专题07 余弦函数的图象与性质10种常考压轴题归类-【常考压轴题】2024-2025学年高一数学压轴题攻略（人教B版2019必修第三册）

专题07 余弦函数的图象与性质 10种常考压轴题归类 知识点01 余弦函数的图象 1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。 2．余弦函数图象的三种画法 （1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象； （2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。 （3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。 知识点02 余弦函数的性质 1．定义域与值域：定义域为R，值域为 当且仅当，时，； 当且仅当，时，； 2．奇偶性：偶函数 3．周期性：最小正周期为 4．单调性：单调增区间为；单调减区间为 5．对称性：对称轴为，对称中心为 压轴题型一：五点法作余弦函数图像 √满分技法 利用五点法作余弦函数图像时, 先确定周期, 找出一个周期内的五个关键点(最大值点、最小值点及与x轴的交点)。计算这些点的坐标,描点并用平滑曲线连接 1．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 2．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图． 列表： 画图： 【答案】(1)． (2)答案见解析 【分析】（1）根据余弦函数的单调递减区间，列出不等式求解，即可得出结果； （2）根据五点作图法，列表、描点，即可作出函数图象. 【详解】（1）由，得， 所以的单调递减区间为． （2）列表： 0 2 0 0 2 画图： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据五点作图法列表、描点、连线，作出函数简图. （2）根据翻折变换画出函数简图. 【详解】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 压轴题型二：余弦函数与不等式 √满分技法 解与余弦函数相关的不等式时, 首先利用余弦函数的图像和性质确定函数值的范围, 然后将不等 式转化为对应区间上的求解问题, 注意周期性和边界值的处理。 4．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助余弦函数图象和性质计算即可. 【详解】由题意得，因为，所以， 即不等式的解集为． 故选：C. 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设是第一象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简 ，通过充分条件与必要条件的概念结合三角函数的知识进行求解. 【详解】，满足 ，故充分性成立； 但当时，是第一象限角，则， 不一定得出，故必要性不成立； 所以是第一象限角，则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)若，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象的对称中心求出图象的对称中心； （2）将不等式化简为，对分类讨论求解不等式. 【详解】（1）易知图象的对称中心为， 图象的对称中心为． 图象的对称中心为． （2）不等式，即为． ，即． 当时，显然有（不能同时取等号）恒成立； 当时，由三角函数的单调性知单调递减， 又的解集是； 当时，显然有无解； 当时，由三角函数的单调性知单调递增， 又的解集是． 不等式的解集为． 压轴题型三：余弦函数的周期性 √满分技法 求解余弦函数的周期性时,记住周期公式 ,通过分析函数表达式中的 值来确定周期 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数的最小正周期为，由题意可得，可得出关于的表达式，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则该函数的最大值为，最小值为， 且， 所以，、中一个为函数的最大值，一个为函数的最小值， 设函数的最小正周期为，则， 即，可得，所以，的可能取值为. 故选：C. 8．（24-25高二上·广西贵港·期末）下列函数中，最小正周期为且奇偶性与函数相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断奇偶性，然后再判断最小正周期. 【详解】因为，所以为奇函数. 函数的最小正周期为，排除A； 是偶函数，排除C； 不具有周期性，排除D； 是奇函数，其最小正周期为. 故选：B. 9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（    ） A．0 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】结合余弦函数性质计算可得，即可得，再将代入计算即可得. 【详解】由，则， 则有，解得， 则，又，则， 故. 故选：C. 10．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为2，则的解析式可以是 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】写出满足题意的一个函数，如，逐一验证性质即可. 【详解】函数满足题意，下面证明： 因为， 所以的图象关于直线对称； 又因为， 所以是周期函数，且是的周期. 如图，作出函数的图象， 由图可知的最小正周期. 故是满足题意的一个函数解析式. 故答案为：（答案不唯一） 11．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 【答案】C 【分析】对A，利用偶函数定义判断；对B，利用函数对称性的定义判断；对C，根据周期函数的定义判断；对D，令，则 ，利用基本不等式求出最小值. 【详解】对于A，的定义域为 R ， 因为 ， 所以是 R 上的偶函数，所以函数的图象关于 y 轴对称，故A正确； 对于B，对于任意的， ， 所以函数的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，因为 ， 所以 为函数的一个周期，故不是函数的最小正周期，故C错误； 对于D，因为，设 ， 则 ，因为 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以函数 的最小值为2，故 D 正确. 故选：C. 12．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出的最小值． 【详解】依题意知，，∴，∴，∴ω的最小值为． 故选：B. 压轴题型四：余弦函数的奇偶性 √满分技法 判断余弦函数的奇偶性时, 检查函数是否满足 (偶函数)或 (奇函数)。特别关注函数表达式中φ的值对奇偶性的影响。 13．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，先分析函数的定义域，再分析、的关系，即可得答案； （2）根据题意，由求出的值，即可得的解析式，进而求函数的零点，即可得答案． 【详解】（1）函数， 其定义域为，有， 则为偶函数； （2）若，即，解可得， 故， 若，即，解可得或舍， 又由，则， 即在上的零点为. 14．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，并且利用诱导公式化简解析式，然后利用奇偶性的概念验证奇偶性；再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性. 【详解】因为的定义域为，并且 ， 又， 所以为偶函数； 设、，并且，则，， 所以，，， 于是， 即，所以在上单调递增，所以A正确，BCD错误. 故选：A. 15．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 【答案】 【分析】由函数为奇函数，可知即可求解. 【详解】因为函数是奇函数， 所以,即, 又因为，所以令，， 故答案为：. 16．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解. 【详解】为偶函数， 所以，，得，， 当时，，在区间内仅有两个零点， 所以，解得：，所以. 故答案为：2 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 18．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用求解． 【详解】因为， 故，而，故， 故选：B. 19．（2024·四川成都·一模）已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【分析】通过求来求得正确答案. 【详解】依题意， 所以 所以. 故选：B 压轴题型五：余弦函数的对称性 √满分技法 分析余弦函数的对称性时, 确定对称轴(过最大值或最小值点且垂直于x轴的直线)和对称中心 (与x轴的交点)。通过解方程 (对称中心)或 (对称轴)来求解。 20．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，且．则函数的图象的一个对称轴可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得函数的一条对称轴，再由的最小正周期为，即可得到结果. 【详解】由题设有， 因为，， 所以，则， 故， 所以的一个对称轴为， 又的周期为，故其另一个对称轴为． 故选：B． 21．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断的奇偶性和对称性，再由图象的平移和正弦函数、余弦函数的对称性，可得结论． 【详解】因为函数的定义域为，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称， 函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称， 而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项； 又函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称. 而又函数的图象关于点对称，故排除A选项. 故选：C. 22．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，的图象关于直线对称， 则，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：B 23．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 【答案】0 【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值. 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 压轴题型六：余弦函数的单调性 √满分技法 研究余弦函数的单调性时, 利用其图像和性质,确定在一个周期内的单调区间。通过解不等式 (单调递增)和 (单调递减)来求解,注意 的正负对区间的影响。 24．（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的单调性分析判断即可. 【详解】对于，这里，其图象开口向下，对称轴为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.  故A错误. 对于函数，这里. 根据一次函数的单调性，在上单调递增， 故B正确. 是周期函数，它的周期是. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数， 故C错误. 也是周期函数，周期为. 在上单调递增，在上单调递减，在上不为增函数.故D错误. 故选：B. 25．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用余弦函数性质求出最小正周期及单调递增区间. （2）利用相位的范围，结合余弦函数的单调性求出最值即可. 【详解】（1）函数的最小正周期； 由，，得， 所以函数的单调递增区间为. （2）由，得，而在上单调递减，在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是，而，则， 所以函数在区间上的值域为. 26．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体法即可根据求解， （2）利用整体法即可列不等式求解， （3）利用整体法求解，即可结合余弦函数的性质求解. 【详解】（1）令，解得：，此时， 的对称中心为； （2）令，解得：， 的单调递减区间为 （3）当时，，则， ，即的值域为 27．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性，结合零点情况求出的范围即可得解. 【详解】函数，当时，， 而余弦函数在上单调递减，又， 因此，解得， 由，得，当时，， 而函数在上有且仅有1个零点，则，解得， 因此，ABD不满足，C满足. 故选：C 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据已知点求出的值，再根据单调递增区间列出关于的不等式求解. 【详解】因为函数的图象过点，代入函数可得： ，即. 又因为，所以，则函数. 对于余弦函数，其单调递增区间为. 那么对于函数，有. 解不等式可得：. 解不等式可得：. 因为在区间单调递增，所以. 由可得：. 由可得：. 因为，所以，解得，所以. 故答案为：. 29．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数在区间上单调可得的范围，再由三角函数对称性与周期性的关系求得周期，进而可得，再由最值求得 【详解】因为在区间上单调，所以，可得， 解得，且，所以， 又点在函数的图像上，所以是函数的一个对称中心， 又恒成立，即是函数的一条对称轴， 所以， 若，则，此时，可得，满足条件， 若，则，此时，可得，不满足条件， 所以， 又恒成立，所以， 即，即，又， 所以，则. 故选：B 30．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先判断函数的单调性和奇偶性，再利用性质化简自变量，以及利用单调性，结合特殊值，比较大小. 【详解】函数的定义域为，且，所以函数是偶函数， 当时，是增函数，是减函数，所以在区间是增函数， ，， ，，， 所以， 所以，即. 故选：D 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式可得，，由余弦函数单调性比较，根据函数单调性比较的大小，结合奇偶性可得结论. 【详解】因为， 由，则． 所以， 又在区间内单调递增， 则， 又函数为偶函数，故则， 所以． 故选：D. 压轴题型七：余弦函数的值域与最值问题 √满分技法 求解余弦函数的值域与最值时, 考虑振幅A和余弦函数本身的值域[-1,1],确定函数在给定区间内的最大值和最小值。注意区间端点与最值点的关系。 32．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦函数的增区间解得x的取值范围，即得的单调增区间； （2）由得，利用余弦函数的图像与性质可得，从而求得的值域. 【详解】（1） 令， 解得：， 故的单调增区间为. （2）由得， 所以，， 所以在区间上的值域. 33．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 【答案】 【分析】利用换元法令，由余弦型函数单调性可得的取值范围，再结合二次函数的性质即可得答案. 【详解】令， ∴， ． ∵ 在上是减函数， ∴当，即时， ． 故答案为：，. 34．（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为，，恒成立为真命题，分离参数，再构造函数，利用二次函数可求得最小值，从而可得结果. 【详解】因为命题p是假命题，所以其否定命题为真命题， 即，恒成立， 所以恒成立， 因为， 而，所以， 所以当时，取得最小值， 所以. 故选：A 35．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，按函数能否取到分类讨论求出的值或范围即可得解. 【详解】由，得，由的最小值为，得，即， 当时，的最小值，则，此时，符合题意，因此； 若的最小值大于，则，且，解得， 余弦函数在上单调递减，因此存在唯一，使得， 因此或，所以所有满足条件的的积属于区间. 故选：B 【点睛】关键点点睛：按函数最小值能否取到进行分类是求解问题的关键. 压轴题型八：与余弦函数有关的零点问题 √满分技法 解决与余弦函数有关的零点问题时,将问题转化为求解方程 在给定区间内的 解。利用余弦函数的图像和性质,找到满足条件的x值,注意周期性和区间限制。 36．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦函数的图象可得，解不等式组可求得正数的取值范围. 【详解】为使函数满足有且仅有三个零点，根据余弦函数的图象可得， 解得，故的取值范围是． 故答案为： 37．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件求出的范围，结合余弦函数的图象可求的取值范围. 【详解】当时，． 因为在上有且仅有2个零点， 所以，解得． 故选：C． 压轴题型九：余弦函数的图像变换 √满分技法 进行余弦函数图像变换时, 掌握平移、伸缩、对称等基本变换规则。平移变换时注意“左加右 减,上加下减”的原则；伸缩变换关注 和 对周期和振幅的影响; 对称变换根据对称轴或对称中 心进行。 38．（24-25高三上·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合诱导公式，利用平移规律求平移后的函数解析式. 【详解】由题意得 故选：C 39．（2024高二上·贵州·学业考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据余弦函数图象平移规律进行求解即可. 【详解】因为函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到的图象. 故选：A 40．（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的平移伸缩变换方法，化简计算即得. 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得到， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为. 故选：C. 41．（23-24高一上·广东深圳·期末）定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【分析】先明确的解析式，再根据函数图象变换的法则直接写出结论. 【详解】由题可知函数， 将其图象上所有点向右平移个单位长度可得到函数的图象. 故选：A 42．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦函数图象变换判断得解. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得函数的图象. 故选：B 43．