1.4.1 角平分线的性质与判定（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

4.1 角平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.要求大家掌握角平分线的性质定理和逆定理，会用这两个定理解决一些简单问题. 2.理解角平分线的性质定理和逆定理的证明. 3.进一步发展大家的推理证明意识和能力. 情境&导入 1.什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线. 2.还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你是怎样得到的? 角平分线上的点到角两边的距离相等. 3 探索&交流 角平分线的性质 1— 角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E． 求证：PD=PE． C B 1 A 2 P D E O 探索&交流 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∵ ∠1 =∠2，OP = OP， ∴△PDO ≌△PEO（AAS）. ∴ PD = PE（全等三角形的对应边相等）. C B 1 A 2 P D E O 探索&交流 1.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.书写格式： 如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于点D， PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE. 3 定理应用所具备的条件： (1)角的平分线； (2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ____cm. B A C P M D E 4 探索&交流 议一议 你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．简写 这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点． 到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上 探索&交流 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). B A D O P E C 1 2 探索&交流 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC) 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) . 例题&解析 探索&交流 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 练习&巩固 1.如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是(　　) A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC＝OD C．∠OPC＝∠OPD D．PC＝PD D 练习&巩固 2.如图，若∠ABC 的平分线与△ABC 的外角∠ACD 的平分线相交于点 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于____°. 59 B A C D P 练习&巩固 3. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. 证明：∵AD 是角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF. 又∵BD = CD， ∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）. ∴EB = FC. 小结&反思 1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 2.角平分线的判定定理： 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上. $$