精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高二下学期寒假测试（开学考试）数学试题

高2026届高二寒假数学测试题 一、单选题 1. 已知直线与直线平行，则（ ） A. 4 B. C. 或5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行的条件，列式求出值. 【详解】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 2 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列的性质知， 所以， 所以， 所以， 故选：B 3. 一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出动点坐标并根据中点坐标公式代入可得轨迹方程. 【详解】设动点坐标为，中点坐标为； 易知满足， 可得，因此， 代入可得. 故选：A 4. 已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 5. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、，线段的中点为，由已知条件可得出，利用点差法以及点在直线上，可得出关于、的等式，解出这两个量的值，即可得出线段的中点坐标. 【详解】设点、，线段的中点为，则， 由题意，椭圆的离心率为，可得， 因为、关于直线对称，且直线的斜率为， 则， 将点、的坐标代入椭圆方程可得， 上述两个等式作差可得， 可得， 即，即，即， 又因为点在直线上，则， 则有，解得，故线段的中点为. 故选：A. 6. 等比数列 共有 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故选：D 7. 已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数有两个变号零点可求实数的取值范围. 【详解】, 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解，故， 所以， 故选：D. 8. 设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，利用导数求出的极值，当位于极小值与极大值之间时，可使有3个不同根，即可得答案. 【详解】因方程（）有个不同的根，，， 则，经比较系数可得， 则问题等价于，当方程有三个不同根时，k范围， 即图象与有三个交点时，k的范围， 注意到， 令；令， 则在上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，极小值为， 则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即. 故选：C. 二、多选题 9. 已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用与的关系，结合数列增减性的判断、等比数列的通项公式与求和公式即可得解. 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故CD正确. 故选：BCD. 10. 直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（ ） A. B. C. 以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D. 重心横坐标的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A：求得直线与轴的交点即可；B：由直线与抛物线方程联立，利用数量积运算结合韦达定理求解即可；C：设的中点为，表示以为直径的圆的方程为求解；D：由重心的坐标公式求解. 【详解】A：易知直线与轴交于点，即，所以，解得，故A错误； B：由选项A知抛物线，设，， 由，得，所以， 得，所以，故B正确； C：设的中点为，则，，所以以为直径的圆的方程为， 即，设该圆与y轴交，，令，得，所以，， 所以， 所以以为直径的圆被y轴所截的弦长为，不是定值，故C错误． D：由选项B知的重心的横坐标为， 当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：BD 11. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，根据递推公式即可判断；对利用判断；D利用数列的性质，结合斐波那契数列的前项和即可判断；对C，根据递推公式，即可判断. 【详解】对A：，，， 所以，，， ，故A正确； 对B：由， 可得， ，故B正确； 对C：， 可得， 即有，故C正确； 对于，故不正确． 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查斐波那契数列的递推公式，以及其偶数项和奇数项的和的求解；处理问题的关键是通过递推公式，找到相邻项的和与差的关.系 三、填空题 12. 若过点作圆的切线，切点为，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据两点间距离公式得到，然后利用勾股定理求即可. 【详解】 由题意得圆的圆心坐标，半径，， 则， 所以. 故答案为：2. 13. 双曲线的左、右焦点为，，以为圆心，为半径作圆，过作直线与圆切于点M.若M在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据为半径作圆，得到，从而，不妨设M在第一象限则，然后根据点M在渐近线上求解. 【详解】因为，， 所以， 不妨设M在第一象限，则， 因为点M在渐近线上， 所以， 所以. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于中档题. 14. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，，由条件结合设而不求法确定的关系，由此确定结论. 【详解】过点的斜率为的直线与抛物线有且只有一个交点，不满足要求， 故可设直线，代入抛物线方程， 消元可得， 设，则， ， ， ， 于是，即， . 故答案为：. 四、解答题 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）． （2）单调减区间是，单调增区间是． 【解析】 【分析】（1）求出导函数，计算导数得切线斜率，再求得后由点斜式得切线方程并整理成一般式； （2）由得增区间，由得减区间． 【小问1详解】 ，，又， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 ，定义域是， ， 当时，，当时，， 所以的单调减区间是，单调增区间是． 16. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出数列的通项，再根据与的关系结合是等比数列，即可得解； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 因为数列是公比为2的等比数列， 又，所以. 当时，由，得， 两式相减得， 又是等比数列，所以，所以，解得， 所以，当时上式成立， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 又，所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取点M为的中点，连接，由已知可证得四边形为平行四边形，则，即可证得平面； （2）由已知可得平面平面，进而平面，则直线与平面所成角为，设，则，可得，即可求得直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量，则利用向量法求得平面与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 取点M为的中点，连接， 因为点F为的中点，所以，， 又因为，， 又，则， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 【小问2详解】 因为平面，平面，所以平面平面， 又，平面平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为， 设，则， 因为，又， 所以，，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 在（2）的条件下，以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，过点A作平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，所以， 设平面与平面所成的角为，则， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 18. 如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， （1）求点的轨迹的方程； （2）若过点直线与轨迹交于点，， （i）若三角形的面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆，即可求解； （2）（i）根据条件设，，联立直线与椭圆方程得到，从而有，再利用，即可求解；（ii）假设存在满足题意，从而得，再利用（i）中结果，可得，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，长轴为4的椭圆， 又，得到，所以， 由题可知点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，，易知直线的斜率不为，设直线，， 由，消得到， 则，由韦达定理知， 所以，整理得到， 解得或（舍去），所以， 故直线的方程为或. （ii）假设存在满足题意， 则， 所以， 即为定值，所以，解得， 当时，，当时，. 【点睛】方法点晴：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定. （1）若，求，，的值； （2）若，设的前项和为，求； （3）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 【答案】（1），，； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由集合的新定义和集合中元素的性质，可得所求； （2）由集合的新定义和，推得，再由数列的错位相减法求和，计算可得所求和； （3）分和两种情况讨论，结合集合的新定义和等差数列的定义求解． 小问1详解】 若，可得，，，，， 由为集合中的元素个数，可得，，； 【小问2详解】 若，可得，，，，，， ，则， 可得， 上面两式相减可得， 即有； 【小问3详解】 由题可知，所以，即， 若，则，， 所以，，与是等差数列矛盾， 所以， 设， 因为是各项均为正整数的递增数列， 所以， 假设存在使得， 设，由得， 由得，，与是等差数列矛盾， 所以对任意都有， 所以数列是等差数列，． 【点睛】方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2026届高二寒假数学测试题 一、单选题 1 已知直线与直线平行，则（ ） A. 4 B. C. 或5 D. 2. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 3. 一动点在圆上移动时，它与定点连线中点轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆上存在两点关于直线对称，若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 等比数列 共有 项，其和为 240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，则公比 （ ） A. B. 2 C. 1 D. 7. 已知函数，有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（ ） A. 数列是等差数列 B. 数列是递增数列 C. D. 10. 直线与x轴的交点F为抛物线的焦点，若点O为坐标原点，l与C交于A、B两点．则（ ） A B. C. 以线段为直径的圆被y轴截得的弦长为定值 D. 重心横坐标的最小值为 11. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若过点作圆的切线，切点为，则________． 13. 双曲线的左、右焦点为，，以为圆心，为半径作圆，过作直线与圆切于点M.若M在双曲线的渐近线上，则双曲线的离心率为____________. 14. 已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，过分别作准线的垂线，垂足分别为，若和的面积分别为8和4，则的面积为______ 四、解答题 15. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间. 16. 已知等比数列的前项和为，且数列是公比为2的等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求证：. 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，点E在线段上，满足，点F为中点． （1）证明：平面； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 如图，已知圆的半径为，，是圆上的一个动点，的中垂线交于点，以直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， （1）求点的轨迹的方程； （2）若过点的直线与轨迹交于点，， （i）若三角形面积为，求直线的方程； （ii）探究轴上是否存在一点，使得直线，的斜率之积为定值．若存在，求出点的坐标和定值，若不存在，请说明理由． 19. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，设集合，设为集合中的元素个数，当时，规定. （1）若，求，，的值； （2）若，设的前项和为，求； （3）若数列是等差数列，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$