精品解析：湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

长沙市第一中学2024-2025学年度高一第一学期期末考试 数 学 命题人：彭思维 吴海波 审题人：龚日辉 申京京 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式转化为锐角三角函数，即可求值. 【详解】， 故选：A 2. 已知，且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系即可求得结果. 【详解】因为，且是第三象限角，所以. 故选：D. 3. 已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据弧长公式以及周长得出半径，再由公式得出面积. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形的周长为，所以，即，故扇形的面积为. 故选：C 4. 计算：（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将换成，再切化弦，利用差角公式及诱导公式化简即可. 【详解】原式 . 故选：A. 5. 设函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】判断“”和“为偶函数”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】由，得，，则为偶函数， 由为偶函数，得，，得， 所以“”是“为偶函数”的充要条件. 故选：C. 6. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件，可知函数关于对称，由对任意（0，3)都有，可知函数在（0，3)时单调递减，然后根据单调性和对称性即可得到的大小． 【详解】因为，得函数关于对称， 又对任意（0，3)都有，所以函数在（0，3)时单调递减， 因为，所以， 又，所以，所以，故选C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较,利用条件求出函数的单调性和对称性,利用单调性和对称性之间的关系是解决本题的关键. 7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答 【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为， 则“进步值”与“退步值”的比， 两边取对数得， 因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍. 故选：B 8. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，得到，构造函数，利用函数的单调性即可得出选项A和B的正误；对于选项C，通过取特殊值，即可得出选项的正误，对于选项D，利用的单调性即可得出结果. 【详解】依题意，因为，所以， 设函数，易知函数在上单调递增，故，所以选项A错误； 又因为，所以，所以，所以选项B错误； 又因为，取，则，所以选项C错误； 因为，所以，所以，所以选项D正确． 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据存在命题得否定判断A；根据定义域不同判断B；求分式不等式的解集判断C；根据不等式的性质判断D. 【详解】由存在量词命题的否定知，“，”的否定是“，”，故A正确； 由，知的定义域为，由或，知的定义域为，所以不是同一个函数，故B错误： 由得，解得：，故不等式的解集是，故C正确； 由不等式的性质，，又，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 函数的定义域为 B. 函数的周期与函数的周期相同 C. 函数图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正切函数的性质逐一求解即可. 【详解】对于A，令,则, 函数的定义域为，A正确; 对于B，函数的周期与的周期相同,为的周期，即函数的周期与函数的周期不相同，错误； 对于C，令则, 函数图象的对称中心为，C错误; 对于D，令, 则, 函数的单调递增区间为，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的周期，估计的范围，再求函数的零点，由此确定，，结合条件化简可得结论. 【详解】函数的周期为， 由图象可得，令，可得：， 所以，即，又， 所以，， 又因为，所以，所以， ，为定值. 故选：B 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值等于_________； 【答案】4 【解析】 【分析】在所求分式的分子和分母中同时除以，将分式变形为只含的代数式，代值计算即可. 【详解】． 故答案为：4. 13. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合间的基本关系得出，再代入验证. 【详解】由，知是的子集，所以或或. 由集合中元素的互异性，知，所以，故，. 从而，而，故. 经验证满足条件. 故答案为：. 14. 定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据定义,求出时的解析式,由奇函数求出另一边的解析式,进而可画出函数的图象,由可得且,解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数,所以, 当时,由,解得, 由,解得 所以, 因为是定义域为的奇函数， 所以当时， 当时,由,得, 当时,由,得, 作出函数的图象如图所示, 因为对任意,都有, 所以将的图象向右平移2个单位后,图象在的非下方, 所以且, 解得,且, 即实数的取值范围是. 故答案为:. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2），. 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式以及辅助角公式化简，即可利用周期的计算公式求解， （2）利用整体法即可求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由，，得，， 所以函数的单调递增区间为，. 16. 已知函数（）. （1）若对一切实数x都成立，求k的取值范围； （2）若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先对二次项系数进行讨论，只有当时与当且时才能恒成立，进而求得结果. （2）分析得出只有当开口向下且，才能满足题意，求解即可. 【小问1详解】 当时，显然成立； 当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方，即， 得； 当时，二次函数的图象开口向上， 一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 【小问2详解】 易知函数的对称轴为直线，且， 函数在区间上有两个不相等的零点，须函数开口向下，所以， 且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故， 又结合二次函数的图象与性质以及零点存在性定理， 需要满足在区间的最大值大于0，即，且即可， 即，解得， 综上所述，. 17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线（，），其振幅为，且经过点. （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）若，判断是否为常数？并说明理由. 【答案】（1），. （2）是，常数为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据振幅求出，将点代入解析式即可； （2）化简，通过诱导公式、两角和差的余弦公式，化简即可证明. 【小问1详解】 由振幅为，，可得，， 由嗓声声波曲线经过点，得， 而，，则，则， 又降嗓声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反，所以. 【小问2详解】 由（1）得， 则 . 18. 已知，. （1）证明：； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）. （2）在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 .因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. （1），，，比较的大小; （2）当时，证明：； （3）设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 【答案】（1） （2）设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以； 设，， 则， 令，，则在上单调递增， 令，，则在上单调递减， 又，， 所以，即， 综上，. （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小； （2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证； （3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可. 【小问1详解】 由题知，用泰勒展开式前三项计算， 则， 又， ， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 易知，， 当时，显然成立； 当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故， 则函数最大值小于，于是，因此. 同理，若，也能得到. 所以函数在区间上单调递减， 所以，于是， 变形有， 又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数， 故，所以可以化为， 由（2）可以知道没有两个解， 此时不存在区间满足条件. 综上所述，符合条件的区间只有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市第一中学2024-2025学年度高一第一学期期末考试 数 学 命题人：彭思维 吴海波 审题人：龚日辉 申京京 时量：120分钟 满分：150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知，且是第三象限角，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知扇形的周长为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 设函数，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知定义在上的函数满足，且对任意（0，3)都有，若，，，则下面结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 8. 已知，且，则（ ）． A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题是真命题的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 不等式的解集为 D. 若，，则 10. 已知函数，则下列说法正确的是（） A. 函数的定义域为 B. 函数的周期与函数的周期相同 C. 函数图象的对称中心为 D. 函数的单调递增区间为 11. 已知函数的部分图象如图所示，，是的两个零点，若，则下列不为定值的量是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则的值等于_________； 13. 已知集合，，若，则实数的值为__________. 14. 定义：，已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值范围是_________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间. 16. 已知函数（）. （1）若对一切实数x都成立，求k的取值范围； （2）若函数在区间上有两个不相等的零点，求k的取值范围. 17. 主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示），已知某噪声声波曲线（，），其振幅为，且经过点. （1）求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； （2）若，判断是否为常数？并说明理由. 18. 已知，. （1）证明：； （2）判断并用定义证明的单调性； （3）若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 19. 十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. （1），，，比较的大小; （2）当时，证明：； （3）设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $