专题11 平面向量8大压轴考法-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教A版2019必修第二册）

专题11 平面向量8大压轴考法 题型1 平面向量共线定理及其推论 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 3．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）设为实数，若向量，，且与共线，则 . 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 6．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 题型2 平面向量基本定理 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在中，，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一上·福建·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 6．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 题型3 平面向量中的数量积问题 一、单选题 1．已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 4．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 6．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．已知点P为内一点，，则 ． 8．已知在中，，，则的最大值为 ． 9．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 题型4 平面向量中的模长问题 一、单选题 1．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．若平面向量，，满足，，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题 5．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 6．已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 题型5 平面向量中的夹角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ． 6．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 题型6 投影向量的求法 一、单选题 1．（23-24高一下·河北·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知，且．则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·云南·阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·福建厦门·二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 平面向量与“四心”结合 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（   ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）在中，，，，点是的重心，则（    ） A．7 B．8 C． D． 3．（23-24高一上·湖北·期中）已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（    ） A． B．3 C． D．4 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知中，所对的边为若为所在平面内点，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则为三角形的重心； ②若，则点是的垂心； ③若是的外心，则； ④若是的内心，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 8．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在中，有如下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．内一点满足，则是的重心 C．若，则的形状为等腰三角形 D．若，则必为的垂心 9．（23-24高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 题型8 等和线的应用 一、单选题 1.设是边上的点，,若，则 =（ ） 2.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( ) 3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题 4.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______. 5.如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 平面向量8大压轴考法 题型1 平面向量共线定理及其推论 一、单选题 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是两个不共线的平面向量，向量，（λ，μ∈R），若∥，则有（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理可设＝k，可得，再根据平面向量基本定理列方程组即可求解. 【详解】因为∥，所以设＝k， 因为，(λ，μ∈R)，所以， 即， 由，不共线可得，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线. 【详解】，,则不存在唯一，使得，故A错误. ，，则. 则，则，两个向量由公共点. 故A，B，D三点共线.故B正确. 同理，,则不存在唯一，使得，故C也错误. ，，则， 则不存在唯一，使得，故D也错误. 故选：B. 3．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）在中，为边上一点，与交于点，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算，结合图象，利用作为基底，表示，根据共线定理的推论，建立方程，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 由，则， 所以， 由共线，则，由，则， 所以，整理可得， 由共线，则，解得，即， 由， 则，所以. 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）设为实数，若向量，，且与共线，则 . 【答案】/ 【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案. 【详解】，，与共线， 则，则. 故答案为：. 5．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则 . 【答案】/ 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 6．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型2 平面向量基本定理 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底满足的条件逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 2．（23-24高一下·天津南开·期末）如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，，点为线段中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性表示可得. 【详解】因是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，易知， 由题设，， 由题意， 故选：D 3．（24-25高一上·河北保定·阶段练习）在中，，E为AD的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】选定基向量，利用向量的线性运算计算出，再由平面向量基本定理而得. 【详解】中，不共线，又因为， 则， 因为为的中点，， 所以. 故选：A. 4．（24-25高一上·北京房山·期末）如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可. 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 5．（23-24高一上·福建·阶段练习）在中，，是的中点，与交于点，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果. 【详解】 ∵，∴， ∴. ∵A，P，D三点共线，∴. ∵，∴. ∵E是边AB的中点，∴. ∵E，P，F三点共线，∴， ∴，解得，， ∴，即，，故. 故选：A. 6．（24-25高一上·辽宁大连·期末）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点．若，则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得、求参数，得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选：A 【点睛】关键点点睛：令、，利用不同参数及表示出为关键. 7．（24-25高一上·河北保定·期中）已知外接圆圆心为，为所在平面内一点，且．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出辅助线，得到，，所以四点共线，由三线合一知，⊥，所以，不妨设，求出各边长，所以，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】取的中点，连接，则， ， 故，，则， 而，所以， 所以四点共线，    又为外接圆圆心，连接，则， 由三线合一知，⊥，所以， 不妨设，则， 所以， 故 故选：C 8．（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 二、填空题 9．（23-24高一下·福建·期中）如图，在中，点O 是BC 的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=，AC=，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】根据题意，，所以， 所以， 又，， 所以， 因为三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 题型3 平面向量中的数量积问题 一、单选题 1．已知是边长为6的等边三角形，点分别是上的点，满足，连接交于点，求（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：根据三点共线的结论可得，结合数量积运算即可；方法二：作投影，结合数量积的几何意义运算求解；方法三：建系，可得，结合数量积的坐标运算求解. 【详解】方法一：因为共线， 设， 即， 则，解得， 所以 方法二：过点连接的中点，过点分别做边的垂线，垂足分别是， 易得， 则在边上的投影是， 所以； 方法三：以边的中点为坐标原点，以边为轴建立如图所示直角坐标系，    则， 设， 因为共线可得，解得， 即，可得， 所以. 故选：A. 2．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得为的中点，建立直角坐标系利用向量的坐标法即得. 【详解】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 3．已知平面向量，满足，，则的最大值为（    ） A．8 B． C．10 D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积运算律得，再利用向量不等式即可得到答案. 【详解】因为则，则， 所以，所以， ， 故选：C. 4．已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象，结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】设正方形的内切圆圆心为O，如图所示： 考虑是线段上的任意一点，，， 圆的半径长为1，由于是线段上的任意一点，则， 所以. 故选：A 5．设是边长为1的正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算得出，，再应用数量积公式化简，换元即可求出最小值. 【详解】如图，，，， ，得. ，， 设，则. 当，即，也就是时，取最小值. 故选:C. 6．已知中，，，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，应用向量数量积运算律得，结合最小值可得，进而建立合适的坐标系，应用坐标法求的最小值. 【详解】设，， 且 ， 当且仅当时等号成立，又的最小值为， 所以，又，则， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点，其中，且、， ，， 所以， 当且仅当时，取最小值. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 二、填空题 7．已知点P为内一点，，则 ． 【答案】2 【分析】设，进而可得，根据模长结合数量积的运算律分析求解即可. 【详解】设， 则，， 可得， ， 两式相减可得， 可得， 所以. 故答案为：2. 8．已知在中，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量数量积的定义将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质得到最值即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以， ， ，因为，所以， 故当时，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用正弦定理结合数量积的定义将目标式用三角函数表示，然后利用三角函数的性质得到所要求的最值即可． 9．如图，已知正方形的边长为2，过中心的直线与两边，分别交于点，，若是的中点，则的取值范围是 ；若是平面内一点，且满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由向量的加法和数量积运算将转化为，再由的值和的范围可求得结果；令可得点T 在BC上，再将转化为，由、的范围可求得结果. 【详解】由直线l过正方形的中心O且与两边AB、CD分别交于点M、N，得O为MN的中点， 则，， 由Q是BC的中点，得，又，则， 所以取值范围为； 令，则 ， 则，即，于是，即点T 在直线BC上， 因此，，则， 而，因此， 所以的最小值为. 故答案为：； 题型4 平面向量中的模长问题 一、单选题 1．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平面向量数量积的定义、平面向量数量积的运算性质结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 2．已知为坐标原点，为单位向量，且，．若，存在最小值，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，由向量数量积的运算律以及模长公式可得，再由二次函数的图像性质，即可得到结果. 【分析】因为， 所以． 又，， 所以 ． 令． 由，可知为二次函数，其图像开口向上， 要使，存在最小值，只需其图像的对称轴即可，解得． 则正数的取值范围是. 故选：D 3．已知平面向量满足，且与的夹角为，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知只要将用与表示，展开利用数量积和模的运算得到关于的二次函数，求最值． 【详解】因为平面向量，满足，且与的夹角为， 则 ， 所以的最小值是； 故选：A. 二、多选题 4．若平面向量，，满足，，，且，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】由题意得，从而引入参数，使得满足题意，将向量的模用复合型三角函数表示即可求解. 【详解】若平面向量，，满足，，，且， 则，即，， 不妨设，， 所以，， ，， 因为，所以的取值范围分别为， 所以，的取值范围分别为， 故AC正确，BD错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：关键是设出，结合三角函数性质以及模的计算公式即可顺利得解. 三、填空题 5．已知，，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 6 2 【分析】设的夹角为，对平方再开方，根据可得答案. 【详解】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 6．已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 题型5 平面向量中的夹角问题 一、单选题 1．（23-24高一下·湖北·期末）已知单位向量，互相垂直，若存在实数，使得与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的运算律和定义，列等式，即可求解. 【详解】因为 ， ，， 又与的夹角为， 所以，即， 解得：. 故选：D. 2．（23-24高一下·山西长治·期末）已知平面向量，满足，，，夹角为，若与夹角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据且与不共线，可求出结果. 【详解】根据题意可得且与不共线， 则， 所以，解得， 当与共线时，即存在，使得， 解得， 因为与不共线，所以， 所以且， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 3．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以为原点，建立直角坐标系，由又E为BC中点，在线段AB上，且，可得，的坐标，利用坐标运算可得的余弦值. 【详解】已知，由正弦定理得，又， 由余弦定理，所以， 则有，即是以为直角的直角三角形， 如图，以为原点，建立直角坐标系，设，则， 又E为BC中点，在线段AB上，且， 则，，，，， 解得． 故选：B. 二、填空题 4．（23-24高一下·河南漯河·期中）在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 【答案】/ 【分析】先根据平面向量线性运算法则计算，再由数量积的定义求出， 为向量与的夹角，求出与，再由夹角公式计算可得. 【详解】为边上的中线，， ，可得. ． ， ， 则． 故答案为：. 5．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知向量,，，则向量最大夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】设，根据得到满足关系式，然后利用向量夹角公式算出夹角余弦的表达式，利用一元二次方程的判别式算出的取值范围，进而算出向量最大夹角的余弦值. 【详解】根据题意设，可得， 所以， 设向量夹角为， 则， 设，得，代入， 整理得， 由，得， 即， 解得， 则当时，有最大值， 此时有最小值， 由于，可知最小时角最大，所以最大夹角的余弦值为. 故答案为:. 6．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量与的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，则与的夹角的最大值是 ． 【答案】 【详解】先通过向量的定义得到，从而，通过求出，再求出，利用表示夹角，进而利用基本不等式求最值. 【分析】因为为在方向上的投影向量，且与的夹角为锐角， 所以，故． 因为，且， 所以．设， 则， 故．又． 设与的夹角为，所以． 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，即， 故．又，所以． 故与的夹角的最大值是． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 题型6 投影向量的求法 一、单选题 1．（23-24高一下·河北·期中）已知，，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可得，再由，两边平方可得，由投影向量计算公式即可得到在上的投影向量. 【详解】因为，所以， 又，， 所以，得， 所以向量在上的投影向量为． 故选：B． 2．（23-24高一下·河南开封·阶段练习）已知，且．则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用给定条件结合投影向量的定义求解即可. 【详解】如图，依题意可得点O为的外心． 因为，所以，所以， 则四边形为菱形．设，则． 因为，所以在上的投影向量为． 故选：A. 3．（23-24高一上·云南·阶段练习）设，向量在向量上的投影向量为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的概念求得的表达式，再利用二次函数的性质求解最小值. 【详解】向量在向量上的投影向量为， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 4．（23-24高一下·江苏·阶段练习）在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为基底向量表示，根据数量积结合投影向量的定义运算求解. 【详解】由题意可知：，，， 且， 则， ， 所以向量在向量上的投影向量是. 故选：A. 5．（2024·福建厦门·二模）在中，已知，，，若，且，，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用余弦定理求出，进而得到⊥，求出，，从而得到，换元后求出m的取值范围. 【详解】由余弦定理得， 解得，    因为，由勾股定理逆定理得⊥， ， 则， 因为，，所以， ， 在上的投影向量为，故， 令，则， 令， 因为，所以，故当时，， 当时，，， 故， 故选：B 题型7 平面向量与“四心”结合 一、单选题 1．（2024高一·全国·专题练习）已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足 ，，则点P的轨迹一定经过（   ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．