精品解析：湖南省益阳市普通高中2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题

益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合．， ， 则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次不等式的解集为，则 （ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值3 D. 无最小值 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 10. 下列式子化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的值域为 D. 若的最小值为，则 12. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 定义在上的函数满足，则 C. 若是定义在上的奇函数，当时， ，则有4个零点 D. 若是定义在上的偶函数， 且， 则是以8为周期的周期函数 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的最小正周期为______. 14. 已知函数 且， 则_________． 15. 若， 则 _____________. 16. 如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知函数 （1）求的定义域; （2）若，求的值; （3），成立， 求实数的取值范围． 19. （1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 20. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． （1）点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? （2）在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （3）当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 21. 已知函数 （1）求的最大值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； （3）当时，的值域为，求的值． 22. 已知函数 （1）若是偶函数， 求a的值; （2）当时， 证明: （3）若， 记 ，函数 恰有3个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 益阳市2024年下学期普通高中期末质量检测 高一数学 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分；试题卷包括单项选择题、多项选择题、填空题和解答题四部分，共4页，时量120分钟，满分150分． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在本试题卷和答题卡指定位置．请按答题卡的要求在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效． 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 试题卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合．， ， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集运算，可得答案. 【详解】由题意，可得. 故选：D. 2. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数，故A错误； 对于B，的定义域为R，关于原点对称，记， 而，所以是奇函数， 又在R上是增函数，故B正确； 对于C，定义域为，关于原点对称， 记，，所以是奇函数； 当时，均为增函数，则是增函数， 当时，均为增函数，则是增函数， 但不能说成在定义域上单调递增，故C错误； 对于D，的定义域为R，关于原点对称， 而，所以不是奇函数，故D错误. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合余弦的二倍角公式运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AC，举例说明判断BD. 【详解】A：若，则，故A错误； B：举例，不成立，故B错误； C：由题意知，则，故C正确； D：举例，不成立，故D错误. 故选：C 5. 已知，，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，则不一定成立，例如，必要性不成立； 综上所述：p是q的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性可得，结合指数函数性质可得，即可得结果. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，即， 又因为，所以. 故选：A. 7. 若关于x的一元二次不等式的解集为，则 （ ） A. 有最小值 B. 有最小值 C. 有最小值3 D. 无最小值 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集为，得到三者之间的关系即，再由基本不等式求的最值即可 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B 8. 已知函数的部分图象如下图所示，则它的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的函数值的判断即可． 【详解】由题意，的图象关于原点对称，且， 对于A，当时，由，故A错误； 对于B，由，则， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故B错误； 对于C，由，则， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故C错误； 对于D，由，则， 所以是奇函数，图象关于原点对称，且，故D正确. 故选：D. 二、 选择题： 本题共4小题， 每小题5分， 共20分．在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求．全部选对的得5分， 部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 为的零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据图象求得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】由图可知，，， 又，所以， 将点代入，得， 得，解得， 又，所以，故.故A正确，B错误； ，所以，故C正确； 由，故不是的零点，故D错误. 故选：AC 10. 下列式子化简后等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据两家和差公式分析判断；对于BD：根据倍角公式分析判断；对于C：切化弦结合倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：因为，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：ABC. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则的值域为 D. 若的最小值为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于AB，由分段函数的解析式，可得答案； 对于CD，根据一次函数与指数函数的单调性，结合值域的定义以及最值的定义，可得答案. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，解得，故B正确； 对于C，当时，，易知函数在上单调递减，则， 当时，，易知函数在上单调递增，则， 由，则函数的值域为，故C错误； 对于D，由C可得，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 12. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 定义在上的函数满足，则 C. 若是定义在上的奇函数，当时， ，则有4个零点 D. 若是定义在上的偶函数， 且， 则是以8为周期的周期函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的定义可判断A，由方程组法可判断B，求出时零点个数，再结合奇函数对称性，及可判断C，结合奇偶性，对称性可判断D； 【详解】对于A，，定义域为,,定义域为， 和表示同一个函数，正确， 对于B，由，可得：， 两式联立消去，可得，B正确； 对于C，当时， ，令 可得：，所以当时， 有两个零点， 由奇函数的对称性可知，时，也有两个零点，同时，故共有5个零点，C错； 对于D，由可得： 又函数为偶函数，所以， 所以，是以8为周期的周期函数，D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦型函数周期公式计算作答. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 14. 已知函数 且， 则_________． 【答案】 【解析】 【分析】证明为奇函数，进而求得答案. 【详解】由，， 又，所以为奇函数， . 故答案为：. 15. 若， 则 _____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用二倍角正弦公式和商数关系弦化切，代入求解. 【详解】， . 故答案为：. 16. 如果对于非空集合中的任意两个不同元素，都有且，那么这样的集合称为封闭集合，例如集合就是一个封闭集合.用列举法写出一个至少有三个元素且只有有限个元素的封闭集合_________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据任意的，都有且，即可求解. 【详解】若，，则满足且， 取时，且，则且，即， 若令，则，此时取，经检验符合要求， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知集合， ， ． （1）求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）根据子集关系列式运算得解. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 因为成立，． 由得，解得. 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数 （1）求的定义域; （2）若，求的值; （3），成立， 求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据真数大于零即可求解； （2）根据对数函数的函数值确定，解方程即可求解； （3）根据对数函数的单调性结合函数的定义域求出函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 由，解得，所以，函数的定义域为． 【小问2详解】 由，得，所以，即． 经检验知符合题意． 【小问3详解】 由题意知：对成立，即． 在定义域上单调递增，所以，当时，． 所以，，所以 . 19. （1）已知，求函数的最小值； （2）若，， 证明: . 【答案】（1）4；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式计算可得； （2）利用基本不等式计算可得. 【详解】（1），， 则． 当且仅当，即时等号成立． 所以函数的最小值为． （2），，， 即，当且仅当时等号成立． 20. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动．若以小球的平衡位置为原点，运动路径所在的直线为h轴建立如图所示的平面直角坐标系，将小球视为点 P，则小球的运动可视为点 P在AB之间的上下运动．它在 ts时相对于平衡位置（O点）的高度h（PO）（P在O点下方时， ）（单位: cm） 由关系式 确定． （1）点P 在开始运动（即）时的位置在哪里?每秒钟点P能往复运动多少次? （2）在下图中画出h关于t的函数在长度为一个周期的闭区间上的简图； （3）当点P 开始运动时，t轴的负半轴上M点处连续发出一束光经过OA 的中点，在时点 P 恰好被这束光第3次照到， 求的值． 【答案】（1）点P位于平衡位置上方处，次． （2） （3）5 【解析】 【分析】（1）根据题意代入可得，即可得点P的位置，结合周期性可知秒钟点P能往复运动次数； （2）根据五点法列表，根据表格即可得图象； （3）根据题意令，根据正弦函数求，即可得第3次照到的值. 【小问1详解】 因为，此时P点的坐标为， 即点P位于平衡位置上方处； 又因为，所以每秒钟点P往复运动次． 【小问2详解】 取值列表如下： t 0 4 h 2 0 0 图象如图所示： 【小问3详解】 当点P被光束恰好第三次照到的时间即为与的图象的第三个交点的横坐标． 由，即， 则或，得或 将根从小到大排列得：，所以. 21. 已知函数 （1）求的最大值； （2）若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到 的图象，求的单调递增区间； （3）当时，的值域为，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）整理可得，即可得的最大值； （2）根据图象变换可得，结合诱导公式可得，，以为整体，结合正弦函数求单调性； （3）以为整体，根据题意结合正项函数有界性分析求解即可. 【小问1详解】 由题意可得：． 因为，所以的最大值为. 【小问2详解】 由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 【小问3详解】 当时，则， 此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得， 可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或， 所以的值为或. 22. 已知函数 （1）若是偶函数， 求a的值; （2）当时， 证明: （3）若， 记 ，函数 恰有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）． （2）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以原结论成立. （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义即可求解； （2）结合基本不等式即可求证； （3）问题可转换为：恰有三个根，其中满足，可得： ，恰有两个零点，在通过三种情况讨论. 【小问1详解】 因为是偶函数，，即． ，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上单调递增．恰有三个零点等价于方程恰有三个根，结合的单调性可知，y有三个零点等价于方程恰有三个根． 当时，，即是方程的一个根． 记，原问题等价于函数恰有两个零点， ． ①当时，不符合题意． ②当时，恒成立； 对于，当时，恒成立，此时无零点， 当时，单调递减且图象过点，此时恰有一个零点， 时，恰有一个零点，不合题意． ③当时， （i）当，函数， 若时，则，函数零点为， 若时，则，对称轴为，且的图象过定点，，恰有两个零点． 若时，则中，此时函数没有零点． （ii）当时，函数的图象过定点，对称轴， 若时，则函数图象开口向上，此时函数恰有一个零点， 若时，则函数图象开口向下，对称轴，此时函数没有零点． 若时，此时函数没有零点． （iii）当时，函数的图象过定点． 若时，则函数图象开口向上，对称轴，此时函数没有零点， 若时，则函数图象开口向下，此时函数恰有一个零点． 若时，此时函数没有零点． 综上所述，当时，恰有三个零点. 【点睛】关键点点睛： 第三问，时，分，，三段讨论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $