第28章 锐角三角函数 章节测试练习卷 - 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第28章 锐角三角函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（    ） A． B． C． D． 3．式子sin45°+sin60°﹣2tan45°的值是（　　） A．22 B． C．2 D．2 4．数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（　 ） A．2 B． C． D． 6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　） A．60° B．45° C．15° D．90° 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 8．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为(      ) A．500m B．2000m C．1000m D．1000m 9．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知直线l：y=x，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，点B2013的坐标为(　　) A．(42012×，42012) B．(24026×，24026) C．(24026×，24024) D．(44024×，44024) 二、填空题 11．的值是 ． 12．计算： ． 13．在中，，，则的值为 . 14． ． 15．已知α为锐角,且sin (90°-α)=,则cosα= . 16．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm． 17．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于 ． 18．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝3，EF＝4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则AE＝ . 三、解答题 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA和sinB的值． 20．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 21．一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73) 22．如图，一艘缉私艇位于小岛北偏东的方向8海里的处，一艘走私船从小岛出发，沿北偏东方向匀速驶离小岛，同时缉私艇从处出发，恰好在处截到走私船，若走私船与缉私艇的速度比为，求缉私艇行驶的路程． 23．在直角三角形ABC中，∠C=90°，，∠B的平分线BD交AC于D，BD=16．求AB的长． 24．计算： (1)(－1)2－2cos30°＋＋(－2017)0； (2)＋4sin60°. 25．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度． 26．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第28章 锐角三角函数 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求角的余弦值 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案． 【详解】如图：   ， 由勾股定理，得 AC===2， 由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA===， 故选D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦． 2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求角的正切值 【详解】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ． 故选A． 3．式子sin45°+sin60°﹣2tan45°的值是（　　） A．22 B． C．2 D．2 【答案】B 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可. 【详解】解：sin45°+sin60°﹣2tan45° 故选B 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键. 4．数字，，π，，cos45°，中是无理数的个数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】∵，cos45°=， ∴数字，，π，，cos45°，中属于无理数的有：，π，cos45°，共3个． 故选C． 5．如图，在中，是上一点，于，且，则的长为（　 ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】由题意可知∠，即得，从而求出，再根据∠的正切函数即可求得结果. 【详解】由题意得∠，，， ，，，解得. 故选B. 6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度是（　　） A．60° B．45° C．15° D．90° 【答案】C 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【详解】∵sin∠CAB= ∴∠CAB=45°． ∵， ∴∠C′AB′=60°． ∴∠CAC′=60°-45°=15°， 鱼竿转过的角度是15°． 故选C． 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形，则正六边形的顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、解直角三角形的相关计算 【分析】如图，以为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°，即把绕点O顺时针旋转i个45°，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，利用关于原点成中心对称，从而可得答案． 【详解】解：如图，以为圆心，为半径作 将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个45°， 即把绕点O顺时针旋转i个45°， 旋转后的对应点依次记为， 周角＝ 绕点O顺时针旋转顺时针旋转次回到原位置， 与重合， 关于原点成中心对称， 连接 正六边形， 关于原点成中心对称， 故选A． 【点睛】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键． 8．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地面指挥站与飞机的水平距离BC为(      ) A．500m B．2000m C．1000m D．1000m 【答案】D 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】首先根据图示，可得∠B=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以tan30°即可求出BC的长． 【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°， ∴∠B=∠α=30°， 在Rt△ABC中，BC===． 故选D． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 9．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求角的正弦值 【分析】由垂直定义及锐角互余可得∠B＝∠ACD＝∠α，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，即可得答案 【详解】∵AC⊥BC、CD⊥AB， ∴∠ACB＝∠CDB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACD＝∠α， 在Rt△ABC中，sinα＝； 在Rt△BCD中，sinα＝； 在Rt△ACD中，sinα＝； 故选C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 10．如图，已知直线l：y=x，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，点B2013的坐标为(　　) A．(42012×，42012) B．(24026×，24026) C．(24026×，24024) D．(44024×，44024) 【答案】B 【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、一次函数与几何综合、一次函数的规律探究问题 【分析】先根据题意找出A2013的坐标，再根据A2013的坐标与B2013的纵坐标相同即可得出结论． 【详解】∵直线l的解析式为：yx，∴l与x轴的夹角为30°． ∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°． ∵OA=1，∴AB． ∵A1B⊥l，∴∠ABA1=60°，∴AA1=3，∴A1（0，4），∴B1（4，4），同理可得B2（16，16），…，∴A2013纵坐标为：24026，∴A2013（0，24026），∴B2013（24026，24026）． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A1、A2、A3…及B、B1、B2、B3…的点的坐标是解决本题的关键． 二、填空题 11．的值是 ． 【答案】 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【详解】分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可：． 12．计算： ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】原式=2-= 【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 13．在中，，，则的值为 . 【答案】 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据题意设，则，得出，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 设，则， ∴， ∴    故答案为：． 【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义． 14． ． 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、实数的混合运算 【分析】根据，代入运算即可． 【详解】解： = = 故答案为：． 【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值． 15．已知α为锐角,且sin (90°-α)=,则cosα= . 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数 【详解】根据规律：sin (90°-α)=cosα,易得cosα=. 16．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm． 【答案】64 【知识点】已知正弦值求边长 【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题； 【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F． ∵AB//EF，AE//BF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEF＝90°， ∴四边形AEFB是矩形， ∴EF＝AB＝10（cm）， ∵AE//PC， ∴∠PCA＝∠CAE＝30°， ∴CE＝AC•sin30°＝27（cm）， 同法可得DF＝27（cm）， ∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm）， 故答案为64． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题． 17．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为，那么该三角形的面积等于 ． 【答案】1或2 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】设最小角为x，则最大角为x+45°，再分情况讨论：当顶角为x+45°时，由三角形内角和可求得x=45°，由此得到三角形为等腰直角三角形，从而求得三角形的面积；当顶角为x时，由三角形内角和定理可求得x=30°，再求得CD的长度，再从而求得三角形的面积． 【详解】设最小角为，则最大角为， ①当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为等腰直角三角形，则三角形的面积； ②当顶角为时，则， 解得， ∴三角形为顶角为30度的等腰三角形， 如图所示：作于，则，， ， ， 三角形的面积； 综上所述，三角形的面积为：1或2． 故答案是：1或2． 【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用解直角三角形的方法求得三角形的边长． 18．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝3，EF＝4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则AE＝ . 【答案】3－1 【知识点】利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算 【详解】试题分析：∵∠F＝45°，BC＝3， ∴CF＝3，又EF＝4， 则EC＝1， ∵BC＝3，∠A＝30°， ∴AC＝， 则AE＝－1． 故答案为－1． 点睛：本题考查的是平移的性质，正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值是解题的关键． 三、解答题 19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA和sinB的值． 【答案】sinA＝，sinB＝. 【知识点】求角的正弦值 【分析】先根据勾股定理求出AB的值再计算角的正弦函数值即可. 【详解】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB＝＝＝ (cm)， ∴sinA＝＝＝ sinB＝＝＝. 即sinA＝，sinB＝. 【点睛】本题考查了正弦函数的计算，根据勾股定理求AB是解题的关键. 20．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点，在河南岸选了相距100m的，两点．现测得，，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）． 【答案】63.4m 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与AD关系，根据BC＝100m，可以求得AD的长度． 【详解】解：过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ADB中，∠B＝60°， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD•tan30°＝AD， 在Rt△ADC中，∠C＝45°， ∴CD＝AD，又BC＝100m， ∴BD+CD＝AD+AD＝100． 解得AD≈63.4m． 答：这段河的宽约为63.4米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角函数求解． 21．一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图)，若该船的航行速度为每小时20海里，那么船在C点时距离灯塔B多远？(取1.73) 【答案】34.6(海里) 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题是求BC的长，在直角三角形ABC中，AB的长可根据路程=速度×时间求出，又知道了∠BAC的度数，那么BC就能求出来了． 【详解】解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°, AC=20×(11－10)=20(海里). ∴tan∠BAC=,即tan60°=. ∴BC=20tan60°=20≈34.6(海里). 【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键. 22．如图，一艘缉私艇位于小岛北偏东的方向8海里的处，一艘走私船从小岛出发，沿北偏东方向匀速驶离小岛，同时缉私艇从处出发，恰好在处截到走私船，若走私船与缉私艇的速度比为，求缉私艇行驶的路程． 【答案】7海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【详解】解：过点作，交于点．在中，由，得（海里），（海里）．设为海里，则为海里，在中，，即，解得（舍），（海里）． 答：缉私艇行驶的路程为7海里． 【易错点分析】如何构造直角三角形是关键，过点作上的高，这个特殊角被拆开了；过点作上的高，的长度没法使用；只有过点作的高，才能充分利用和这两个已知条件． 23．在直角三角形ABC中，∠C=90°，，∠B的平分线BD交AC于D，BD=16．求AB的长． 【答案】． 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】首先根据锐角三角形函数值的知识求出∠B的度数，进而求出BC的长度，在直角三角形中，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长． 【详解】在直角三角形ABC中，∠C=90°， ∵cosA=， ∴∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵BD是∠B的平分线， ∴∠DBC=30°， 在直角三角形DBC中 cos30°=， ∴BC=16×＝8， 在直角三角形ACB中， ∵∠A=30°， ∴30°的角所对的直角边等于斜边的一半， ∴AB=16． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握锐角三角形函数的定义以及含30°角直角三角形的性质，此题难度不大． 24．计算： (1)(－1)2－2cos30°＋＋(－2017)0； (2)＋4sin60°. 【答案】(1) 2；(2) 0. 【知识点】特殊三角形的三角函数 【详解】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可. (2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可. 试题解析：(1) 原式＝1－2×＋＋1＝1－＋＋1＝2； (2) 原式＝＋4×＝－2＋2＝0. 25．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度． 【答案】这栋高楼的高度是 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，再根据BC=BD+CD即可求解． 【详解】过点A作AD⊥BC于点D, 依题意得，，，AD=120， 在Rt△ABD中， ∴， 在Rt△ADC中， ∴， ∴ ， 答：这栋高楼的高度是. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的方法是利用作高线转化为直角三角形的计算． 26．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”． 如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长． 【答案】2 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长． 【详解】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2， ∵OA′•OA=42， 而r=4，OA=8， ∴OA′=2， ∵OB′•OB=42， ∴OB′=4，即点B和B′重合， ∵∠BOA=60°，OB=OC， ∴△OBC为等边三角形， 而点A′为OC的中点， ∴B′A′⊥OC， 在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′=， ∴A′B′=4sin60°=． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$