边的中点 【答案】C 【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心． 【详解】取的中点D，则， ∵， ∴，而， ∴P，C，D三点共线， ∴点P的轨迹一定经过的重心． 故选：C. 2．（23-24高一上·四川雅安·期中）在中，，，，点是的重心，则（    ） A．7 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据向的运算法则化简求值即可. 【详解】点是的重心，连接并延长交于点， 则点为中点，且，即， . 故选：D 3．（23-24高一上·湖北·期中）已知为的重心，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点为，由重心的性质可知，再根据已知条件可知，又，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因为G为三角形ABC的重心，所以， 因为，， 所以， 所以， 又 ，当且仅当时取等号； 故选：D. 4．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知为的内心，且满足，若内切圆半径为2，则其外接圆半径的大小为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】取边的中点，根据给定条件可得，求出，进而求出及，再利用正弦定理求解作答. 【详解】在中，取边的中点，连接，      则，而，有，因此点共线， 由为的内心，得平分，即有， 因此，，有，，令内切圆与边切于点，连接， 则，，， ，， 在中，， 令外接圆半径为，由正弦定理得. 故选：A 5．（23-24高一下·湖北武汉·期末）已知为三角形内一点，且满足和，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律得到为的垂心，，，利用、得，，解得， 即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，同理可得，，故为的垂心， 又，所以，即， 所以，同理. 由为的垂心，得，即， 可知，即．同理有， 即，可知， 即，相乘得，所以（负根舍去）， 又，所以. 故选：B 6．（23-24高一下·四川凉山·期末）已知点是的外心，，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的线性运算建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，，，所以， 如图，作，连接，由题意得是外接圆的圆心， 所以，故是等腰三角形， 在中，，在中，由三线合一性质得是的中点， 所以， 同理可得，又， 所以， ， 解得，，故，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是进行平面向量的线性运算，然后结合给定条件建立方程，得到所要求的参数值即可． 7．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知中，所对的边为若为所在平面内点，则下列说法正确的个数为（    ） ①若，则为三角形的重心； ②若，则点是的垂心； ③若是的外心，则； ④若是的内心，则. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可. 【详解】对于①：若，即， 所以， 即，所以为三角形的重心，故①正确； 对于②：由， 得， 即， 则， 所以，则，同理可得，， 即是三边上高的交点，则为的垂心，故②正确； 对于③：若为的外心， 则可设的外接圆半径为，，， ，故， 同理，， 又， 即. 所以， 即，故③正确； 其中（奔驰定理）的证明如下： 如图延长与边相交于点则 所以， 又， 又， 所以， 所以， 所以， 对于④：当为三角形的内心，为三角形的角平分线，则，， 如图过作的平行线交的延长线于点，过作的平行线交于点，则四边形为平行四边形 所以，即，故④正确； 故选：D 二、多选题 8．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）在中，有如下四个命题，其中正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．内一点满足，则是的重心 C．若，则的形状为等腰三角形 D．若，则必为的垂心 【答案】BD 【分析】对于A，由可得角为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于C，对转化为，再两边同平方即可判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断 【详解】对A，由可得，所以，由此仅可得为锐角，但可能为钝角三角形，A错； 对B，设的中点为，由可得， 所以，所以G是的重心,B对； 对C，由可得， 两边同平方化简得，由此可得的形状为直角三角形，C错； 对D，由可得，即，故，所以， 所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，D对. 故选：BD. 9．（23-24高一下·辽宁大连·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，故，同理得到，，所以M为的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到，，，代入公式得到；C选项，设的外接圆半径为R，表达出，，，从而得到答案；D选项，求出，设，，由面积比得到，，由三角函数值得到方程，得到，同理得到，利用求出答案. 【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ， 由，则， 所以， 所以A，M，Q三点共线，且， 设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得，， 所以M为的重心，故A项正确； 对于B，由M为的内心，设内切圆半径为r， 则有，，， 所以， 即，故B项正确； 对于C，由M为的外心，设的外接圆半径为R， 又因为，， 所以，，， 所以， ， ， 所以，故C错误； 对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E， 由M为的垂心，，则， 又，则，， 设，，则，， 所以，即， 所以，同理， 故，， ∴ ，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 题型8 等和线的应用 一、单选题 1.设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 2.在矩形中，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，若，则的最大值为( ) 【解析】：如图所示： 过作的垂线，垂足为，则， 当三点共线时，高线最长，即 3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴故选：A. 二、填空题 4.如图，在同一个平面内，向量的模分别为1，1，，与的夹角为，且，与的夹角为，若，则m+n=______. 【解析】连接AB，过C点作AB的平行线，则， 在中，由题意可知, 所以，根据三角形张角定理得，所以，则 答案：3 5.如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 【解析】：连接因为正六边形， 由对称性知道 ，设与交于点，与交于点， 当在上时，在上射影最小为； 当与重合时，在上射影最大为； 则 设则 则 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$