精品解析：安徽省蚌埠市蚌山区2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年第一学期九年级阶段素养检测数学试卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年4月22日，是第55个世界地球日，今年的主题为“全球战塑”，垃圾分类对环境保护有重大意义，下面四种垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 2. 已知，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 5. 由二次函数解析式判断它的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知x、y满足，且，，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，则______． 12. 如图，是的直径，弦于点，，，则的长为______． 13. 已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点M，N，且，点B位于经x轴的正半轴， （1）_______； （2）_______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 16. 如图，在平面直角坐标系中，（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为； （2）过点A作边上高． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在中，点分别在上，且，交于点，．求： （1）的值； （2）与的面积比． 18. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 望淮塔位于安徽蚌埠张公山境内，形成于1987年，七层，八角形，建筑面积820平方米，是蚌埠市标志之一．老师带领同学们去测量一座古塔的高度．他们首先从处安置测倾器，测得塔顶的仰角，然后往塔的方向前进44.8米到达处，此时测得仰角，已知测倾器高1.7米，请你根据以上数据计算出古塔的高度．（参考数据：，，，） 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 21. 某科研单位为保障某种型号的无人机安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道起上着陆后滑行情况，收集相关数据如下表． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 30 28 26 34 22 滑行距离 0 29 56 81 104 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系． （1）求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若该无人机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时无人机的滑行速度． 22. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，为边的中点，将绕点旋转，旋转过程中，边与边相交于点，边与边延长线相交于点. （1）求证：. （2）若，，求的长. 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数（，是实数，，）， （1）若，，当时，求函数的最大值； （2）若，当时，始终有，求的取值范围， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级阶段素养检测数学试卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 2024年4月22日，是第55个世界地球日，今年的主题为“全球战塑”，垃圾分类对环境保护有重大意义，下面四种垃圾分类标识中，是中心对称图形的是（ ） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形定义是解题的关键．根据中心对称图形是图形旋转后能与原图形重合的定义即可选出正确选项． 【详解】解：A、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，是，不符合题意； B、此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； C、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； D、此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 已知，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：， ， 解：、由可得，变形错误，故本选项符合题意； 、由可得，变形正确，故本选项不符合题意； 、，变形正确，故本选项不符合题意； 、由可得，变形正确，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，余弦定义，熟记锐角三角函数定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ， 故选：B． 4. 大自然是美的设计师，一个盆景也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 5. 由二次函数解析式判断它的函数图象，下列说法正确的是（ ） A. 其图象的开口向下 B. 其图象的对称轴为直线 C. 其最小值为1 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质，难度不大．直接根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质后即可找到正确的答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线，有最小值为1，当时y随x的增大而减小， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，经过四点，，，则圆心点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到，再根据圆周角定理得到为的直径，则点为的中点，接着利用含度的直角三角形三边的关系得到，，所以，，然后利用线段的中点坐标公式得到点坐标． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴为的直径， ∴点为的中点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵点为的中点， ∴点坐标为． 故选D． 【点睛】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆的内接四边形对角互补．含度的直角三角形三边的关系，的圆周角所对的弦是直径，坐标与图形性质，中点坐标公式，掌握圆内接四边形的性质和含30度的直角三角形三边的关系是解题的关键． 7. 二次函数的图象与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析二次函数的图像的开口方向即对称轴位置，而一次函数的图像恒过定点，即可得出正确选项． 【详解】二次函数的对称轴为，一次函数的图像恒过定点，所以一次函数的图像与二次函数的对称轴的交点为，只有A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质，解决本题的关键是能推出一次函数的图像恒过定点，本题蕴含了数形结合的思想方法等． 8. 如图，点D，E，F分别在的边上，， ，，M是的中点，连结并延长交于点N，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质；先证明结合中点的含义可得，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，记与的交点为， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D 9. 已知x、y满足，且，，若，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数性质，先求出，进而根据题意得到，再根据结合二次函数性质求出范围即可． 【详解】解：， ， 当时，， 解得：， ， ， ， 此函数图象对称轴为直线， 当，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 的取值范围为：， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可． 【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上， ， ， ， ， ， ，即， ， , 图象是开口向上的抛物线， 如图，当时，点在边上，点在边上， ， 则中，边上的高为2， ， 图象是一次函数，且随着的增大而增大， 时，图象是线段， 如图，当时，点在边上，点在边上， ， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 当时，图象是开口向下的抛物线， 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、（本题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．可设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，是的直径，弦于点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．根据题意设半径，利用勾股定理即可计算出本题答案． 【详解】解：设半径，则， ∵， ∴， ∵弦于点，， ∴， 在中应用勾股定理：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：5． 13. 已知关于x的函数的图像与x轴只有一个交点，则m的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，一次函数，熟知二次函数与x轴只有一个交点，则，根据二次函数的图像与x轴只有一个交点可得，求解即可，同时需要分类讨论． 【详解】解：当函数为二次函数时，则， 解得：， ∵二次函数的图像与x轴只有一个交点， ∴， ， 解得：，， ， 当函数为一次函数时，则且 解得：且， ， 故答案为：或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与等边三角形的边，分别交于点M，N，且，点B位于经x轴的正半轴， （1）_______； （2）_______． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解直角三角形的应用，等边三角形的判定和性质，过点M作于点C，过点N作于点D，根据，得出，，求出，得出，求出；设点，则，，根据直角三角形的性质求出． 【详解】解：过点M作于点C，过点N作于点D，如图所示： 则， ∵， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M在反比例函数上， ∴； ∴反比例函数解析式为：， 设点，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；12． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直接根据特殊角的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 16. 如图，在平面直角坐标系中，（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）以点为位似中心，在网格内画出，使与位似，且位似比为； （2）过点A作边上高． 【答案】（1） 解：如图：即为所求， （2） 解：如图：即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了在坐标系中画位似图形，无刻度尺作图，掌握在坐标系中画位似图形和无刻度尺作垂线是解题的关键； （1）利用位似图形的性质得出对应点位置，连线即可； （2）连接A与格点交于D，根据可证明，可得，进而可证，则，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在中，点分别在上，且，交于点，．求： （1）的值； （2）与的面积比． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合，涉及平行线性质、相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据平行线性质得到，再由相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比例求解即可得到答案； （2）根据相似三角形性质代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴由平行线分线段成比例可得； 【小问2详解】 解：由（1）知，且， ∴． 18. 如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交反比例函数的图象于点C． （1）求直线和反比例函数图象的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）6 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由一次函数解析式求得点B的坐标，再根据轴，可得点C的纵坐标为1，再利用反比例函数表达式求得点C坐标，即可求得结果． 【小问1详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴，，即， ∴直线的表达式为，反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵直线的图象与y轴交于点B， ∴当时，， ∴， ∵轴，直线与反比例函数的图象交于点C， ∴点C的纵坐标为1， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点、一次函数与y轴的交点，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 望淮塔位于安徽蚌埠张公山境内，形成于1987年，七层，八角形，建筑面积820平方米，是蚌埠市标志之一．老师带领同学们去测量一座古塔的高度．他们首先从处安置测倾器，测得塔顶的仰角，然后往塔的方向前进44.8米到达处，此时测得仰角，已知测倾器高1.7米，请你根据以上数据计算出古塔的高度．（参考数据：，，，） 【答案】35.3米 【解析】 【分析】本题考查三角函数测高，根据题意，在中，；在中，；代值列式求解即可得到答案，熟记正切函数定义，数形结合列方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知，． ∴． 设， 在中，， 则． 在中，， 则． ∵， ∴，解得． ∴（米）． 答：望淮塔的高度约是35.3米． 20. 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分，，垂足为E （1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O的半径为2，，求线段EF的长． 【答案】（1）直线DE与⊙O相切；（2）. 【解析】 【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明即可； （2）过O作于G，得到，根据直角三角形的性质得到，得到，推出四边形AODF是菱形，得到，，于是得到结论． 【详解】（1）直线DE与⊙O相切， 连结OD． ∵AD平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴DE是⊙O的切线； （2）过O作于G， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形AODF是菱形， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 21. 某科研单位为保障某种型号的无人机安全投产，随机选择一架该种型号的无人机进行测试，测试该无人机在跑道起上着陆后滑行情况，收集相关数据如下表． 滑行时间 0 1 2 3 4 滑行速度 30 28 26 34 22 滑行距离 0 29 56 81 104 已知该无人机在跑道上着陆后的滑行速度（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足一次函数关系，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）之间满足二次函数关系． （1）求出关于的函数解析式和关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）若该无人机在跑道起点处着陆后滑行了，求此时无人机的滑行速度． 【答案】（1）， （2）20 【解析】 【分析】本题考查函数、方程解应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确得到函数解析式及方程求解是解决问题的关键． （1）由待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中求得的关于的函数解析式，令，解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意设， 把，两点的坐标分别代入到中， 得， 解得， ∴关于的函数解析式为； 由题意设， 把，两点的坐标分别代入中， 得， 解得， ∴关于的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴当时，； 当时，（不合题意，舍去）， ∴此时无人飞机的滑行速度为． 22. 如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，为边的中点，将绕点旋转，旋转过程中，边与边相交于点，边与边延长线相交于点. （1）求证：. （2）若，，求的长. 【答案】 （1）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可知，从而可证，进而可证答案； （2）相似三角形的对应边成比例，结合BP=3，CQ=8可得，从而可求答案. 【详解】解：（1）略； （2）， ， ，，， ， ， . 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，能够熟练掌握所学知识是解答本题的关键. 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数，一次函数（，是实数，，）， （1）若，，当时，求函数的最大值； （2）若，当时，始终有，求的取值范围， 【答案】（1）函数有最大值为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式的关系，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）把代入化简，求出对称轴后，根据二次函数的性质即可求解； （2）根据题意，令，求出交点坐标，因为，所以当时，，要使得成立，则需要，解出的取值范围即可． 【小问1详解】 解：，， ， 则对称轴， 时，随着的增大而增大， 当时，函数有最大值为； 【小问2详解】 解：若，，则有， 令，则有，， ， 根据二次函数的图象可知： 当时，， 要使得成立，则需要， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $