弧长与扇形面积 2024-2025学年北师大版数学九年级下册知识点训练

弧长与扇形面积—2024-2025学年北师大版数学九年级下册知识点训练 一、选择题（每题3分，共24分） 1．如图，点A，B，C在半径为3的⊙O上，，则的长为（　　） A．3 B． C．π D． 2．如图，是的内接三角形，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（　　） A． B． C． D． 4．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．4πcm 5．将一个半径为1的圆形纸片，如图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（　　） A． B． C． D． 6．如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若，，，则阴影部分面积为（　　） A． B． C． D． 7． 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为的斜边BC，直角边AB，AC．的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分（两个白色弓形部分）记为Ⅲ．设Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的面积分别为，，，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，两个三角形纸板 ， 能完全重合， ， ， ，将 绕点 从重合位置开始，按逆时针方向旋转，边 ， 分别与 ， 交于点 ， （点 不与点 ， 重合），点 是 的内心，若 ，点 运动的路径为 ，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共15分） 9．如图，已知点C，D是以为直径的半圆的三等分点，半径，则扇形的面积为　 　． 10．如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点旋转了，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了　 　． 11．如图，中，，，，以为圆心，为半径的圆弧分别交、于点、，则图中阴影部分面积之和为　 　． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠A=60°，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到Rt△DCE，点B经过的路径为，将线段AB绕点A顺时针旋转60°后，点B恰好落在CE上的点F处，点B经过的路径为弧BF，则图中阴影部分的面积是　 　.（结果保留π） 13．如图，是某十字路口机动车转弯时的示意图，设计转弯半径，转弯角度，大型机动车实际转弯时，转弯半径，转弯角度，则大型机动车转弯实际行驶路程（的长）与设计转弯行驶路程（AB的长）的差为　 　（结果保留）． 三、解答题（共7题，共61分） 14．按要求画出图形： （1）作关于原点中心对称的图形得到； （2）作绕点逆时针旋转得到．且求出点到所经过的路线长． 15．如图，在中，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是多少？（结果用含的式子表示）． 16．如图是一款利用曲边三角形制造的扫地机如图是一个曲边三角形，它可按照如下方法作出：作等边三角形，分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，，三段弧所围成的图形就是曲边三角形若这个曲边三角形的周长为，求它的面积结果保留． 17．如图1，的直径，在中，，，，以1cm/s的速度从右向左运动，在运动过程中，点D、E始终在直线上．设运动的时间为t（s），当时，在的右侧，． （1）当　 　s时，所在的直线与相切； 当　 　s时，所在的直线与相切； （2）当所在的直线与相切时，若与有重叠部分，求重叠部分的面积； （3）当时，如图2，点P是线段上的一个动点，过点P作的一条切线（Q为切点），求线段的最小值． 18．综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如1图所示： ①一张直径为10cm的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗. 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸： 步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中. 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明. （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留) 19．陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一如图是从正面看到的一个“老碗”，其横截面可以近似的看成是如图所示的以为直径的半圆，为台面截线，半圆与相切于点，连结与相交于点水面截线，，． （1）如图求水深； （2）将图中的老碗先沿台面向左作无滑动的滚动到如图的位置，使得、重合，求此时最高点和最低点之间的距离的长； （3）将碗从中的位置开始向右边滚动到图所示时停止，若此时，求滚动过程中圆心运动的路径长． 20．如图，在中，连接，以为直径的半圆O，从与共线开始绕点D逆时针旋转，直线与第一次重合时，停止运动，点K是半圆O的中点，连接，当，与线段有交点时，设交点分别为点P和点Q，已知，，. （1）求的度数； （2）当点Q在上时，设，，请求出y与x的关系式； （3）当与重合时，求半圆O与所围成的弓形的面积. 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】B 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】 10．【答案】 11．【答案】 12．【答案】​​​​​​​ 13．【答案】 14．【答案】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求； （2）解：如下图，△A2B2C2即为所求； 点旋转到所经过的路线是弧， ∵，， ∴的长， ∴点到所经过的路线长是． 答：点到C2所经过的路线长是 15．【答案】解：以为圆心，AC为半径长，作圆弧，如图所示，在中，， ， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， ， 是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转，得到， ， 点的运动路径长为 16．【答案】解：设等边三角形的边长为， ，解得， 即正三角形的边长为， 这个曲边三角形的面积． 17．【答案】（1）1或5；3或11 （2）解：由题意可知当点C与点E重合时，所在的直线与相切时，与有重叠部分，如图所示： 设与相交于点H，连接， ∵（）是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴边上的高为， ∴与重叠部分的面积为； （3）解：连接，如图所示： 当时，则有， ∵与相切， ∴， ∴， 要使线段为最小值，则需满足为最小即可，根据点到直线垂线段最短可知当时，线段为最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 18．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形， 其圆心角度数==180°， 滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°， 此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁. （2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为： ， 即圆锥底面半径r=， 又∵滤纸母线长为5 cm， 此时由勾股定理得，圆锥高h=， ∴圆锥体积. 答：滤纸围成的圆锥形体积为. 19．【答案】（1）解：连接， 半圆与相切于点， ∴OP⊥MN， 又∵MN∥CD， ， ， ， 在中，由勾股定理，可得， ； （2）解：过点作的平行线，与的延长线相交于点． ， ， 在和中， ≌， ， 由可得，， ，． 由勾股定理可得，； （3）解：由（1）可知，， 在中，， ∴， ， ， 由题意可得圆心运动的路径长为的长度， ． 20．【答案】（1）解：连接，如图1所示： 点K为半圆O的中点，，， 为直径，， 在中，； （2）解：如图2所示： ，， ， 在等腰中，， 则由勾股定理可得， ， ， ，， ，即 （3）解：当与重合时， ， 点K在上，连接，如图3所示： 点K是半圆O的中点，. ，， ， 半圆O与所围成的弓形的面积为； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$