9.1 用坐标描述平面内点的位置 讲义 2024--2025学年人教版七年级数学下学期

  9.1用坐标描述平面内点的位置

9.1.1平面直角坐标轴系

一、知识要点

1、平面直角坐标系与点的坐标的概念

 （1）平面直角坐标系

在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系.水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.

（2）点的坐标

平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a,b）叫做点P的坐标，记作:P(a,b).

2、坐标平面的特征

（1）象限

建立了平面直角坐标系以后，坐标平面内的点可以划分为六个区域：x轴，y轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，这六个区域中，除了x轴与y轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点，如下图．

  

（2）各个象限内和坐标轴上的点的坐标的符号特征

 

二、典例分析

例1.在平面直角坐标系中，点P（-1，2025）位于（　　）

A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限   D．第四象限

例2.已知点P在第四象限内，到x轴的距离等于3，到y轴的距离等于4，则点P坐标是（　　）

A．（3，-4）   B．（3，4）   C．（-4，3）   D．（4，-3）

例3.已知点P的坐标为（a,b），其中a,b均为实数，若a,b满足3a=2b+5，则称点P为“和谐点”．若点M（m+1，3m-7）是“和谐点”，则点M所在的象限是（　　）

A．第四象限   B．第三象限   C．第二象限   D．第一象限

例4.已知点A（a-5，6）到x轴的距离是到y轴的距离的3倍，则a的值是（　　）

A．7   B．17   C．7或3   D．17或-7

例5 .已知点A（a-1，2b-4）在y轴上，点B（3a-6，b+4）在x轴上，则点C（a,b）的坐标为（　　）

A．（1，-4）   B．（-1，4）   C．（-2，2）   D．（-4，-2）

例6.已知点M（3a-2，a+6）．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（　　）

A．4    B．-6    C．-1或4    D．-6或

例7.（2024秋•宿城区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点M的坐标为（2-t,2t），将点M到x轴的距离记作为d1，到y轴的距离记作为 d2．

（1）若t=3，则d1+d2=        ；

（2）若t＜0，d1=d2，求点M的坐标；

（3）若点M在第二象限，且md1-5d2=10（m为常数），求m的值．

 

 

 

例8.（2024秋•平远县期末）在平面直角坐标系中，有一点P（2x-1，3x）．

（1）若点P在y轴上，求x的值；

（2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标．

 

 

 

三、针对练习

1.（2024秋•碑林区校级月考）如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　）

A．（2，5）  B．（-2，5）  C．（-2，-5）  D．（2，-5）

2.（2024春•长寿区校级月考）如果m是任意实数，则点P（m+4，m-4）一定不在（　　）

 A．第一象限  B．第二象限  C．第三象限  D．第四象限

3.在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　）

A．（4，﹣6） B．（﹣4，6） C．（﹣6，4） D．（﹣6，﹣4）

4.若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（     ）.

A．（3，0）     B．（3，0）或（–3，0）  C．（0，3）     D．（0，3）或（0，–3）

5.已知m为任意实数，则点A（m，m2+1）不在（　　）

A．第一、二象限  B．第一、三象限   C．第二、四象限   D．第三、四象限

6.点A（3a﹣1，1﹣6a）在y轴上，则点A的坐标为        ．

7.已知点A（m，n），且有mn≤0，则点A一定不在（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第四象限 D．坐标轴上

8.如果p（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，﹣b）在第　   　象限．

9.若点M（a+5，a﹣3）在y轴上，则点M的坐标为　      　，到x轴的距离为　     　．

10.在直角坐标系中，点P(x,y)在第二象限且P到x轴，y轴的距离分别为2，5，则P的坐标是_________；若去掉点P在第二象限这个条件，那么P的坐标是________.

11.如果点P（a，2）在第二象限，那么点Q（﹣3，a﹣1）在　      　．

12.（2024秋•无锡期末）在平面直角坐标系中，若点P（x,y）的坐标满足x-2y+3=0，则我们称点P为“健康点”；若点Q（x,y）的坐标满足x+y-6=0，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为        ；

13.（2024秋•温江区校级期中）在平面直角坐标系中，对于点P（x,y），若点Q的坐标为（x-ay,ax+y），则称点Q是点P的“a阶好运点”（a为常数，且a≠0），例如：点P（1，3）的“2阶好运点”为点（1-2×3，2×1+3），即点Q（-5，5）．

（1）点A（-2，-1）的“3阶好运点”的坐标为         ；

（2）若点C（m+2，1-3m）的“-5阶好运点”到x轴的距离为6，则m的值          ．

 

 

 

 

9.2  用坐标描述简单几何图形

一、知识要点