专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形（7类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形 【基本知识】 1 【考点一：利用余弦定理解三角形】 3 【考点二：利用正弦定理解三角形】 6 【考点三：由正弦定理判定三角形解的个数】 11 【考点四：正、余弦定理判定三角形的形状】 13 【考点五：三角形的面积公式及应用】 18 【考点六：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 21 【考点七：求三角形面积的最值或范围】 25 【基本知识】 【知识点：正弦定理与余弦定理】 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R cos A＝； cos B＝； cos C＝ [方法技巧]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤 1．对三角形解的个数的研究 (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【考点一：利用余弦定理解三角形】 【知识点：利用余弦定理解三角形】 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理计算角的余弦值，再结合角的范围即可求角. 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 【答案】A 【分析】应用余弦定理结合角的范围计算求解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 由余弦定理得． 因为，所以， 故选：A． 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 4．（24-25高三下·广东·开学考试）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 【答案】 【分析】由余弦定理即可求得结果. 【详解】∵，，， ∴由余弦定理可得：， ∴解得：. 故答案为：. 5．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理即可得到答案. （2）先由余弦定理求得，或，再利用余弦定理即可求得结果，将不符合题意的舍去即可. 【详解】（1），， 由正弦定理得：，，             又因为为锐角，. （2）在中由余弦定理得： ，或     若，则，则为钝角，舍去             ，因为为中点， 在中，              在中，. 【考点二：利用正弦定理解三角形】 【知识点：利用正弦定理解三角形】 1．（湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题）已知的内角的对边分别是，且，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理，，于是，结合， 于是. 故选：A 2．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角公式求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】因为为的内角，则， 由二倍角的余弦公式可得，解得， 由正弦定理可得，所以，. 故选：A. 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系得到，再利用正弦定理求解边长即可. 【详解】在中，因为，， 所以由余弦定理可得， 而，则，由同角三角函数的基本关系得， 在中，由正弦定理可得，解得，故C正确. 故选：C 4．（24-25高三上·河南洛阳·期末）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 . 【答案】 【分析】先利用三角形的面积公式求出的大小，再根据等腰三角形得到的大小，最后在中利用正弦定理即可求解. 【详解】因为中，，且的面积为， 所以，解得， 所以或， 当时，因为，所以， 又，所以，不符合题意； 当时，因为，所以， 又，所以在中，由正弦定理可得， 即. 故答案为： 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，解此三角形． 【答案】答案见解析 【分析】由正弦定理求出，可得，再由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理，知． ，， 或，当时，， ； 当时，， ． 故当时，，； 当时，，． 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理可得，可得，再根据得，再由正弦定理可得； （2）先由倍角公式可得，，再由两角差的正弦公式可得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得， 因，所以， 由，则， 由正弦定理得  则. （2）因， . 7．（24-25高三上·黑龙江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得即可求解， （2）根据和差角公式求解,即可根据正弦定理求解. 【详解】（1）由可得， 故，即， 故， 由于，故， （2）由可得， 由， 由正弦定理可得. 8．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式以及辅助角公式可得，从而可求的值； （2）利用两角和与差的余弦公式化简已知等式可得，则，，再利用正弦定理可求的周长. 【详解】（1）由，可得， 从而，化简得，， ，，故. （2）由，可得， 即， 即， ，， ，，所以， . 在中，由正弦定理，， 解得，， 故的周长为. 【考点三：由正弦定理判定三角形解的个数】 【知识点：由正弦定理判定三角形解的个数】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 【答案】B 【分析】应用正弦定理判断满足条件的三角形个数即可. 【详解】． 满足条件的三角形有2个． 故选：B. 2．（24-25高三上·北京·开学考试）中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】D 【分析】给定的边、和角，通过正弦定理来分析三角形解的情况，进而判断两个条件之间的逻辑关系 【详解】判断充分性， 由正弦定理可得. 已知，即（因为），由于，所以. 当时，，此时可能有两个值（一个锐角和一个钝角），那么可能有两解，所以由不能推出有且仅有一解，充分性不成立.   判断必要性， 若有且仅有一解，有两种情况： 情况一：且，此时由正弦定理，可得，因为，所以. 情况二：且或，当时，；当时，.   所以由有且仅有一解不能推出，必要性不成立.   则“”是“有且仅有一解”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即得. 【详解】依题意，，即，由，得， 所以的取值范围是. 故选：C 5．（多选）（24-25高一下·福建三明·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【分析】根据三角形解的个数的判定条件直接计算可得. 【详解】A中，因为，有，所以该三角形无解，故A错误； B中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故B正确； C中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有一解，故C正确； D中，因为，为锐角，有， 所以该三角形有两解，故D错误. 故选：BC. 【考点四：正、余弦定理判定三角形的形状】 【知识点：正、余弦定理判定三角形的形状】 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 【答案】B 【分析】利用和角的正切公式推得判断A；利用正弦定理边化角推理判断BCD. 【详解】对于A，在中，由，得， 整理得 ，则都是锐角， 是锐角三角形，A正确； 对于B：由及正弦定理得， 即，则或，即或， 因此是等腰三角形或直角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得， 即，而是的内角，则，是等腰三角形，C正确； 对于D，由是的内角及正弦定理，得，D正确. 故选：B 2．（多选）（2025·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由正弦定理可得，从而得或，即可判断；对于B，由正弦定理可知，即有，即可判断；对于C，由三角形内角和为及诱导公式可得，即可判断；对于D，由正弦定理及两角和差公式可得，从而得，即可判断. 【详解】解：对于A，由正弦定理可知，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不符合题意； 对于B，由正弦定理可知， 又因为，所以， 所以， 所以是等腰三角形，符合题意； 对于C，因为，解得， 所以，是直角三角形，不符合题意； 对于D，由正弦定理可知， 所以， 即， ， 即， 所以，是等腰三角形，符合题意. 故选：BD. 3．（多选）（24-25高三上·江西上饶·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则是直角三角形 D．若，则是等边三角形 【答案】BCD 【分析】正弦定理化角为边，利用余弦定理确定角的范围判断A，由锐角三角形的定义及正弦函数性质判断B，由正弦定理化边为角，再利用三角函数恒等变换求得判断C，利用余弦函数性质求得的关系判断D． 【详解】由正弦定理得，所以， 所以为锐角，但不能断定是否为锐角三角形，故A错误； 在锐角中，由，可得，且，. 由函数在上单调递增， 得，即，故B正确； ，由正弦定理得， 所以 ，得， 因为，，所以，，所以， 因为，所以，为直角三角形，故C正确； ，，， 故，同理可得， ，要使，则需， 所以，，， 所以，是等边三角形，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状． 【答案】等腰三角形或直角三角形 【分析】先应用正弦定理边角互化再结合二倍角公式的正弦化简结合角的范围计算判断即可. 【详解】 由已知得， 由正弦定理得，（为的外接圆半径）， 得，， ，即或， 或． 为等腰三角形或直角三角形． 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【答案】(1) (2)为等边三角形，证明见解析 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用正弦定理得出，推导出，求出的值，结合角的值，可得出结论； 解法二：利用正弦定理和余弦定理可得出，化简该等式，结合角的值，可得出结论. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 6．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【答案】(1) (2)，是钝角三角形 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合题意可得，然后利用余弦定理可得答案； （2）由（1）及结合，可得，，然后由角度正弦值比例可判断B最大，最后由余弦定理可判断B为钝角. 【详解】（1）（1）由正弦定理得，得， 由余弦定理得，而， 所以． （2）由（1）知，，在中，， 所以， 因此，即． 又因为，所以，而， 所以，故． 由正弦定理得，可知角B最大， 因为， 所以，所以，故是钝角三角形． 【考点五：三角形的面积公式及应用】 【知识点：三角形的面积公式及应用】 1．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，进而可求解； （2）由正弦定理可求得，可求面积. 【详解】（1）根据正弦定理， 又，所以，而， ∴或， ∵，且，∴舍去，即成立． （2）∵，∴， 又，∴根据正弦定理可得：， ∴． 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用正弦定理，再结合两角和正弦公式计算求值； （2）由面积公式计算得出，再应用余弦定理计算即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以，解得， （2）由，得， 再由面积，得， 根据余弦定理得，解得 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由利用正弦定理以及两角差的正弦公式化简，可得，进而可求B的值； （2）由结合（1）利用余弦定理可求a的值，再利用三角形面积公式可求的面积． 【详解】（1）由正弦定理得 ， 又 ， 所以 ， 即 ， ， 得 ，所以 . （2）由余弦定理 得 即 ， 解得 或 (舍)， 所以 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，已知，，的面积为． (1)求角B的大小； (2)求AC边上的高． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及和角的正弦公式求出. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求出AC边上的高. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 而，因此，而，所以. （2）由（1）知，，而，的面积为， 则，解得， 由余弦定理得， 所以AC边上的高. 5．（24-25高二上·云南昆明·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a 【答案】(1) (2)a= 4 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式和正弦定理可求出结果； （2）根据三角形面积得，再结合余弦定理可求出结果. 【详解】（1）根据正弦定理得， 则， 则， 所以， 由于，所以，所以， 所以，则，则， 由于，则，则，则． （2）由题意：，所以． 又由余弦定理以及， 得，所以，所以， 所以． 【考点六：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【知识点：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式可得，再由余弦定理结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】因为， 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以， 所以. 因为，所以，则． 由余弦定理，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互换，结合恒等变换证结论；（2）由（1）及余弦公式，结合基本不等式可解. 【详解】（1）由题， 因为，所以． （2）由（1）， （当且仅当时取等号） 则，又，则． 3．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用余弦定理可得，再由及已知列方程求； （2）根据线段的关系及向量加减、数乘的几何意义有，整理并应用基本不等式求最小值. 【详解】（1）因为，，， 所以，所以， 由，且是角A的平分线， 所以，所以. （2）因为D是BC的中点，所以， 两式平方，并代换得 ，当且仅当时取等号， 所以AD长的最小值为. 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理与三角函数的二倍角公式可得三角形的形状，利用正弦定理以及三角函数恒等变换可得三角函数，根据三角函数的性质，可得答案； （2）由正弦定理整理函数解析式，利用换元法化简函数，根据单调性可得答案. 【详解】（1）因为，所以，即． 因为，所以，从而，则的外接圆直径为． 由，得，， 得． 因为且，所以且， 所以，即的取值范围为． （2）． 设，则，所以． 又是上的增函数，从而在上单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为． 5．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件结合余弦定理求解角度即可. （2）利用正弦定理边化角，再结合三角形周长公式将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质求解取值范围即可. 【详解】（1）在锐角中，因为， 所以由正弦定理得，故， 得到，化为， 故得，化简得， 即，由余弦定理得， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理得， 所以，且设周长为， 所以， ， ， 因为在锐角中，所以， 所以，解得， 综上可得，所以， 故，则， 得到，即， 故周长的取值范围为. 【考点七：求三角形面积的最值或范围】 【知识点：求三角形面积的最值或范围】 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理可得，从而求得的外接圆半径，再利用正弦定理和三角形面积公式，将边化成角，替换掉，根据锐角三角形求出的范围即可求解. 【详解】由得，， 所以，即， 所以，所以. 设的外接圆半径为，由正弦定理得. 所以， 又，所以 由是锐角三角形得，，解得， 所以，所以. 故答案为：. 2．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得到，设，由正弦定理表示出，再把的面积表示出来，最后转化为三角函数值域问题，利用三角恒等变换即可求解. 【详解】因为，，所以，设，则， 在中由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以，显然当，即时，最大值为. 故答案为： 3．（多选）（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】BCD 【分析】由正弦定理求出外接圆半径，即可判断A；由正弦定理可求出角C，判断B；由余弦定理可求出ac的最大值，判断C；由余弦定理求出，可判断D. 【详解】对于A，由题意知，，故设外接圆的半径为R，则， 即得，则外接圆的面积为，A错误； 对于B，若，则， 则，B正确； 对于C，由余弦定理可得，即， 当且仅当时等号成立，则， 故面积的最大值为，C正确； 对于D，由，得， 则，当且仅当时等号成立， 即得，故周长的最大值为，D正确， 故选：BCD 4．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理进行边化角，再结合两角和差的正弦公式公式以及辅助角公式可求解出的值； （2）先通过余弦定理结合基本不等式求解出的最大值，然后根据面积公式可求面积的最大值. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 5．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积定义可得，利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解； （2）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合角C的范围即可得以及面积的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 整理可得， 利用正弦定理可得， 又因为，则，可得，即， 且，所以. （2）由正弦定理， 可得， 由题意可知：，解得， 则，可得，即， 又因为面积， 所以面积的取值范围为. 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 利用正弦定理与余弦定理解三角形 【基本知识】 1 【考点一：利用余弦定理解三角形】 3 【考点二：利用正弦定理解三角形】 4 【考点三：由正弦定理判定三角形解的个数】 7 【考点四：正、余弦定理判定三角形的形状】 7 【考点五：三角形的面积公式及应用】 9 【考点六：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 12 【考点七：求三角形面积的最值或范围】 14 【基本知识】 【知识点：正弦定理与余弦定理】 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C　 变形形式 a＝2Rsin A，b＝2 R sin_B， c＝2 R sin_C； sin A＝；sin B＝； sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； asin B＝bsin A，bsin C ＝csin B，asin C＝csin A； ＝2 R cos A＝； cos B＝； cos C＝ [方法技巧]　用正、余弦定理求解三角形基本量的方法 [方法技巧]　求解与三角形面积有关的问题的步骤 1．对三角形解的个数的研究 (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 2．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【考点一：利用余弦定理解三角形】 【知识点：利用余弦定理解三角形】 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则（   ） A．120° B．45° C．60° D．30° 3．（24-25高三上·山东青岛·期末）如图，P为内一点，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·广东·开学考试）的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则 . 5．（2025·黑龙江·模拟预测）在锐角中，，， (1)求； (2)若为的中点，求. 【考点二：利用正弦定理解三角形】 【知识点：利用正弦定理解三角形】 1．（湖南省部分学校2024-2025学年高三下学期2月联考数学试题）已知的内角的对边分别是，且，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 2．（24-25高三上·河南周口·期中）在中，内角、、所对的边分别为、、，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃定西·期末）在中，，点在线段上，，则（   ） A．3 B． C． D．6 4．（24-25高三上·河南洛阳·期末）如图，中，，且的面积为，点在边上，，则的长度等于 . 5．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，解此三角形． 6．（24-25高三上·山东青岛·期末）在中，角所对的边分别为，已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 7．（24-25高三上·黑龙江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，． (1)求A； (2)若，，求． 8．（24-25高三上·江西赣州·期末）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，，求的周长. 【考点三：由正弦定理判定三角形解的个数】 【知识点：由正弦定理判定三角形解的个数】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则满足条件的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．0个 D．无法确定 2．（24-25高三上·北京·开学考试）中，内角的对边分别为，若已知，则“”是“有且仅有一解”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，若三角形有两个解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·福建三明·阶段练习）在中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【考点四：正、余弦定理判定三角形的形状】 【知识点：正、余弦定理判定三角形的形状】 1．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知分别为三个内角的对边，下列四个命题中错误的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D． 2．（多选）（2025·江西·模拟预测）设内角的对边分别为，则下列条件能判定是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高三上·江西上饶·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则是直角三角形 D．若，则是等边三角形 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在中，已知，试判断的形状． 5．（24-25高一上·河北·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 6．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求的值； (2)若，求，并判断的形状． 【考点五：三角形的面积公式及应用】 【知识点：三角形的面积公式及应用】 1．（2025高二上·辽宁·学业考试）在中，角的对边分别为，且满足． (1)求证：； (2)若，求的面积． 2．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求 (2)若的面积为，求 3．（24-25高三下·北京·阶段练习）在中，． (1)求B； (2)若求边a以及的面积． 4．（24-25高三上·江苏·阶段练习）记为的内角的对边，已知，，的面积为． (1)求角B的大小； (2)求AC边上的高． 5．（24-25高二上·云南昆明·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C； (2)若c=4，△ABC的面积为，求a 【考点六：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 【知识点：求三角形中的边长或周长的最值或范围】 1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角的对边分别是，若，且，则的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）在中，内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求； (2)求的取值范围． 3．（24-25高三下·湖北·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，D为BC边上的点． (1)若，求角A的平分线AD的长； (2)求BC边上中线AD长的最小值． 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）在非等腰中，角的对边分别为，已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 5．（24-25高三上·山东烟台·期末）在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 【考点七：求三角形面积的最值或范围】 【知识点：求三角形面积的最值或范围】 1．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知锐角的内角的对边分别为，若且，则的面积的取值范围为 ． 2．（24-25高三上·山东滨州·期末）如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过点作，交于点，则的面积的最大值为 ． 3．（多选）（24-25高三下·山东聊城·开学考试）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A．外接圆的面积为 B．若，则 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 4．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，且满足. (1)求； (2)若，求面积的最大值. 5．（24-25高三上·四川宜宾·阶段练习）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的取值范围． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$