第07讲 排列与组合（春季讲义）-2024-2025学年高二数学春季讲义（人教A版2019选择性必修第二、三册）

第07讲 排列与组合 【人教A版2019】 模块一 排列 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．排列问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知，那么n＝（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据排列数的计算求解即可. 【解答过程】∵， ∴， ∴或（舍去）. 故选：D. 【例1.2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）设，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用排列数的计算公式即可求解. 【解答过程】先确定最大数，即，再确定因数的个数，即， 所以原式. 故选：D. 【变式1.1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解题思路】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【解答过程】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 【变式1.2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【题型2 排列数方程和不等式的求解】 【例2.1】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解答过程】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【例2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则n的值是（　　） A．2 B．6 C．7 D．8 【解题思路】根据排列数公式，将已知条件展开，即可得出答案. 【解答过程】因为，所以，化简整理可得， 解得或， 又，所以，所以. 故选：C. 【变式2.1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【解答过程】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 【变式2.2】（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【解题思路】（1）（2）（3）根据排列数及组合数解方程及不等式，应用组合数性质计算求值. 【解答过程】（1）因为 所以, 又因为，所以，解得. （2）由 . （3）因为所以      因为，所以，即 ，解得， 所以，又，所以或. 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3.1】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 【例3.2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【解题思路】对山区的派发人数分类，若派到山区只有甲，剩下教师按人数分组以后计算种数，再减去乙丙教师安排到同一山区的种数，即可得山区只派甲的情况的种数，进而求出总的情况数量. 【解答过程】若派到山区有人，则不同的派法有种； 若派到山区只有甲，先把其余人分为四组，每组人数分别为，再将四组教师分配到四个山区，不同派法有种， 其中乙和丙安排到同一山区的情况有种，所以派到山区只有甲的派法有种； 所以不同的派法共有种. 故选：B. 【变式3.1】（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【解题思路】设最后两人为丁和戊，然后分甲、乙在丁、戊之间和丁、戊在甲、乙一侧时讨论即可. 【解答过程】设剩下的两人分别为丁和戊， ①甲、乙在丁、戊之间，将甲、乙捆绑成一个元素， 丁、戊两人有种排法，甲、乙内部有种排法，丙有4个位置可站， 则共有种； ②丁、戊在甲、乙一侧时，丁、戊可选择甲、乙左侧或右侧，则有种排法， 丁、戊排列有种排法， 甲、乙之间排列也有种排法， 丙有3个位置可站， 则该种情况共有种， 则总共有种不同安排方法. 故选：C. 【变式3.2】（23-24高二下·河南许昌·期末）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 【解题思路】根据题意，将圆形餐桌看成一排，结合条件可分为大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大两种类型，结合排列数代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可知，任何两个小孩都不能坐在一起，则任何两个大人也不能坐在一起， 不妨看作大，小，大，小，大，小或者小，大，小，大，小，大两种类型， 三个大人的入座方法有种，三个小孩的入座方法有种， 则不同的入座方法总数为种. 故选：C. 【题型4 相邻、不相邻排列问题】 【例4.1】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 【解题思路】可以采用捆绑法以及插空法进行求解. 【解答过程】乙两人相邻，可以采用捆绑法有种排法， 然后它们不排在两端可以采用插空法有种排法， 所以不同的排法种数是. 故选：C. 【例4.2】（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【解题思路】先捆绑，再全排列后插空得出加工顺序. 【解答过程】先捆绑再和排列，然后插入 共有种排法． 故选：A. 【变式4.1】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）7名同学排队照相. (1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (2)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？ 【解题思路】（1）利用捆绑法即可得解； （2）利用插空法即可得解. 【解答过程】（1）依题意，将甲、乙、丙看作一个整体，其内部有种排法， 再将这个整体与其他4人全排列，有种排法， 所以一共有种不同的排法. （2）依题意，先对4名男生进行全排列，有种排法， 再将3名女生插到4名男生所形成的5个空中，有种排法， 所以一共有种不同的排法. 【变式4.2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 【解题思路】（1）利用特殊元素优先原则，利用排列列式计算即得. （2）利用插空法求解不相邻问题. （3）利用捆绑法求解相邻问题. （4）利用排除法列式计算即得. 【解答过程】（1）中间6个位置取1个让甲站，余下7个位置让另7个人站， 所以不同排法种数是. （2）排除甲､乙､丙三位同学的5名同学，再在每一种排法的6个间隙中插入甲､乙､丙， 所以不同排法种数是. （3）分别视甲乙、丙丁为一个整体，与其余4名同学作全排列，再分别对甲乙、丙丁作排列， 所以不同排法种数是. （4）求出8个人的全排列，去掉甲乙相邻、乙丙相邻的排列法，再补上乙在甲丙中间的3人相邻的排列， 所以不同排法种数是. 模块二 组合 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【题型5 有关组合数的计算与证明】 【例5.1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【解题思路】根据组合数的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B. 【例5.2】（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 【解题思路】由组合数的性质计算可得，结合计算即可得解. 【解答过程】由，故或，故， 则 . 故选：C. 【变式5.1】（23-24高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 【解题思路】（1）利用组合数公式计算化简可证结论； （2）利用（1）的结论可计算求得答案. 【解答过程】（1）证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； （2）＝+++…+＝++…+ ＝++…+＝…＝+＝＝＝166650． 【变式5.2】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【解题思路】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【解答过程】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 【题型6 组合数方程和不等式的求解】 【例6.1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解答过程】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 【例6.2】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【解答过程】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 【变式6.1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）若，求m. 【解题思路】根据题意，利用组合数的计算公式，求得，进而求得实数的值. 【解答过程】依题意，得且，所以， 由，可得，即，解得， 又因为，所以或. 【变式6.2】（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【解答过程】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去. 【题型7 组合计数问题】 【例7.1】（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 【解题思路】利用分步乘法计数原理直接计算可得结果. 【解答过程】从1，3，5，7，9中任取三个数有种方法， 从2，4，6，8中任取两个数有种方法， 再把取出的5个数全排列共有种， 故一共可以组成数字不重复的五位数的个数是. 故选：C. 【例7.2】（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【解题思路】分析底面是梯形的直四棱柱中，任取4个顶点能构成四面体的最多个数，再利用一个四面体有3对异面直线，列式计算即得. 【解答过程】每对异面直线，需4个顶点并且这4个顶点不共面，而不共面的4个点顺次连接构造一个四面体， 一个四面体的3组相对棱都是异面直线，底面是梯形的直四棱柱有8个顶点， 从8个顶点中任取4个有种方法，其中6个表面四边形4个顶点共面， 对角面都是平面四边形，4个顶点共面， 因此从底面是梯形的直四棱柱的8个顶点中任取4个顶点，构成四面体的个数最多有， 所以最多能组成异面直线对数是. 故选：B. 【变式7.1】（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【解题思路】分最高位是5和最高位是4两种情况，结合排列组合知识求解． 【解答过程】若最高位是5，则个位可以是0或2或4，其它位任意排列，共有种， 若最高位是4，则个位可以是0或2，其它位任意排列，共有种， 所以比400000大的偶数的排列方法一共有种． 故选：A． 【变式7.2】（23-24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 【解题思路】结合组合知识，再采用正难则反的思想，利用间接法即可求解 【解答过程】从个节气中选择个节气，总共不同的选法有种， 从个节气中选择个节气，且个节气在同一个季节，不同的选法有， 所以从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，不同的选法有种； 故选：B. 【题型8 分组分配问题】 【例8.1】（23-24高二下·山西大同·期中）为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 【解题思路】先将四人分三组，然后再分配给三个学校即可即可. 【解答过程】将甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人， 将四人分成3组：其中一组1人，一组1人，一组2人，有种， 再将这三组分配给三个不同的学校有，所以共有种情况. 故选：C. 【例8.2】（23-24高二下·山西大同·阶段练习）某调研小组有6名调研员（A，B，C，D，E，F），现安排这6名调研员去三个影院调研国产电影的观影评论，每个影院至少安排一人，至多安排三人，且C，D两人安排在同一个影院，E，F两人不安排在同一个影院，则不同的分配方法总数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．120 【解题思路】分两种分配方式：第一种分配方式为每个影院各两人，第二种分配方式为一个影院1人，一个影院2人，一个影院3人，第二种分配方式再分当CD两人一组去一个影院；当CD加上另一人去一个影院，选择的是E或F；当CD加上另一人去一个影院，选择的不是E或F，求解后利用分类加法原理可求得结果. 【解答过程】第一种分配方式为每个影院各两人，则AE一组，BF一组，或BE一组，AF一组，有2种分组方式， 再三组人，三个影院进行排列，则分配方式共有种； 第二种分配方式为一个影院1人，一个影院2人，一个影院3人， 当CD两人一组去一个影院，则剩下的4人中1人为一组，3人为一组， 则必有E或F为一组，有种分配方法，再三个影院，三组人，进行排列， 有种分配方法； 当CD加上另一人去一个影院，若选择的是E或F，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法， 将三个影院，三组人，进行排列，有种分配方法； 若选择的不是E或F，即从A或B中选择1人和CD一起，有种分配方法， 再将EF和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个影院，三组人， 进行排列，有种分配方法， 综上，共有种不同的分配方式． 故选：A． 【变式8.1】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 【解题思路】（1）先进行平均分组，然后全排即可. （2）分为1、5、0；2、4、0；3、3、0讨论即可. 【解答过程】（1）由题意知，有种方法． （2）由题意知，三个房间进入小孩数有如下分配： ①1、5、0分配，这种情况下有种安排方法； ②2、4、0分配，这种情况下有种安排方法； ③3、3、0分配，这种情况下有种安排方法． 故一共有种安排方法． 【变式8.2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【解题思路】（1）由题意，分成3种情况（有1、2、3名女性）讨论，求出对应的选法，进而相加即可； （2）由题意，结合分组分配问题即可求解. 【解答过程】（1）由题意，分成3种情况讨论： 只有1名女性，共有种选法， 有2名女性，共有种选法， 有3名女性，共有种选法， 所以共有种选法， 即至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有34种选法； （2）由题意，先选3名航天员，然后分为的两组，然后分配到实验室， 共有种方法. 所以每个实验室至少一名航天员，共有1260种选派方式. 【题型9 排列、组合综合】 【例9.1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球． (1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答） (2)在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答） 【解题思路】（1）设取出个红球个白球，依题意可确定或，再由组合数公式计算可得； （2）总分为分，则取的个数为红球个，白球个，先将球取出，再利用插空法排列，按照分步乘法计数原理计算可得. 【解答过程】（1）设取出个红球个白球，依题意可得， 因为，所以或， ∴符合题意的取法种数有种． （2）总分为分，则取的个数为红球个，白球个，将取出的球排成一排分两步完成， 第一步先取球，共有种， 第二步再排，先把个白球全排列，再将个红球插空，共有， 根据分步乘法计数原理可得不同排法有种． 【例9.2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果） (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【解题思路】（1）根据排列组合即可求解， （2）根据分类加法计数原理，结合排列组合即可求解. 【解答过程】（1）需测试4次，按顺序可看作为4个位置， 两件次品置于第二，四位，有放法数； 其余二个位置放二个正品，有放法数 由乘法原理方法数为：种不同的测试情况； （2）至多4次可分为恰好2次，恰好3次，恰好4次找到所有次品， 恰好2次， 即前2次测试都是次品，方法数为； 恰好3次，即第3次是次品，前2次中有1次是次品，方法数为； 恰好4次，即第4次是次品，前3次中有1次是次品，方法数为； 也可以是前四次全是正品，方法数为 故共有种不同的测试情况. 【变式9.1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【解题思路】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【解答过程】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 【变式9.2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 【解题思路】（1）根据当末位是0和末位是2或4，结合分类计数原理，即可求解； （2）分万位是4、万位为3千位为2,4和万位为3千位为1，结合分类计数原理，即可求解； （3）先排0,1,3，根据0排在三个数的第一位和0不排在三个数的第一位，结合分类计数原理，即可求解. 【解答过程】（1）解：根据题意，当末位是0共有个，当末位是2或4共有个, 所以共有偶数为个. （2）解：由题意，万位是4共有个，万位为3千位为2或4共有个， 万位为3千位为1共有个， 所以大于31000的数共有个. （3）解：先排0,1,3,第一种：0排在三个数的第一位，共有个； 第二种0不排在三个数的第一位，共有个 所以数字2和4不相邻的数共有个. 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据排列数的运算性质即可判断AC，根据组合数的运算性质即可判断BD. 【解答过程】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，， 所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 【解题思路】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【解答过程】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 3．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由排列数、组合数的运算性质计算求解即可. 【解答过程】 ， ， ， ， ， ， 故选：D. 4．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将其他四人分组为、、三种情况，求出甲去场地的所有安排，再求出场地有且只有1名志愿者的安排方法数，即可求概率. 【解答过程】其它四人分成三组，有种，再把三组安排到场地，有种， 其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有种， 其它四人分成两组，有种，再把两组安排到场地，有2种， 所以甲去场地时共有种安排方法， 场地有且只有1名志愿者，分成三组有种，分成两组有种，分成两组有0种， 所以甲去场地时，场地有且只有1名志愿者共有种安排方法， 所求概率为. 故选：C. 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 【解题思路】根据题意，按甲乙是否放在同一排两种情况讨论，由加法原理计算即可． 【解答过程】根据题意，分2种情况讨论： ①甲乙放在同一排，有种放法， ②甲乙不放在同一排，有种放法， 则有种不同的放法． 故选：C． 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 【解题思路】根据捆绑法、特殊位置的排列和插空法计算，依次判断选项即可. 【解答过程】A：如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法，故A错误； B：如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”， 此时，共有种不同的排法种数，故B错误； C：如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时，共有种不同的排法种数，故C正确； D：如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时，共有种不同的排法种数，故D错误. 故选：C． 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 【解题思路】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的一人在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即可得到答案. 【解答过程】要使四人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从四人中任选三人，有种方法； 第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外一人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法. 故选：D. 8．（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【解题思路】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可. 【解答过程】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A. 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 【解题思路】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可. 【解答过程】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：CD. 10．（23-24高二下·广西玉林·期末）有甲、乙、丙等6名同学，以下说法正确的是：（    ） A．若6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480种 B．若6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为504种 C．6名同学平均分成三组到A、B、C三个实验室参观（每个实验室都有人），则有210种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 【解题思路】利用插空法求解甲、乙两人不相邻的排法判断A；利用倍缩法求解判断B；先进行平均分组，再进行全排列，得到答案判断C；分析甲、乙、丙三人组成一组和甲、乙、丙与另一人分一组两类分组法计算得答案可判断D． 【解答过程】A选项，6人站成一排，甲、乙两人不相邻，先将除甲、乙外的4人进行全排列，有种排法， 再将甲、乙两人插空，有种排法，则共有种不同的排法，A正确； B选项，6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，可用倍缩法进行求解，即种不同的站法，B错误； C选项，6名同学平均分成三组到A、B、C工厂参观（每个工厂都有人），则有种不同的安排方法，C错误； D选项，6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起， 若还有一位同学与他们一组，共有种分法； 若三组同学分为3人一组，2人一组和1人一组，先将除甲、乙、丙外的剩余3人分为两组，有种分法； 共有6种分组方法，D正确． 故选：AD． 11．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 【解题思路】相邻捆绑法可判断A，特殊情况优先考虑，先安排，再排列，可判断，不相邻插空法可判断，定序问题用除法可判断. 【解答过程】对于A，与相邻，用捆绑法，共有种排法，故A正确； 对于，相隔一天介绍的方法种数为，故错误； 对于，若与不相邻，用插空法，共有种排法，故正确； 对于，若在的前面，属于定序问题，共有种排法，故正确； 故选： 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）的值为 18或22 ． 【解题思路】根据排列数的含义求得m的范围，利用排列数公式即可求得答案. 【解答过程】由已知可得，结合，解得或3， 当时，， 当时，． 故答案为：18或22. 13．（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 180 . 【解题思路】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决. 【解答过程】根据题意，可将四位数分成两类： 第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个， 接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排， 此时共有个四位数； 第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个， 再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数. 根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是. 故答案为：180. 14．（23-24高二下·四川雅安·期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲､乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有 88 种. 【解题思路】按照甲､乙是否在天和核心舱划分情况：甲､乙有且只有1人在天和核心舱、甲､乙都不在天和核心舱两种情况，再根据分类加法计数原理可得答案. 【解答过程】按照甲､乙是否在天和核心舱划分情况： ①甲､乙有且只有1人在天和核心舱，需要在除甲､乙外的四人中选两人去天和核心舱， 剩下的三人去剩下的两个实验舱，有种不同的安排方案； ②甲､乙都不在天和核心舱，从甲､乙外的四人中选三人去天和核心舱， 再将甲､乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱， 剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱， 有种不同的安排方案.根据分类加法计数原理， 共有种不同的安排方案. 故答案为：88. 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 【解题思路】（1）根据组合数性质运算求解； （2）根据排列数公式运算求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知： ； （2）因为，可知，且， 整理可得，解得， 且，所以或. 16．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 【解题思路】（1）（2）根据题意，运用组合数计算即可；（3）运用对立事件求解即可. 【解答过程】（1）从9件产品中抽取3件产品共有种； （2）从9件产品中抽取3件产品，其中一等品、二等品、三等品各1件有种； （3）“抽出的3件产品中至少有1件二等品”的对立事件是“抽取的3件产品没有一件二等品”， 因此抽出的3件产品中至少有1件二等品共有种. 17．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 【解题思路】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解； （2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位； （3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答. 【解答过程】（1）先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法， 再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得， 所以能组成96个无重复数字的五位数； （2）当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数， 即可以组成个无重复数字的五位偶数； （3）计算比21034大的五位数的个数分两类： 万位比2大的五位数个数是， 万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个， 由分类加法计数原理得， 所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个. 18．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 【解题思路】(1)先对女生排列再用插空法可得答案； (2)先对女生排列根据插空法选择中间3个位置中的两个排列即可求得结果； (3)根据间接法总的减去对立面可求得结果； (4)先确定4个女生顺序，再排一个男生根据插空法，然后根据插空法排另外一个男生可求得结果. 【解答过程】（1）先对女生排列有种方法，再用插空法排列有种方法，则总计有种方法； （2）先对女生排列有种方法，男生不相邻且也不排到两头，可根据去掉头尾两空的插空法排列有,则总计有种方法； （3）6个人全排列有种方法，一个男生和甲相邻有种方法， 另外一个男生和甲相邻有种方法，两个男生都和甲相邻有种方法， 所以两个男生都不和甲相邻的排法有 种； （4）先确定4个女生顺序，则有5个空根据插空法第一个男生有种， 然后根据插空法排另外一个男生有种，则总计有种方法. 19．（23-24高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 【解题思路】（1）根据乘法计数原理即可求解， （2）用全部情况去掉甲不在首位，乙不在末位，即可求解， （3）利用分组分配，结合排列组合即可求解. 【解答过程】（1）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. （2）排成一排，无限制条件的排列有， 甲不在首位，乙不在末位的反面是甲在首位或乙在末位，共有， 则甲不在首位，乙不在末位的不同排法有（种）. （3）分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市， 则先把5人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把每一种分组安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 排列与组合 【人教A版2019】 模块一 排列 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(m≤n，n,m∈N*)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈N*)，并且m≤n. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．排列问题的分类与解法 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. (4)定序问题：定序问题有两种求解策略，一是定序倍除法：全部排列后，除以有顺序要求的排列；二 是定序排他法：有顺序要求部分只有一种排法，只要把剩下部分排列即可. (5)间接法：正面分类太多从反面入手. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1.1】（23-24高二下·四川南充·阶段练习）已知，那么n＝（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例1.2】（23-24高二下·河北石家庄·期中）设，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【变式1.2】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【题型2 排列数方程和不等式的求解】 【例2.1】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则n的值是（　　） A．2 B．6 C．7 D．8 【变式2.1】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【变式2.2】（23-24高二下·山西临汾·期中）（1）解方程: （2）计算 （3）解不等式. 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3.1】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【例3.2】（23-24高二下·安徽安庆·期中）某中学派6名教师到A，B，C，D，E五个山区支教，每位教师去一个地方，每个地方至少安排一名教师前去支教．学校考虑到教师甲的家乡在山区A，决定派教师甲到山区A，同时考虑到教师乙与丙为同一学科，决定将教师乙与丙安排到不同山区，则不同安排方法共有（    ） A．360种 B．336种 C．216种 D．120种 【变式3.1】（23-24高二下·山东临沂·期末）某班上有5名同学相约周末去公园拍照，这5名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙同学不站在正中间，不同的安排方法数有（    ） A．24 B．36 C．40 D．48 【变式3.2】（23-24高二下·河南许昌·期末）一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（    ） A．6 B．12 C．72 D．144 【题型4 相邻、不相邻排列问题】 【例4.1】（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）7名同学（包括甲、乙）排成一排，其中甲、乙两人相邻但不排在两端，不同的排法种数是（      ） A．480 B．720 C．960 D．1440 【例4.2】（23-24高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G七道工序，要求A，B两道工序必须相邻，C，D两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（    ） A．960种 B．836种 C．816种 D．720种 【变式4.1】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）7名同学排队照相. (1)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (2)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？ 【变式4.2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）有8名同学站成一排照相，符合下列各题要求的不同排法共有多少种（用数字作答）？ (1)甲同学既不站在排头也不站在排尾； (2)甲､乙､丙三位同学两两不相邻； (3)甲､乙两同学相邻，且丙､丁两同学也相邻； (4)甲､乙两同学不相邻，且乙､丙两同学也不相邻. 模块二 组合 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： . 这里，n,m∈N*，并且m≤n. ②阶乘表示：. 规定：. 3．组合数的性质 (1)性质1： 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2： 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(m≤n，n,m∈N*)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．组合问题的分类与解法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足； “不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个 关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理. 【题型5 有关组合数的计算与证明】 【例5.1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【例5.2】（23-24高二下·江苏·期中）若，则的值为（    ） A．54 B．55 C．164 D．165 【变式5.1】（23-24高二下·天津河西·期中）（1）证明：组合数性质； （2）计算：（用数字作答）． 【变式5.2】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【题型6 组合数方程和不等式的求解】 【例6.1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【例6.2】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）若，求m. 【变式6.2】（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【题型7 组合计数问题】 【例7.1】（23-24高二下·全国·单元测试）从，，，，这五个数字中任取3个，从2，4，6，8这四个数中任取2个，组成数字不重复的五位数的个数是（   ） A． B．   C． D． 【例7.2】（23-24高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连形成多条直线，这些直线最多能组成（    ）对异面直线 A．174 B．180 C．210 D．368 【变式7.1】（23-24高二下·贵州·期中）由数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比400000大的偶数？（    ） A．120种 B．144种 C．48种 D．24种 【变式7.2】（23-24高二下·北京顺义·期末）2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从个节气中选择个节气，且个节气不在同一个季节，那么不同的选法有（    ） A．60种 B．种 C．276种 D．432种 【题型8 分组分配问题】 【例8.1】（23-24高二下·山西大同·期中）为了了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙、丁四人到三所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法种数有（    ） A．12种 B．24种 C．36种 D．72种 【例8.2】（23-24高二下·山西大同·阶段练习）某调研小组有6名调研员（A，B，C，D，E，F），现安排这6名调研员去三个影院调研国产电影的观影评论，每个影院至少安排一人，至多安排三人，且C，D两人安排在同一个影院，E，F两人不安排在同一个影院，则不同的分配方法总数为（    ） A．84 B．90 C．96 D．120 【变式8.1】（23-24高二下·云南丽江·阶段练习）现有6名孩子和3个不同的房间，并让孩子都进入房间． (1)若每个房间进2个小孩，共有多少种不同的方法？ (2)恰有一个房间没有孩子，共有多少种安排方法？ 【变式8.2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）北京时间2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙.为了某次航天任务，准备从7名预备队员中（其中男4人，女3人）中选择4人作为航天员参加该次任务. (1)若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答） (2)若选中的4名航天员需分配到A，B，C三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？（结果用数字作答） 【题型9 排列、组合综合】 【例9.1】（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球． (1)若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分不小于8分的取法有多少种？（用数字作答） (2)在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法有多少种？（用数字作答） 【例9.2】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知6件不同的产品中有2件次品，4件正品，现对这6件产品一一进行测试，直至确定出所有次品则测试终止.（以下请用数字表示结果） (1)若恰在第2次测试时，找到第一件次品，且第4次测试时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【变式9.1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【变式9.2】（23-24高二下·江苏徐州·期中）用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字的五位数 (1)在组成的五位数中，所有偶数有多少个？ (2)在组成的五位数中，大于31000的数有多少个？ (3)在组成的五位数中，数字2和数字4不相邻的数有多少个？ 一、单选题 1．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知，且，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）． A．种 B．种 C．种 D．种 3．（23-24高二下·江苏镇江·期末）化简结果为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·福建福州·阶段练习）正值元宵佳节，赤峰市“盛世中华•龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中，有5名大学生将前往3处场地开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者，每名志愿者都必须参加且只能去一处场地，则当甲去场地时，场地有且只有1名志愿者的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·浙江宁波·期中）如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为号．若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有（    ） A．68种 B．136种 C．272种 D．544种 6．（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（   ） A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法 B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法 C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法 D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有720种不同排法 7．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）2024年中国足球甲级联赛哈尔滨会展体育中心的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同区域的座位，四位球迷相约看球赛，则四人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ） A．30种 B．60种 C．120种 D．24种 8．（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C． D． 10．（23-24高二下·广西玉林·期末）有甲、乙、丙等6名同学，以下说法正确的是：（    ） A．若6人站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的排法种数为480种 B．若6人站成一排，甲、乙、丙按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为504种 C．6名同学平均分成三组到A、B、C三个实验室参观（每个实验室都有人），则有210种不同的安排方法 D．6名同学分成三组参加不同的活动，甲、乙、丙在一起，则不同的分组方法有6种 11．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）2023年国外某智库发布尖端技术研究国家竞争力排名，在极超音速和水下无人机等23个领域中，中国在其中19个领域领先.某科技博主从这19个领域中选取了六个领域，准备在2024年1月1—6日对公众进行介绍，每天随机介绍其中一个领域，且每个领域只在其中一天介绍，则（    ） A．与相邻，共有240种排法 B．相隔一天介绍的方法种数为96 C．若与不相邻，共有480种排法 D．若在的前面，共有360种排法 三、填空题 12．（24-25高二下·全国·课后作业）的值为 ． 13．（24-25高三上·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 . 14．（23-24高二下·四川雅安·期中）中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲､乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有 种. 四、解答题 15．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）（1）计算：；（结果用数字表示） （2）解不等式：； 16．（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）现有9件产品，其中4件一等品，3件二等品，2件三等品，从中抽取3件产品． (1)试问共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件产品中一等品、二等品、三等品各1件的抽法共有多少种? (3)抽出的3件产品中至少有1件二等品的抽法共有多少种? 17．（23-24高二下·青海西宁·期中）由0，1，2，3，4这五个数字． (1)能组成多少个无重复数字的五位数？ (2)能组成多少个无重复数字的五位偶数？ (3)组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？ 18．（23-24高二下·福建泉州·期中）将2个男生和4个女生排成一排： (1)男生不相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (2)男生不相邻且不在头尾的排法有多少种？（列式并用数字作答） (3)2个男生都不与女生甲相邻的排法有多少种？（列式并用数字作答） (4)4个女生顺序一定的排法有多少种？（列式并用数字作答） 19．（23-24高二下·安徽安庆·期中）甲乙丙丁戊五个同学 (1)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ (2)排成一排，甲不在首位，乙不在末位，共有多少种不同排列方法？ (3)分配到三个城市参加活动，每个城市至少去一人，每人只能去一个城市，共有多少种不同分配方法？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $$