第18课时 二次函数与一元二次方程学案2025年九年级中考数学复习

第18课时 二次函数与一元二次方程 班级 姓名 学号 【复习目标】 1.根据二次函数与一元二次方程之间的联系会用图象法求一元二次方程的近似解. 2.利用二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象、位置与a、b、c及b2－4ac的关系解决问题. 【知识梳理】 【基础检测】 1.（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（　　） A． B． C．﹣4 D．4 2.（2024•贵州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是﹣3，顶点坐标为（﹣1，4），则下列说法正确的是（　　） A．二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 3.（2024•甘孜州）二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象如图所示，给出下列结论：①c＜0；②﹣＞0；③当﹣1＜x＜3时，y＜0．其中所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4.（2024•长春）若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是 　 　． 5.已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的根为 　 　；不等式﹣x2+2x+m＞0的解集是 　 　；当x 　 　时，y随x的增大而减小． 6.在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b＞m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论有　 　． 【典型例题】 例1 （2024•西藏）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），则下列结论正确的个数是（　　） ①abc＜0；②3b+2c＞0；③对任意实数m，am2+bm≥a﹣b均成立；④若点（﹣4，y1），（，y2）在抛物线上，则y1＜y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 5 y 0 5 9 5 ﹣27 下列结论：①abc＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝9有两个相等的实数根；③当﹣4＜x＜1时，y的取值范围为0＜y＜5；④若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2；⑤满足ax2+（b+1）x+c＜2的x的取值范围是x＜﹣2或x＞3． 其中正确结论的序号为 　 　． 例3 （2024•德州）已知抛物线y＝x2﹣4mx+2m+1，m为实数． （1）如果该抛物线经过点（4，3），求此抛物线的顶点坐标． （2）如果当2m﹣3≤x≤2m+1时，y的最大值为4，求m的值． （3）点O（0，0），点A（1，0），如果该抛物线与线OA（不含端点）恰有一个交点，求m的取值范围． 例4 （2024•山东）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m． （1）求m的值； （2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围． 【针对训练】 一、基础训练 1.（2023•陕西）如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … ﹣3 0 3 5 … y … 16 ﹣5 ﹣8 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（　　） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值﹣8 C．图象与x轴的一个交点是（﹣1，0） D．图象开口向下 2.（2024•陕西）关于x的二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m＞1）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3.（2024•连云港）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a＜0）的顶点为（1，2）．小烨同学得出以下结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③若ax2+bx+c＝0的一个根为3，则；④抛物线y＝ax2+2是由抛物线y＝ax2+bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的．其中一定正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 4.（2024•宁夏）若二次函数y＝2x2﹣x+m的图象与x轴有交点，则m的取值范围是 　 　． 5.（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．其中，正确结论的序号为 　 　． 6.有一次函数y1＝kx+m和二次函数y2＝ax2+bx+c的大致图象如图，请根据图中信息回答问题（在横线上直接写上答案） （1）不等式ax2+bx+c＜0的解集是　 　；kx+m＞ax2+bx+c的解集是　 　． （2）当x＝　 　时，y1＝y2． （3）要使y2随x的增大而增大，x的取值范围应是　 　． 7.如图，二次函数图象顶点坐标为（﹣1，﹣4），与x轴一个交点坐标为（1，0）． （1）该函数图象与x轴的另一个交点坐标为 　 　； （2）求这个二次函数的表达式； （3）当﹣4＜x＜0时，y的取值范围为 　 　． 8.（2024•呼和浩特）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）． （1）若m＝1，则b＝　　，通过配方可以将其化成顶点式为 　　； （2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由． 二、提升训练 9.（2023•青岛）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与正比例函数y＝kx的图象相交于A，B两点，已知点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①abc＜0；②3b+2c＞0；③关于x的方程ax2+bx+c＝kx的两根为x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正确的是 　 　.（只填写序号） 10.已知函数y＝ax2+（1﹣a）x﹣1（a为常数，且a≠0）． （1）求证：该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当a＜﹣2时，该函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB长度的取值范围； （3）当0≤x≤1时，y≤0．直接写出a的取值范围． 三、拓展训练 11.（2024•湖南）已知二次函数y＝﹣x2+c的图象经过点A（﹣2，5），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图1，此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC，DQ，PQ．若x2＝x1+3，求证：的值为定值； （3）如图2，点P在第二象限，x2＝﹣2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1﹣1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$