第08讲 二项式定理（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第08讲 二项式定理 【人教A版2019】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 3．二项展开式中的通项问题的求解方法： 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零； 求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 【题型1 求二项展开式】 【例1.1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【变式1.1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 【例2.2】（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【变式2.1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（23-24高二下·河北保定·期末）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 3．二项式系数的最值问题的求法： 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3.1】（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2】（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式3.2】（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【题型4 多项式积的展开式问题】 【例4.1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（23-24高二下·广东梅州·期中）展开式的常数项为（    ） A． B． C．42 D．43 【变式4.1】（23-24高二下·云南大理·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．30 【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【题型5 三项展开式的系数问题】 【例5.1】（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【例5.2】（2024·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（23-24高三上·河北保定·期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【题型6 求展开式中系数的最大（小）项】 【例6.1】（2024·河南安阳·二模）的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 【例6.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【变式6.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 【变式6.2】（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【题型7 证明整除问题或求余数】 【例7.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【例7.2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知今天是周四，那么天后是（   ） A．周一 B．周三 C．周五 D．周日 【变式7.1】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【变式7.2】（23-24高二下·安徽·期中）若，． (1)求的大小（用指数式表示）； (2)求除以所得的余数． 【题型8 二项式定理与数列求和】 【例8.1】（2024·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【例8.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【变式8.2】（23-24高二下·江苏·期末）记，. (1)化简：； (2)证明：的展开式中含项的系数为. 【题型9 杨辉三角问题】 【例9.1】（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例9.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【变式9.1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【变式9.2】（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 4．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知的二项展开式中二项式系数和为32，若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 8．（24-25高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 二、多选题 9．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 10．（23-24高二下·贵州安顺·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若的展开式中的系数为40，则实数 . 13．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 . 14．（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 16．（2024高三·全国·专题练习）求证： 17．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 18．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 19．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 二项式定理 【人教A版2019】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, ,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 3．二项展开式中的通项问题的求解方法： 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零； 求有理项时，指数为整数等)，解出项数k+1，代回通项公式即可. 【题型1 求二项展开式】 【例1.1】（23-24高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【例1.2】（23-24高二下·江苏南京·期中）化简的结果为（    ） A．x4 B． C． D． 【解题思路】逆用二项展开式定理即可得答案. 【解答过程】 故选：A. 【变式1.1】（2024·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可. 【解答过程】由二项式定理可知，，故不是展开式的项. 故选：B. 【变式1.2】（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【解题思路】逆用二项式定理化简. 【解答过程】 ． 故选：B. 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2.1】（23-24高二下·广东茂名·期中）的展开式的常数项为（    ） A．210 B．252 C． D． 【解题思路】利用展开式的通项可得答案. 【解答过程】的通项为， 且。 令，解得， 所以展开式的常数项为. 故选：C. 【例2.2】（23-24高二下·山西吕梁·期末）若的展开式中常数项是20，则（    ） A．-2 B．-3 C．2 D．3 【解题思路】由，写出展开式的通项，从而得到展开式中常数项，即可得解. 【解答过程】， 的展开式的通项公式为， 令，解得，则的展开式的常数项为； 令，解得，则的展开式的常数项为， 因为的展开式中常数项是20，所以，解得. 故选：D. 【变式2.1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）的展开式中的系数为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助二项式的展开式的通项公式计算即可. 【解答过程】对于，由二项展开式的通项得， 令解得， 则所求系数为， 故选：D. 【变式2.2】（23-24高二下·河北保定·期末）的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】应用二项式展开式通项公式计算求解即可. 【解答过程】的通项． 令，得， 所以展开式中的项为． 故选：D. 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为，第二行的三个数之和为，，第六行的各数之和为，， 第n行的(n+1)个数之和为. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 3．二项式系数的最值问题的求法： 二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展开式中第项的二项式系数最大，最大值为； 当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3.1】（23-24高二下·新疆·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】对展开式两边同时求导，再令即可求解得结果. 【解答过程】对两边求导， 得. 令，得. 故选：D. 【例3.2】（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x，，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于题中的二项展开式，只需分别取，，和代入化简计算即可判断ABC，将二项式展开式两边求导，然后取代入化简计算即可判断D. 【解答过程】因（*） 对于A项，当时，代入（*）可得，当时，代入（*）可得，所以，故A项错误； 对于B项，当时，代入（*）可得， 又，所以，故B项错误； 对于C项，当时，代入（*）可得，故C项正确； 对于D项，对（*）两边求导可得， 当时，，故D项错误. 故选：C. 【变式3.1】（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知展开式的二项式系数和为512，且． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解题思路】(1)根据二项式系数和为先确定值，再计算的值； (2)利用赋值法求特定项系数及特定项项系数和可得． (3)先求导数后代值，即可得答案. 【解答过程】（1）由二项式系数和为512知，， 故， 所以. （2）在中， 令，可得， 令，可得， 所以 . （3）在中， 两边求导可得， 令,可得， 所以. 【变式3.2】（23-24高二下·浙江台州·期中）已知，. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【解题思路】（1）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （2）利用赋值法计算可得； （3）由通项可知当为奇数时，项的系数为负数，所以，再令计算可得. 【解答过程】（1）二项式展开式的通项为：（且）， 所以，所以. （2）令，得， 令，得， 所以. （3）因为展开式的通项为（且）， 所以当为奇数时，项的系数为负数. 所以， 令，得， ∴. 【题型4 多项式积的展开式问题】 【例4.1】（23-24高二下·山东菏泽·期中）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据第一个括号内取项情况分两类，利用通项求相应项系数再合并即可得. 【解答过程】二项展开式的通项为， 要得到项，有两类方法： 第一类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则系数为； 第二类：当中取项时，则需展开式中的项与之相乘， 由得，，即，则项的系数为； 综上可知，展开式中的系数为. 故选：B. 【例4.2】（23-24高二下·广东梅州·期中）展开式的常数项为（    ） A． B． C．42 D．43 【解题思路】首先将二项式展开得，分别求两项的常数项，即可得到结果. 【解答过程】 ， 其中的常数项为， 的常数项， 所以展开式的常数项， 故选：B. 【变式4.1】（23-24高二下·云南大理·期末）的展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．30 【解题思路】根据二项式展开式求解即可. 【解答过程】因为, 所以展开式中的项为， 所以的系数为30. 故选：D. 【变式4.2】（2024高三下·全国·专题练习）若的展开式中的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二项式定理通项公式求出的展开式的通项公式，由多项式乘法得出的系数与已知相等可得结果. 【解答过程】因为展开式的通项公式为 ， 令，得；令，得． 所以的展开式中的系数为，得． 故选：C. 【题型5 三项展开式的系数问题】 【例5.1】（23-24高二下·重庆巴南·期中）的展开式中常数项为（    ） A．544 B．559 C．495 D．79 【解题思路】若要展开式中出现常数项，需考虑六个括号中每个括号提供哪些项，分三种情况解决即可. 【解答过程】展开式中的常数项分三种情况： 第一种，六个括号都提供，此时得到； 第二种，六个括号中一个括号提供，两个括号提供，三个括号提供，此时得到； 第三种，六个括号中两个括号提供，四个括号提供，此时得到， 所以展开式的常数项为， 故选：B. 【例5.2】（2024·山东·二模）展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为排列组合问题，使用组合方法求解. 【解答过程】现有8个相乘，从每个中的三项各取一项相乘时，若结果为的常数倍，则所取的8项中有4个，2个，2个. 所以，总的选取方法数目就是. 每个这样选取后相乘的结果都是，即给系数的贡献总是，所以的系数就是全部的选取数. 故选：C. 【变式5.1】（23-24高二下·山东枣庄·阶段练习）求的展开式中的系数（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，多项式可看成的5个三项式的乘积，结合组合的定义和组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】因为多项式可看成的5个三项式的乘积， 根据组合数的定义和计算公式，可得项为， 所以的系数为. 故选：C. 【变式5.2】（23-24高三上·河北保定·期末）的展开式的各项系数之和为1，则该展开式中含项的系数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 利用赋值法令由各项系数之和为1可求得，由通项可得展开式中含项的系数是. 【解答过程】 因为的展开式的各项系数之和为1， 令，得，解得， 所以的展开式中含项为， 所以该展开式中含项的系数是. 故选：D. 【题型6 求展开式中系数的最大（小）项】 【例6.1】（2024·河南安阳·二模）的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 【解题思路】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可. 【解答过程】该二项式的通项公式为， 由，可得． 因为，所以展开式中各项系数的最大值为． 故选：D. 【例6.2】（23-24高二下·江苏常州·期中）在的展开式中，系数绝对值最大项是（    ） A．第10项 B．第9项 C．第11项 D．第8项 【解题思路】根据二项式的通项公式进行求解即可. 【解答过程】二项式的通项公式为：， 设第项的系数绝对值最大， 所以有， 因为，所以，所以系数绝对值最大项是第9项， 故选：B. 【变式6.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1：3． (1)求展开式中含有的项： (2)求展开式中系数最大项． 【解题思路】（1）根据题意结合二项式系数可求得，结合二项式的展开式的通项公式计算即可得解； （2）根据展开式的通项公式列出不等式求解即可得. 【解答过程】（1）由题意可得，即， 又，可解得， 对有，， 则， 即展开式中含有的项为； （2）令，即， 即，解得，又，故， 则，即展开式中系数最大项为. 【变式6.2】（23-24高二下·福建福州·期中）在 的展开式中， (1)求展开式中所有项的系数和； (2)求二项式系数最大的项； (3)系数的绝对值最大的项是第几项? 【解题思路】（1）借助赋值法令即可得； （2）结合二项式系数的性质与二项式的展开式的通项公式计算即可得； （3）解不等式组即可得. 【解答过程】（1）令，可得展开式中所有项的系数和为； （2）二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 的展开式的通项为： ， 故； （3）由的展开式的通项为： ， 设第项系数的绝对值最大，显然，则， 整理得，即， 解得，而，则或， 所以系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 【题型7 证明整除问题或求余数】 【例7.1】（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，，则的值可以是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【解题思路】利用二项式定理对化简，得到其除以10的余数，再结合给定条件逐个选项分析即可. 【解答过程】因为， 所以， 而， 故除以10余数为1，而，所以除以10余数为1， 对于A，除以10余数为4，故A错误， 对于B，除以10余数为3，故B错误， 对于C，除以10余数为2，故C错误， 对于D，除以10余数为1，故D正确. 故选：D. 【例7.2】（23-24高二下·四川广元·阶段练习）已知今天是周四，那么天后是（   ） A．周一 B．周三 C．周五 D．周日 【解题思路】变形得，再结合二项式定理求解即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得， ， 因为可以整除7，则除7后余数为6，则天后是周三. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高二下·山东聊城·期中）已知的展开式中常数项为． (1)求n； (2)证明：能被6整除． 【解题思路】（1）根据题意，利用二项展开式，得出展开式的常数项为，即可求解； （2）由，结合二项展开式，即可得证. 【解答过程】（1）解：由， 则多项式的展开式的常数项为，解得. （2）解：由 ， 所以能被6整除. 【变式7.2】（23-24高二下·安徽·期中）若，． (1)求的大小（用指数式表示）； (2)求除以所得的余数． 【解题思路】 （1）分别令、，求出、的值，再两式相减除以即得； （2）由（1）知，再由利用二项式定理展开，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 令，得①， 令，得②， ①减②的差除以，得． （2）由（1）知， 因为 ， 所以， 因为为整数， 所以被除的余数为，即除以的余数为. 【题型8 二项式定理与数列求和】 【例8.1】（2024·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【解答过程】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 【例8.2】（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【解答过程】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【变式8.1】（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）已知． (1)求的值 (2) ①证明：，其中，，，，； ②利用的结论求的值． 【解题思路】（1）赋值和，即可求解系数的和； （2）①利用组合数的阶乘公式，即可证明；②首先由①可得，再根据，利用裂项相消法求和. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， （2）① 证明：， ， ②解：由①得：， ， ， ， ， ， ． 【变式8.2】（23-24高二下·江苏·期末）记，. (1)化简：； (2)证明：的展开式中含项的系数为. 【解题思路】（1）先利用二项式定理求得，再利用二项式系数的性质与倒序相加法即可得证； （2）先得到题设条件中含项的系数，再利用二项式系数的性质即可得证. 【解答过程】（1）因为， 的二项展开式为， 所以， 所以 ， 则， 又， 所以， 故. （2）因为的展开式中含项的系数为， 而. 所以含项的系数为： . 【题型9 杨辉三角问题】 【例9.1】（24-25高二上·全国·随堂练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载．如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】利用二项式定理求解即可. 【解答过程】由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第行，第个数为， 所以第15行第15个数是． 故选：B. 【例9.2】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望．如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ） A． B．第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等 C．记第行的第个数为，则 D．第20行中第8个数与第9个数之比为 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错. 【解答过程】由图知，第行的第个数为，则， 对于A，由，得 ，故A错误； 对于B，第2023行有2024项，从左往右第1013个数与第1014个数分别为，所以，故B错误； 对于C，第行的第个数为，则， ，故C错误； 对于D，第20行中，第8个数与第9个数的比为，故D正确. 故选：D. 【变式9.1】（24-25高二上·上海浦东新·期中）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第11行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第100行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3:8:14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）利用二项式系数的性质求和即可； （2）利用的性质进行化简求和，得到答案； （3）设在第行存在三个相邻的数之比为3:8:14，从而得到方程组，求出答案. 【解答过程】（1）第11行的各数之和为； （2）杨辉三角中第2行到第100行，各行第3个数之和为 ； （3）存在，理由如下： 设在第行存在三个相邻的数，其中，且，， 之比为3:8:14， 故，化简得， 即，解得， 所以这三个数为. 【变式9.2】（2024·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式 (1)求图2中第10行的各数之和； (2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和； (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据二项式系数的性质求和即可； （2）根据组合数的性质化简求值即可； （3）假设存在，根据条件建立方程组求解，即可得解. 【解答过程】（1）第10行的各数之和为：. （2）杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为： . （3）存在，理由如下： 设在第行存在连续三项，其中且且， 有且，化简得且， 即，解得， 所以， 故这三个数依次是. 一、单选题 1．（23-24高二下·天津西青·期末）的展开式的第7项的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式的通项公式求解． 【解答过程】的展开式的第7项为：， 则第7项的系数为：， 故选：B. 2．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【解题思路】根据给定条件，利用二项式系数的性质求解即得. 【解答过程】由的展开式中只有第7项的二项式系数最大，得展开式共有13项， 所以. 故选：D. 3．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）被10除所得的余数为（    ） A．1 B．2 C．0 D．9 【解题思路】显然211被10除所得的余数为1，故只需由二项式定理求得被10除所得的余数即可. 【解答过程】 ， 因为能被10整除， 所以被10除所得的余数9； 因为211被10除所得的余数为1，所以被10除所得的余数为0． 故选：C. 4．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）已知的二项展开式中二项式系数和为32，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由二项式系数和，解出，再以为整体，利用二项式定理求解系数即可. 【解答过程】由题意知，解得， 又 ， 则. 故选：A. 5．（2024·湖南衡阳·一模）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】写出通项，令，再求展开式中系数为1时的系数，然后相乘即可； 【解答过程】， 项对应，， 项对应系数为，故展开后系数为. 故选：D. 6．（23-24高二下·全国·单元测试）已知二项式的展开式奇数项的二项式系数和为，展开式中项的系数为，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件，利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】由展开式奇数项的二项式系数和，可得， 则展开式的通项为， 令，则，，解得， ，. 故选：A. 7．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B．除以5所得的余数是1 C． D． 【解题思路】利用赋值法即可判断ACD，根据二项式展开式的通项即可求解B. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ,故A错误． 由于，即展开式各项系数和系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确． 因为， 所以， 所以，故D错误． 故选：B． 8．（24-25高二下·山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．在第10行中第5个数最大 B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C． D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数 【解题思路】根据杨辉三角的规律以及组合数的性质逐一进行判断即得. 【解答过程】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因 ， 则，故C错误； 对于D，因而，故D正确. 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）在的展开式中（    ） A．所有系数的绝对值之和为 B．项的系数为 C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项 【解题思路】利用展开式系数绝对值之和与展开式系数和相等判断A，根据二项展开式的通项公式可得，令，运算求解即可判断B，由第项的系数为，列不等式组分析运算判断C，令，分析运算即可判断D. 【解答过程】对于A：在的展开式中所有系数的绝对值之和与的展开式中所有系数的和相等， 故令，可知展开式的系数之和为，故A错误； 对于B：因为的展开式的通项公式 ，， 令，解得，可得， 即项的系数为，故B正确； 对于C：由通项公式可得：第项的系数为， 当为偶数时，；当为奇数时，； 取为偶数，令，则， 整理得，所以， 所以系数最大项为第3项，故C正确； 对于D：令，则，所以有理项共有5项，故D正确； 故选：BCD. 10．（23-24高二下·贵州安顺·期中）关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0 C．常数项为 D．系数最大的项为第3项 【解题思路】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可. 【解答过程】，得二项式的系数和为，故A正确； 令得所有项的系数和为0，故B正确； 常数项，故C正确； 由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误. 故选：ABC. 11．（23-24高二下·江苏徐州·期中）已知，则（    ） A．展开式中所有项的系数和为 B．展开式中二项系数最大项为第1010项 C． D． 【解题思路】赋值，可判断A，由通项公式可判断B，分别令，可判断C，令可判断D； 【解答过程】当时，，展开式中所有项的系数和为，A对. 展开式中第项二项式系数， ，则，∴. 展开式中第1011和1012项二项式系数最大，B错. ， 令，则，令，则， ∴，C对. 展开式中通项公式， 可知奇次幂系数为负，偶次幂系数为正， 所以， 由， 令可得：，又， 所以，错 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）若的展开式中的系数为40，则实数 . 【解题思路】将化为，分别求两个二项式中的系数，再合并列方程，求解即得. 【解答过程】因， 故其展开式中的系数为，解得. 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·开学考试）设，若，则 . 【解题思路】运用二项式定理知识，结合赋值法可解. 【解答过程】令，得到. 令，得到. 则. 所以31. 故答案为：31. 14．（23-24高二下·山东菏泽·期中）如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 32 行中从左至右第11与第12个数的比为1∶2． 【解题思路】根据“第 行中从左至右第 11 个数与第 12个数的比为 ”可以列出关于 的等式, 进而可解得正整数 的值. 【解答过程】第 行从左到右第 11个数为 , 第 12个数为 , 依题意得 , 即 , 解得 . 故答案为：32. 四、解答题 15．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【解题思路】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【解答过程】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 16．（2024高三·全国·专题练习）求证： 【解题思路】根据二项式系数性质利用倒序相加求和即可得出结论. 【解答过程】证明： 令，则； 两式相加可得, 所以； 可得. 17．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. (1)求的值； (2)求的系数； (3)求的值. 【解题思路】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【解答过程】（1）第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. （2）由（1）知，的展开式中项为：，所以. （3）由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 18．（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【解题思路】（1）利用二项式系数和公式先求，再利用展开式通项公式列不等式组计算即可； （2）将变形为，利用二项式定理计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则， 即，解得，所以， 展开式中系数最大的项为第6项， 即； （2）因为时， ， 记，显然能被9整除， 所以二项式的值被除的余数为. 19．（23-24高二下·山东菏泽·期末）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【解题思路】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【解答过程】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$