： ， 所以没有90％的把握认为喜爱阅读与性别有关． 【小问2详解】 随机变量服从超几何分布，可能取0，1，2， ，，， 则的分布列为： 0 1 2 所以， 故抽取男生人数的数学期望为1． 17. 已知二项式． （1）若它的二项式系数之和为128． ①求展开式中二项式系数最大的项； ②求展开式中系数最大的项； （2）若，求二项式的值被7除的余数． 【答案】（1）①；②. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二项式定理的二项式系数之和，求得指数，结合组合数的对称性，建立不等式组，可得答案； （2）根据二项式定理可得展开式，将底数整理为的倍数加比小的数，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得，解得，其通项为. ①二项式系数最大的项为第4、5项， ，； ②设展开式中系数最大的项为第项，则， 化简可得，解得， 因为，所以或， 所以展开式中系数最大的项为第6、7项， ，， 【小问2详解】 当时，， 因， 所以二项式的值被除的余数就是被除的余数， 因为， 所以被除的余数为，所以二项式的值被除的余数为. 18. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系化简求解即可； （2）采用分组求和的方式计算即可. 【小问1详解】 ①② ①-②整理得 数列是正项数列， 当时， 数列是以2为首项，4为公差的等差数列， ； 【小问2详解】 由题意知， ， 故 . 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点 （1）求C的方程 （2）已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x=4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为，问，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由. 【答案】（1）； （2）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定的离心率及曲线过的点，求出作答. （2）根据已知，设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理，结合直线与直线交点的坐标，求出的表达式，即可计算推理作答． 【小问1详解】 椭圆C：的离心率为，即，有，又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，设，，直线的方程为， 由消去x并整理得，，则，， 有， 直线与直线交于点，则，而，， . 所以为定值2. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年高二上学期期末质量检测（数学） （时间：120分钟 满分150份） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题纸的指定位置填涂答案选项． 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆C经过A（5，2）， B（－1，4）两点，圆心在x轴上，则圆C的方程是（ ） A. （x－2）2+y2= 13 B. （x+2）2+y2= 17 C. （x+1）2 +y2= 40 D. （x－1）2 +y2 = 20 4. 根据如下样本数据得到的回归直线方程中的，根据此方程预测当时，y的取值为（ ） x 3 4 5 6 7 8 9 y 4.0 2.5 0.5 A. B. C. D. 5. 从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，这样的四位数一共有（ ）个. A. 576 B. 1296 C. 1632 D. 2020 6. 若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 129 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列各项均为正数，且，对于任意的，均有， .若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（ ） A. 599 B. C. 554 D. 568 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选对的得0分． 9. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是等差数列，是其前项和，则下列命题为真命题是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若和都为递增数列，则 11. 已知直线，点，圆心为动圆经过点，且与直线相切，则 （ ） A. 点的轨迹为抛物线 B. 圆面积最小值为 C. 当圆被轴截得的弦长为时，圆的半径为 D. 存在点，使得，其中为坐标原点 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，计15分．请把答案写在答题纸的指定位置上． 12. 已知直线与直线平行，则与之间的距离是______． 13. 某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________. 14. 函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中为不超过实数的最大整数，例如：，．已知数列的通项公式为，设的前项和为，则使得的最大正整数的值为______． 四、解答题：本大题共5小题，计77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内． 15. 已知数列满足. （1）判断数列是否是等比数列，并求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 某班统计了全班50名同学在某一周内到图书馆借阅次数的相关数据，结果如下表： 借阅次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 2 5 3 5 5 1 2 2 25 女生人数 4 4 5 5 3 2 1 1 25 合计人数 6 9 8 10 8 3 3 3 50 若将该周内到图书馆借阅次数不少于3次的学生，称为“爱好阅读生”；少于3次的学生称为“一般阅读生”． （1）请完成以下列联表；问：能否有90％的把握认为爱好阅读与性别有关？ 性别 阅读 合计 一般 爱好 男生 女生 合计 附：，． 0.1 0.05 0.01 k 2.706 3.841 6.635 （2）班主任从该周内在图书馆借阅次数为0同学中，一次性随机抽取3人了解有关情况，求抽到的男生人数的概率分布和数学期望． 17. 已知二项式． （1）若它的二项式系数之和为128． ①求展开式中二项式系数最大的项； ②求展开式中系数最大的项； （2）若，求二项式的值被7除的余数． 18. 已知正项数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）若，前项和为，求. 19. 已知椭圆C：的离心率为，且过点 （1）求C的方程 （2）已知A，B是C的左右顶点，过右焦点F且斜率不为0的直线交C于点M，N，直线AM与直线x=4，交于点P，记PA，PF，BN的斜率分别为，问，是否是定值如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $