1.3.1 线段的垂直平分线（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

3.1 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 北师大版八年级数学下册 学习&目标 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，并利用 定理解决几何问题. 2.用尺规作线段的垂直平分线. 情境&导入 1.线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A B 2.什么叫线段的垂直平分线？ 3.线段的垂直平分线有什么性质？ 经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，这条线段的垂直平分线(中垂线). 垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 3 情境&导入 如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? A B C 4 探索&交流 线段的垂直平分线的性质 1— 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 已知：如图,直线MN⊥AB垂足为C，且AC＝BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA＝PB P A B M C N 证明：∵MN⊥AB， ∴ ∠PCA ＝∠PCB＝90°. ∵ AC＝BC，PC＝PC, ∴△PCA ≌△PCB ( SAS ). ∴PA＝PB (全等三角形的对应边相等） 探索&交流 条件：点在线段的垂直平分线上； 结论：这个点到线段两端点的距离相等． 表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP. 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 探索&交流 想一想 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？ 你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 它是真命题吗？你能证明吗？ 探索&交流 如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 A B C P 探索&交流 ① 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； ② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. A B C P 探索&交流 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2.已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. A B C O 例题&解析 A B C O 证明一：∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. ∴直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. 例题&解析 证明二：延长AO交BC于点D. ∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO（SSS）. ∴∠BAO=∠CAO. ∵AB=AC， ∴AD⊥BC，BD＝CD. ∴直线AD，即AO垂直平分线段BC. D 练习&巩固 1.到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ） A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点 B 练习&巩固 2.如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则△BCE 的周长是 cm. A B C D E 16 练习&巩固 3.如图，AD⊥ BC，BD = DC，点 C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB + BD 与 DE 有什么关系？ A B C D E 解：∵　AD⊥ BC，BD = DC， ∴　AD 是 BC 的垂直平分线， ∴　AB = AC. ∴　AB = AC = CE. ∵　AB = CE，BD = DC， ∴　AB + BD = CD + CE. 即　AB + BD = DE . ∵点 C 在 AE 的垂直平分线上， ∴　AC = CE. 小结&反思 线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等. 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合. $$