（24-25高一上·天津南开·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简并变形得，然后根据图象的平移变换判断即可. 【详解】，， 所以的图象向右平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 压轴题型十：根据图像求函数的解析式 √满分技法 根据余弦函数图像求解析式时,首先确定振幅 (由最大值和最小值确定),然后从图像中读取周期T,利用 求ω。再根据图像上的关键点(如最大值点或最小值点)代入求解 ,确定函数表达式。 44．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据周期为2，可设函数解析式为，即可根据求解，即可求解得解. 【详解】图象所对应函数的最小正周期为2， 设图象所对应的解析式为， 由可得，故，， 故， 则． 故选：C 45．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据图象，结合由五点作图求出的解析式，利用整体代入法求出单调区间可得答案. 【详解】由五点作图知，，解得， 所以，令， 解得，故单调减区间为. 故选：D. 46．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解. ①求实数的取值范围； ②求的值.（用表示） 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）由图象可得出函数的周期，可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式； （2）结合，，利用余弦型函数的图象及性质列式求解即可； （3）①先将化简，然后结合该函数在的单调性、最值情况构造不等式求出的范围； ②可先根据两根关于对称轴对称求出的关系，然后代入利用三角恒等变换公式化简求值． 【详解】（1）由图象可知，，所以，则， 所以， 因为即， 因为，则，所以，解得， 因此； （2），， 由题意在的值域为，结合题干图象知， 解得； （3）①将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变）， 再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象， 则，其中， 因为，所以，所以， 又因为，所以是函数一个周期的区间． 所以若方程在内有两个不同的解， 只需，即即为所求． ②令，因为于的方程在内有两个不同的解， 所以满足，即，， 又的对称轴由， 结合得对称轴为， 可知，关于对称轴对称，所以， 所以或． 当时， ． 当时， ． 故． 47．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；若，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图象得振幅和周期并求出，再根据最大值点求出，即可得函数解析式. （2）根据图象变换得的解析式，再利用同角公式及两角和的余弦公式求值. 【详解】（1）由图得，函数的最小正周期，解得， 即，而，则， 又，于是，所以的解析式为. （2）把函数的图象向右平移个单位长度，得的图象， 因此，当时，，则，即，， 所以. 48．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． 【答案】(1)， ； (2). 【分析】（1）利用余弦函数性质，把相位看成一个整体来解不等式，即可得单调区间； （2）利用相位整体角思想，把所求的角转化，再用余弦两角和公式求解即可. 【详解】（1）由图象可知：，解得：， ， ； ，，解得：， 又，，， 令，解得：； 的最小正周期为，单调递增区间为. （2），， 又，， 又， . 49．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 【答案】/ 【分析】由图象求得参数，根据余弦函数的对称性，结合即可求值. 【详解】由图知，，， 点位于减区间内，点位于增区间内，且这两个区间相邻， 则，而，解得，， 函数的最小正周期，而，即，解得， 于是，，， 直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为， 观察图得，， 所以. 故答案为： 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的平移变换求出函数的图象，然后利用函数的对称性求得的关系式，即可得出答案. 【详解】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象， 所以， 因为函数图象关于原点对称，， 所以，所以的值可以是. 故选：B. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】令，可得. 所以当时，，故满足条件. 故选：A 3．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 【答案】D 【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，由奇偶性得到方程，求出，得到答案. 【详解】依题意，得为偶函数， 则，即， 当时，，D正确，其他选项均不正确. 故选：D． 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明是偶函数，根据和时的正负即可求解. 【详解】因为，所以是偶函数， 排除选项B，当时，， 当时，， 排除选项A，D． 故选：C. 5．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性，以及余弦函数性质，借助中间量即可得到结果. 【详解】因为，所以， ， ， 所以. 故选：C 6．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B． C．254 D．2025 【答案】B 【分析】首先根据函数的奇偶性和所给等式推出函数的周期，再结合已知区间的函数表达式求出一个周期内函数值的和，最后利用周期计算所给式子的和. 【详解】由是偶函数推出的性质， 因为是定义域为的偶函数， 所以，即， 对于任意都成立，那么. 用代替，可得，即. 又因为，则关于直线对称，所以. 由和可得， 再用代替，得到，即， 而，所以，进而，所以函数的周期是. 已知当时，. .. 因为的图象关于直线对称，所以，. . .，，. 则. 因为，其中是余数. 所以. ， 故选：B. 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【分析】利用诱导公式的得到，然后根据图象的平移变换判断. 【详解】， 所以的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C. 8．（浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题）某个简谐运动可以用函数来表示，部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．直线是曲线的一条对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 【答案】C 【分析】根据图象可得可判断A；利用的图象与性质可得，即可判断选项B的正误；，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图象知， 又，所以，又由五点作图知，第三个点， 所以，得到， 所以，A错. 设，由， 到， 所以，B错误. 令，解得，所以C正确； 因为，由，得到， 所以点是曲线对称中心，D错误. 故选：C. 9．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得，所以，即，故，结合，即可得解. 【详解】因为存在常数，使得恒成立，所以. 即，所以， 得，解得，又， 所以的最小值是. 故选：D. 二、多选题 10．（24-25高一上·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．关于的方程在上有2个相异实根 D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 【答案】ACD 【分析】先根据函数图象的最值、周期和图象上的点求出的解析式，再根据余弦函数的单调性、对称性和值域判断ABC，根据平移变换判断D. 【详解】由的图象得，，， 所以，故， 由，得，即的单调递增区间为， 令，得，又，故A正确； 因为，所以的图象关于直线对称，故B错误； 因为，所以由图象知，当时，在上有两个不相等的实根，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得的图象， 显然为奇函数，故D正确． 故选：ACD 11．（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B．直线是图象的对称轴 C．在区间上只有2个零点 D．在区间上单调递增 【答案】ABD 【分析】由对称中心代入即可判断A，由的函数值可判断B，通过计算的范围，结合余弦函数的图像、单调性可判断CD. 【详解】将代入，得， ，即．又，故A正确； 由上知，则，则直线是图象的对称轴，故B正确； 由，得，又在上有3个零点，所以函数在区间上有且仅有3个零点，C错误； 处于余弦函数的递增区间内，D正确． 故选:ABD． 12．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为π B．的对称轴可以是 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性与最值之间的关系可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为，不为最值， 所以不为的对称轴，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 13．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 【答案】AC 【分析】由的性质及图形变换判断即可. 【详解】由可知周期为，故A正确； 函数的对称轴：由，可得，故B错误； 函数的对称中心：由，得， 当时，，故对称中心为，故C正确； 函数向左平移个单位长度得，故D错误， 故选：AC 14．（24-25高一上·广东广州·期末）对于函数和，下列结论中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】利用正弦函数与余弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项，从而得解. 【详解】A选项，令，得，解得，即为零点， 令，得，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，易得，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，对于，令，得， 对于，令，得， 所以的对称轴为，的对称轴为， 显然图象的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC. 15．（2025·江西九江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．有3个零点 C．的最大值为1 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据偶函数定义判断A，零点定义计算判断B，根据余弦函数的有界性得出最大值判断C，D. 【详解】，且定义域关于原点对称，是偶函数，故A正确； 由，得有2个零点，故B错误； ， 即，等号成立的条件， 当不能同时成立取不到，得，故C正确，D错误． 故选：AC． 三、填空题 16．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用同角三角函数关系得到，结合和余弦图象，求出最小值. 【详解】， 因为，所以，， ，故最小值为. 故答案为： 17．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）若函数满足，且在区间上，则 ． 【答案】 【分析】根据给定的分段函数，利用周期性求出函数值. 【详解】由函数满足，得函数的周期为4， ，所以. 故答案为： 18．（2025高三上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据两角的终边关于轴对称得，再利用诱导公式得，从而根据余弦函数的单调性求得的最大值即可. 【详解】由题意，得，所以， 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为． 故答案为： 19．（24-25高一上·广东东莞·期末）设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则 的值域为 . 【答案】 【分析】将代入函数解析式，利用取整函数的定义即可求解函数值；根据三角函数的有界性分类讨论，利用取整函数的定义分别求出函数值即可求出函数的值域. 【详解】因为， 所以； ，或，时，； ，或，时，； ，时， ，或，时，， ，时，， 所以的值域为 故答案为：， 四、解答题 20．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)；单调递减区间是， (2)，；， (3) 【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间； （2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值； （3）由余弦函数的性质解不等式． 【详解】（1）的最小正周期， 当，即，时，单调递减， ∴的单调递减区间是，. （2）∵，则， 故， ∴，此时，即， ，此时，即． （3），即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 21．（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）解方程得到解析式，然后求最小正周期； （2）利用整体代入的方法求单调区间； （3）将在区间上有解转化为，然后求最小值即可. 【详解】（1）由题意得， ， ， ，即， ， ， 所以的最小正周期为. （2）设， 因为的单调递增区间是， 所以由， 解得， 所以函数的单调递增区间为. （3）不等式在区间上有解， 即为在区间上有解， 因为，所以， 当，即时， 取得最小值， 所以只需， 故实数的取值范围是. 22．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，（且）． (1)求函数的解析式； (2)解不等式：． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由偶函数的定义以及当时，求得当时函数的解析式，代入，求得的值，然后得到函数的解析式； （2）根据函数的单调性即奇偶性得到关于的不等式，解出即可. 【详解】（1）令，则， ∴， ∵，∴， 即. （2）令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ，∴， ∴，解得，故不等式的解集为. 23．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【详解】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 【点睛】方法点睛：已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 24．（24-25高一上·四川内江·期末）意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． (1)求证：； (2)求函数的最小值； (3)求证：对，． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入双曲余弦和双曲正弦函数的解析式，化简即可. （2）求函数解析式，利用换元法结合基本不等式可求函数的最小值. （3）当时，研究的符号，判断它们的大小，当时，构造函数，利用函数的单调性进行判断. 【详解】（1）因为. 所以：. （2）. 设，则，当且仅当时取“”. 则，在上单调递增. 所以. 所以函数的最小值为. （3）当时，，. 对， 因为，所以为偶函数； 设，则， 因为，所以，，所以， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增. 所以当时，. 所以； 当时，. 设. 所以， 所以. 即. 综上可得：对，. 【点睛】关键点点睛：在第三问中，关键是要分析双曲余弦函数和双曲正弦函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质比较大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 余弦函数的图象与性质 10种常考压轴题归类 知识点01 余弦函数的图象 1．余弦函数与余弦曲线：对于任意一个角，都有唯一确定的余弦与之对应，所以是一个函数，一般称为余弦函数。函数的图象成为余弦曲线。 2．余弦函数图象的三种画法 （1）描点法：同正弦曲线的画法，通过列表、描点、连线、作图画出余弦函数在上的图象； （2）五点法：在函数，的图象上，有5个关键点：，，，，，描出五个关键点后，用平滑的曲线连接，可得，的图象。 （3）平移法：根据诱导公式，可知的图象可由的图象向左平移个单位得到（如图所示）。 知识点02 余弦函数的性质 1．定义域与值域：定义域为R，值域为 当且仅当，时，； 当且仅当，时，； 2．奇偶性：偶函数 3．周期性：最小正周期为 4．单调性：单调增区间为；单调减区间为 5．对称性：对称轴为，对称中心为 压轴题型一：五点法作余弦函数图像 满分技法 利用五点法作余弦函数图像时, 先确定周期, 找出一个周期内的五个关键点(最大值点、最小值点及与x轴的交点)。计算这些点的坐标,描点并用平滑曲线连接 1．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 2．（24-25高一上·甘肃白银·期末）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”作出在一个周期内的简图的过程如下，请先补全表格，然后在下图的坐标系中作出在一个周期内的简图． 列表： 画图： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 压轴题型二：余弦函数与不等式 满分技法 解与余弦函数相关的不等式时, 首先利用余弦函数的图像和性质确定函数值的范围, 然后将不等 式转化为对应区间上的求解问题, 注意周期性和边界值的处理。 4．（24-25高一上·湖南湘潭·期末）已知是三角形的一个内角，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）设是第一象限角，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)若，求不等式的解集． 压轴题型三：余弦函数的周期性 满分技法 求解余弦函数的周期性时,记住周期公式 ,通过分析函数表达式中的 值来确定周期 7．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西贵港·期末）下列函数中，最小正周期为且奇偶性与函数相同的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知函数图象的一个最高点与相邻的对称中心之间的距离为，则（    ） A．0 B． C．4 D． 10．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，且的最小正周期为2，则的解析式可以是 .（写出一个即可） 11．（2025·河南郑州·一模）关于函数，下列结论错误的是（      ） A．函数的图象关于y轴对称 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的最小正周期为 D．函数的最小值为2 12．（2025高一下·全国·专题练习）已知函数的图象向左平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（   ） A．3 B． C． D． 压轴题型四：余弦函数的奇偶性 满分技法 判断余弦函数的奇偶性时, 检查函数是否满足 (偶函数)或 (奇函数)。特别关注函数表达式中φ的值对奇偶性的影响。 13．（24-25高一上·广东阳江·期末）已知函数 (1)证明：是偶函数. (2)若，求在上的零点. 14．（24-25高一上·山东烟台·期末）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 15．（23-24高一上·广西柳州·期末）已知函数是奇函数，则时， ． 16．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是 ． 17．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 18．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D．2 19．（2024·四川成都·一模）已知函数满足：，函数，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．4 压轴题型五：余弦函数的对称性 满分技法 分析余弦函数的对称性时, 确定对称轴(过最大值或最小值点且垂直于x轴的直线)和对称中心 (与x轴的交点)。通过解方程 (对称中心)或 (对称轴)来求解。 20．（24-25高一上·江西·阶段练习）已知函数，且．则函数的图象的一个对称轴可以为（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的图象关于直线对称，则的值为 ． 压轴题型六：余弦函数的单调性 满分技法 研究余弦函数的单调性时, 利用其图像和性质,确定在一个周期内的单调区间。通过解不等式 (单调递增)和 (单调递减)来求解,注意 的正负对区间的影响。 24．（2024高二下·云南·学业考试）下列函数中，在上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数． (1)求函数的最小正周期与单调递增区间； (2)求函数在区间上的值域． 26．（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数. (1)求函数的对称中心坐标； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求函数的值域. 27．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·福建漳州·期末）已知函数的图象过点，且在区间单调递增，则的取值范围为 ． 29．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知点在函数的图像上，若恒成立，且在区间上单调，则（   ） A． B． C． D． 30．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 31．（24-25高一上·全国·课后作业）已知定义在上的偶函数满足在区间内单调递增．若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 压轴题型七：余弦函数的值域与最值问题 满分技法 求解余弦函数的值域与最值时, 考虑振幅A和余弦函数本身的值域[-1,1],确定函数在给定区间内的最大值和最小值。注意区间端点与最值点的关系。 32．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知函数 (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 33．（24-25高一上·全国·课后作业）函数，，当 时，最小且最小值为 ． 34．（23-24高一下·四川成都·期中）已知命题：，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，在区间上的最小值为，则所有满足条件的的积属于区间（   ） A． B． C． D． 压轴题型八：与余弦函数有关的零点问题 满分技法 解决与余弦函数有关的零点问题时,将问题转化为求解方程 在给定区间内的 解。利用余弦函数的图像和性质,找到满足条件的x值,注意周期性和区间限制。 36．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数在上有且仅有三个零点，则正数的取值范围是 ． 37．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 压轴题型九：余弦函数的图像变换 满分技法 进行余弦函数图像变换时, 掌握平移、伸缩、对称等基本变换规则。平移变换时注意“左加右 减,上加下减”的原则；伸缩变换关注 和 对周期和振幅的影响; 对称变换根据对称轴或对称中 心进行。 38．（24-25高三上·陕西西安·期末）将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 39．（2024高二上·贵州·学业考试）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 40．（22-23高一下·安徽马鞍山·期中）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 41．（23-24高一上·广东深圳·期末）定义一种运算：．已知函数，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 42．（24-25高一上·陕西咸阳·期末）为了得到余弦函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 43．（24-25高一上·天津南开·期末）要得到函数的图象，可以将函数的图象(    ) A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 压轴题型十：根据图像求函数的解析式 满分技法 根据余弦函数图像求解析式时,首先确定振幅 (由最大值和最小值确定),然后从图像中读取周期T,利用 求ω。再根据图像上的关键点(如最大值点或最小值点)代入求解 ,确定函数表达式。 44．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知函数，则图象对应的函数解析式可以为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一上·安徽淮南·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)已知在的值域为，求的取值范围； (3)将图象上所有点纵坐标缩短为到原来的（横坐标不变），再将所得到图象向右平移个单位长度得到的图象.已知关于的方程在内有两个不同的解. ①求实数的取值范围； ②求的值.（用表示） 47．（24-25高三上·黑龙江鸡西·期中）已知函数，的部分图象如图所示， (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象；若，，求的值. 48．（24-25高一上·广西南宁·期末）函数（，）的部分图象如图所示． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若，，求的值． 49．（23-24高一下·广东广州·期中）函数的部分图象如图所示，直线与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，则 . 一、单选题 1．（24-25高一上·福建福州·期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象关于原点对称，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江西九江·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则的值可能是（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 4．（24-25高三下·江西·阶段练习）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·湖北襄阳·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，当时，，则（   ） A． B． C．254 D．2025 7．（24-25高一上·重庆长寿·期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 8．（浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题）某个简谐运动可以用函数来表示，部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．直线是曲线的一条对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 9．（24-25高三上·浙江丽水·期末）已知函数，若存在常数，使得恒成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．关于的方程在上有2个相异实根 D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数 11．（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B．直线是图象的对称轴 C．在区间上只有2个零点 D．在区间上单调递增 12．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为π B．的对称轴可以是 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 13．（24-25高一上·河北唐山·期末）已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 14．（24-25高一上·广东广州·期末）对于函数和，下列结论中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 15．（2025·江西九江·一模）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．有3个零点 C．的最大值为1 D．的最小值为 三、填空题 16．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数，则的最小值为 ． 17．（24-25高一上·黑龙江绥化·期末）若函数满足，且在区间上，则 ． 18．（2025高三上·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则的最大值为 ． 19．（24-25高一上·广东东莞·期末）设，用表示不超过x的最大整数，称为取整函数.例如：，，已知函数，则 的值域为 . 四、解答题 20．（24-25高一上·湖北荆州·期末）已知函数，． (1)求函数的最小正周期和单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 21．（24-25高一上·广东·期末）已知函数的图象过点. (1)求的解析式和最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)若关于的不等式在区间上有解，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义在上的偶函数，，当时，（且）． (1)求函数的解析式； (2)解不等式：． 23．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 24．（24-25高一上·四川内江·期末）意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性． (1)求证：； (2)求函数的最小值； (3)求证：对，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$