第03章 圆 章节测试练习卷- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（北师大版）

第03章 圆 章节测试练习卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、单选题 1．圆的直径为13cm，如果圆心与直线的距离是d，则． A．当d=8cm，直线与圆相交． B．当d=4.5cm时，直线与圆相离． C．当d=6.5cm时，直线与圆相切． D．当d=13cm时，直线与圆相切． 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】根据圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系逐一判断即可. 【详解】∵圆的直径为13cm， ∴圆的半径为6.5cm A. 当d=8cm时，因为6.5cm＜8cm，所以直线与圆相离，故A错误； B. 当d=4.5cm时，因为6.5cm＞4.5cm，所以直线与圆相交，故B错误； C. 当d=6.5cm时，因为6.5cm＝6.5cm，所以直线与圆相切，故C正确； D. 当d=13cm时，因为6.5cm＜13cm，所以直线与圆相离，故D错误； 故选C. 【点睛】此题考查的是圆与直线的位置关系，掌握圆与直线的位置关系与半径和圆心与直线的距离d的大小关系是解决此题的关键. 2．下列说法中，不正确的是（  ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．等弧的长度一定相等 C．周长相等的两个圆是等圆 D．相等的弦所对的圆周角也相等 【答案】D 【知识点】圆 【详解】试题分析：A．过圆心的弦是圆的直径，说法正确； B．等弧的长度一定相等，说法正确； C．周长相等的两个圆是等圆，说法正确； D．同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，应是在同圆或等圆中，同一条弦所对的两条弧一定是等弧； 故选D． 考点：圆的认识． 3．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（　　） A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8， ∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°， 由勾股定理得：OD＝, ∴AD＝OA＋OD＝5＋3＝8， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝， 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键． 4．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于（　　） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】D 【知识点】利用垂径定理求值 【分析】连接OA，即可证得△OMA是直角三角形，根据勾股定理即可求得AM的长，根据垂径定理即可求得AB． 【详解】解：连接OA， ∵M是AB的中点， ∴OM⊥AB，AB=2AM， ∵OA=10，OM＝6， 在Rt△OAM中，， ∴弦AB=16． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，以及勾股定理，证明△OAM是直角三角形是解题的关键． 5．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、应用切线长定理求解 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 6．有一直径为的圆，且圆上有、、、四点，其位置如图所示．若，，，，，则下列弧长关系何者正确？（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用弧、弦、圆心角的关系求证、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，，先求解， 可得，，再求解 可得， ，从而可得答案. 【详解】解：连接，， 直径，，， ， ， ， ， ， 直径，，， ， ， ， ， 所以B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆中弧、弦的关系和直径所对的圆周角是直角，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 7．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC．若∠BCD＝50°，则∠AOC的度数为(   ) A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，根据切线的性质得出∠OCD=90°，由∠BCD=50°，得出∠OCB=40°，再利用圆心角等于圆周角的2倍即可得∠AOC的度数． 【详解】解：∵CD为切线， ∴∠OCD=90°， 又∠BCD=50°， ∴∠OCB=40°， ∵OC=OB， ∴∠B=∠BCO=40°， ∴∠AOC=2∠B=80°， 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理等，正确求出∠B的度数是解题的关键． 8．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、求角的正切值 【详解】解：连接CD， 因为， 所以CD为直径， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， 根据勾股定理得OD=4 所以tan∠CDO=， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则tan∠OBC=， 故选C． 9．如图，线段是的直径，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，从而求出的度数，最后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：如图：连接， 是的直径， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 10．如图所示，以正方形的顶点为圆心的弧恰好与对角线相切，以顶点为圆心，正方形的边长为半径的弧，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】连接AC交BD于O，由正方形的性质得出OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°，由勾股定理求出BD，得出OA=OB=，求出△AOB的面积、扇形AOE的面积、扇形ABF的面积，即可得出图中阴影部分的面积． 【详解】连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB=BD，AC⊥BD，∠BAD=90°，AB=AD=2，∠BAO=∠ABF=45°， ∴BD==， ∴OA=OB=， ∴△AOB的面积=××=1， ∵以正方形ABCD的顶点A为圆心的弧恰好与对角线BD相切，AC⊥BD， ∴O为切点， ∵扇形AOE的面积=，扇形ABF的面积=， ∴图中阴影部分的面积=. 故选D． 【点睛】本题考查了切线的性质、正方形的性质、勾股定理、扇形面积的计算；熟练掌握切线的性质和正方形的性质，求出扇形的面积是解决问题的关键． 二、填空题 11．若扇形的弧长为，圆心角为，则它的半径为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，掌握弧长公式：是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案：． 12．已知的半径，圆心O到直线的距离d是方程的解，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切或相离 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】首先求出一元二次方程的解，然后比较d和半径的关系即可得解. 【详解】根据题意，得 解得 即 当时，，直线与的位置关系是相切； 当时，，直线与的位置关系是相离； 故答案为相切或相离. 【点睛】此题主要考查一元二次方程和圆与直线的位置关系，熟练掌握，即可解题. 13．若直线l上有四点A，B，C，D，直线l外有一点P，则经过图中的三个点作圆，最多可以作 个． 【答案】6 【知识点】求能确定的圆的个数 【分析】本题考查了确定圆的条件，理解“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解题的关键．直线l上的四点A，B，C，D，选其中三个点不能确定圆，只能从中选择二个点，与点P三个点作圆，再列举出选取的方式即可． 【详解】解：∵不在同一条直线上的三个点确定一个圆， ∴A，B，C，D，四点中选择二个点，与点P，三个点作圆， 选取的方式有：A，B，P；A，C，P；A，D，P；B，C，P；B，D，P；C，D，P，共6个． 故答案为：6． 14．若圆锥的母线长为8cm，其底面半径为2cm，则圆锥的侧面积为 cm2（结果保留π）． 【答案】16π． 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】圆锥的侧面积＝2π×8×2＝16π（cm2）． 故答案为：16π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长． 15．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm． 【答案】8 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求． 【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D， 则AB=2AD， ∵钢珠的直径是10mm， ∴钢珠的半径是5mm． ∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm， ∴OD=3mm． 在Rt△AOD中，∵mm， ∴AB=2AD=2×4=8mm 故答案为8 【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键． 16．如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 【答案】1 【知识点】应用切线长定理求解、切线的性质和判定的综合应用、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是正方形的性质，切线的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，．设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，为半圆E的切线， 又∵为半圆E的切线， ∴，． 设， 则有，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 故答案为：． 17．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 cm. 【答案】50 【知识点】利用垂径定理求解其他问题 【分析】根据垂径定理求得AD=30cm，然后根据勾股定理即可求得半径． 【详解】如图，设点O为外圆的圆心，连接OA和OC， ∵CD=10cm，AB=60cm， ∵CD⊥AB， ∴OC⊥AB， ∴ ∴设半径为r，则OD=r−10， 根据题意得： 解得：r=50. ∴这个车轮的外圆半径长为50. 故答案为50. 【点睛】考查勾股定理以及垂径定理，构造直角三角形是解题的关键. 18．在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C ；点B在⊙C ；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O ． 【答案】 上； 外； 上 【知识点】点和圆的位置关系、判断点与圆的位置关系 【分析】由于⊙C的半径为2cm，而AC=2cm，BC=4cm，则根据点与圆的位置关系的判定方法得到点A在⊙C上，点B在⊙C外；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到点C到AB的中点的距离等于AB，然后根据点与圆的位置关系的判定方法得点C在以AB为直径的⊙O上． 【详解】∵⊙C的半径为2cm， 而AC=2cm，BC=4cm， ∴点A在⊙C上；点B在⊙C外； ∵点C到AB的中点的距离等于AB， ∴点C在以AB为直径的⊙O上. 故答案为:上；外；上. 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系.掌握点与圆的位置关系判定方法是解题的关键. 三、解答题 19．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 【答案】见解析. 【知识点】角平分线的性质定理、利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度 【分析】连接CE，根据圆内接四边形的性质和垂径定理进行计算即可得到答案. 【详解】连接CE， 则∠FCE=∠DAE，∠ECB=∠EAB 又∵∠DAE=∠EAB ∴∠FCE=∠ECB ∵EM⊥CB，EN⊥CF ∴EM=EN. 【点睛】本题考查垂径定理和圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理和圆内接四边形的性质. 20．已知，如图，在中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】此题考查了弧与弦的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．利用，，得出，，即可得，即可证． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 21．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？ 【答案】作图见解析；三角形的内心都在三角形的内部 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、三角形内心有关应用 【分析】分别作三角形的角平分线，以角平分线的交点为圆心，交点到三角形的边的距离为半径作圆即可，由图可知三角形的内心都在三角形的内部． 【详解】如图所示， 由图可知三角形的内心都在三角形的内部． 【点睛】本题考查了三角形的内心，作角平分线，作垂线，理解三角形的内心是三角形角平分线的交点是解题的关键． 22．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，于D，以O为圆心、为半径作．求证：与相切． 【答案】见详解 【知识点】证明某直线是圆的切线 【分析】过点O作OE⊥AC于点E，由题意易得，，，则可证，进而可得，最后问题可求解． 【详解】证明：过点O作OE⊥AC于点E，如图所示： ∵为等腰三角形，O是底边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即OE为的半径， ∴与相切． 【点睛】本题主要考查切线的判定定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 23．如图，直线分别与⊙O相切于点，且．求： （1）的度数； （2）⊙O的半径． 【答案】（1）90°；（2） 【知识点】应用切线长定理求解 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°； （2）由勾股定理可求得BC的长，再根据三角形的面积，即可求得半径． 【详解】解：（1）连接OF； 根据切线长定理得：BE=BF，CF=CG， ∠OBF=∠OBE，∠OCF=∠OCG；   ∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°， ∴∠OBF+∠OCF=90°， ∴∠BOC=90°；               （2）∵OB=6cm，OC=8cm， ∴BC=10cm， 故半径为：4.8． 【点睛】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．由勾股定理可求得BC的长是关键． 24．如图，在四边形中，，且．该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径． 【答案】存在内切圆，内切圆的半径为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、应用切线长定理求解 【分析】连接，作的平分线交于点 ，作于 ，如图求得 ，则 , ,所以 平方 和 ，加上 平方 ，根据角平分线性质得到点到四边形的各边的距离相等，则可判断四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为,接着证明为等腰直角三角形得到,设，则，，然后证明 ,利用相似比可计算出． 【详解】存在． 连接，作的平分线，交于点O，作 于 ,如图所示， 在 和 中， , , , 平方 和 ， 平方 , 点到四边形的各边的距离相等， 四边形存在内切圆，内切圆的圆心点，半径为 , , , 为等腰直角三角形， , 设，则，， 平行, , 即 ， ． 即四边形的内切圆的半径为． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心；与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角平分线的交点．也考查了角平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M， (1)求证：； (2)求证：AM＝DM． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得； （2）首先连接AC，BD，易证得△ACM≌△DBM，继而证得AM=DM． 【详解】（1）∵在⊙O中，AB＝CD， ∴， ∴， ∴； （2）连接AC，BD， ∵， ∴AC＝BD， 在△ACM和△DBM中， ， ∴△ACM≌△DBM（ASA）， ∴AM＝DM． 【点睛】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 26．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O切线交y轴于点A． （1）求⊙O半径； （2）求的值； （3）如图，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交y轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由． 【答案】(1)5;(2);(3)值不变，，理由见解析 【知识点】利用垂径定理求解其他问题 【分析】（1）因为点D在圆上，根据点D的坐标利用勾股定理即可求得OD的长，即半径； （2）连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH，根据同角的余角相等可得到∠HAO=∠OHQ，根据已知可求得sin∠OHQ的值，则sin∠HAO的值也就求得了； （3）设点D关于y轴的对称点为H，连接HD交OP于Q，连接OH交BC于点T，则HD⊥OP，根据角平分线的性质及垂径定理可得到∠CGO=∠OHQ，则求得sin∠OHQ的值即sin∠CGO的值． 【详解】（1）点D（4，3）在⊙O上， ∴OD2=42+32， ∴OD=5， ∴⊙O的半径r=OD=5；（1分） （2）如图1，连接HD交OA于Q，则HD⊥OA，连接OH，则OH⊥AH， ∴∠HAO=∠OHQ ∴sin∠HAO=sin∠OHQ=； （3）连接DH交y轴于点Q，连接OH交BC于点T（如图2）． ∵D与H关于y轴对称， ∴DH⊥EF， 又∵△DEF为等腰三角形， ∴DH平分∠BDC， ∴∠BDH=∠HDC， ∴， ∵HO为⊙O半径， ∴OT⊥BC，∠HQO=90°， ∴∠CGO+∠HOQ=90°，∠HOQ+∠QHO=90° ∴∠CGO=∠QHO， ∴当E、F两点在OP上运动时，sin∠CGO的值不变． 【点睛】考查切线的性质，关于x轴、y轴、原点对称点的坐标，解直角三角形及垂径定理等知识点的综合运用． ( 2 ) 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15．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm． 16．如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ． 17．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，作CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，则这个车轮的外圆半径为 cm. 18．在Rt△ABC中，，cm，cm，若以C为圆心，以2cm为半径作圆，则点A在⊙C ；点B在⊙C ；若以AB为直径作⊙O，则点C在⊙O ． 三、解答题 19．如图所示，ABCD是圆的内接四边形，AE平分∠BAD交外接圆于点E，点E到BC和DC的距离分别为EM，EN，求证：EM=EN. 20．已知，如图，在中，，，求证：． 21．如图，已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆．三角形的内心是否都在三角形内部？ 22．如图，为等腰三角形，O是底边的中点，于D，以O为圆心、为半径作．求证：与相切． 23．如图，直线分别与⊙O相切于点，且．求： （1）的度数； （2）⊙O的半径． 24．如图，在四边形中，，且．该四边形存在内切圆吗？如果存在，请计算内切圆的半径． 25．已知：如图，在⊙O中，AB＝CD，AB与CD相交于点M， (1)求证：； (2)求证：AM＝DM． 26．已知⊙O过点D（4，3），点H与点D关于y轴对称，过H作⊙O切线交y轴于点A． （1）求⊙O半径； （2）求的值； （3）如图，设⊙O与y轴正半轴交点P，点E、F是线段OP上的动点（与P点不重合），连接并延长DE、DF交⊙O于点B、C，直线BC交y轴于点G，若是以EF为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化？请说明理由． ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$