第01讲 平面直角坐标系的概念（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

第01讲 平面直角坐标系的概念 课程标准 学习目标 ①平面直角坐标系及点的坐标 ②象限及点的坐标特点 1. 掌握平面直角坐标系的相关概念，能熟练表示出平面直角坐标系中的点的坐标，也能熟练把一个点在平面直角坐标系中表示出来。 2. 掌握象限内、坐标轴以及一些特殊位置上的点的坐标特点，并能根据其特点求值。 知识点01 平面直角坐标系及点的坐标 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内两条相互 且原点 的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为 ；竖直的数轴称为 。 ②坐标原点：两条坐标轴的 是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2. 点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的 ； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的 ； 【即学即练1】 1．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D，E的坐标； （2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3）， 知识点02 象限及坐标特点 1. 象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为 ；逆时针一次得到 、 以及 。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 2. 象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均 0；可以表示为 。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标 0，纵坐标 0；可以表示为 。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标 0，纵坐标 0；可以表示为 。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标 0，纵坐标 0；可以表示为 。 3. 特殊位置的点的坐标特点： （1）坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 ，可表示为 。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 ，可表示为 。 （2）象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 。 （3）平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 相等。 （4）平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 相等。 （5）点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 。 【即学即练1】 2．在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【即学即练2】 3．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【即学即练3】 4．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（　　）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【即学即练4】 5．已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 【即学即练5】 6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）到y轴的距离是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【即学即练6】 7．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 　 　． 【即学即练7】 8．已知点M（3，1），N（a，a+3），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为 　 　． 题型01 确定点的坐标及在坐标系中确定点 【典例1】请同学们画出合适的平面直角坐标系，并在平面坐标系中描出下列各点． A（4，5），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1），D（2.5，﹣2），E（0，﹣4），F（﹣3，0）． 【变式1】如图，在所给的平面直角坐标系中，写出点A、B、C、D、E的坐标． 【变式2】在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C（3，﹣3），D（3，4），并连接AB，BC，CD，AD． 【变式3】在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 题型02 判断点所在的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】若点P（m，n）在第二象限，则点Q（m，﹣n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】若点A（a，b）在第三象限，则点C（﹣a，b﹣5）在第 　 　象限． 题型03 利用坐标轴上的点的特点求值 【典例1】点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣4） 【变式1】若点P（m﹣2，m+3）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣5） B．（5，0） C．（0，5） D．（﹣5，0） 【变式2】点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 　 　． 【变式3】若点M（a﹣1，a+2）在y轴上，则点M的坐标为 　 　． 题型04 利用平行于坐标轴的直线上的点求值 【典例1】下列与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点为（　　） A．（1，﹣5） B．（﹣1，2） C．（4，﹣5） D．（2，5） 【变式1】已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（3，﹣4） C．（3，4）或（3，﹣4） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 【变式2】已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 【变式3】已知平面直角坐标系中有一点P（3，2m+1），且PB平行于x轴，且B（x，﹣3），PB＝4，则m＝　 　，x＝　 　． 题型05 利用点到坐标轴的距离求值 【典例1】在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4） 【变式1】若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，4） D．（﹣4，6） 【变式2】已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（1，1）或（3，﹣3） 【变式3】已知点P（a，4）到x轴的距离小于到y轴的距离，则a的范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a＞4 C．﹣4＜a＜4 D．a＜﹣4或a＞4 题型06 利用象限角平分线上的点的特点求值 【典例1】已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标为（m，n），且有m＝n，则点Q在（　　） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【变式1】点A（m﹣3，2）在第二象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【变式2】点A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上，则A的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2） 【变式3】点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 1．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 2．在平面直角坐标系中，点（2，m）在x轴上，则点（﹣1，m+1）在（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在平面直角坐标系中，点P（a2+2，﹣2）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．点M（1﹣m，1+m）在x轴上，点N（n+2，n﹣2）在y轴上，那么m+n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 6．已知P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣7） B．（﹣2，7） C．（2，7） D．（﹣2，﹣7） 7．坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标（﹣2，4）和（2，﹣4），下列结论正确的是（　　） A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到y轴距离相同 8．若点A（n﹣1，4）在y轴上，则点B（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．下列说法正确地有（　　） （1）点（1，﹣a）一定在第四象限 （2）坐标轴上的点不属于任一象限 （3）若点（a，b）在坐标轴的角平分线上，则a＝b （4）直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知点A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行x轴的直线上，且B点到y轴的距离等于2，则B点的坐标是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，2） 11．点A（a﹣4，2a+2）在y轴上，则a的值是　 　． 12．若点A（n﹣2，3）在y轴上，则点B（n﹣3，n+1）在第 　 　象限． 13．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限且到x轴的距离为2，则点P的坐标为 　 　． 14．已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则m+n的值为 　 　． 15．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　 　． 16．在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 17．在平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）． （1）若点M在x轴上，求m的值； （2）若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点的坐标． 48．在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 19．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”． 因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，得m＝6，n＝4， 所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12， 所以2m＝8+n． 所以A（5，3）是“开心点”． （1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由； （2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　 　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面直角坐标系的概念 课程标准 学习目标 ①平面直角坐标系及点的坐标 ②象限及点的坐标特点 1. 掌握平面直角坐标系的相关概念，能熟练表示出平面直角坐标系中的点的坐标，也能熟练把一个点在平面直角坐标系中表示出来。 2. 掌握象限内、坐标轴以及一些特殊位置上的点的坐标特点，并能根据其特点求值。 知识点01 平面直角坐标系及点的坐标 1. 平面直角坐标系的概念： 如图：平面内两条相互 垂直 且原点 重合 的数轴组成平面直角坐标系。 ①坐标轴：水平的数轴称为 横轴（x轴） ；竖直的数轴称为 纵轴（y轴） 。 ②坐标原点：两条坐标轴的 交点 是平面直角坐标系的原点。 ③坐标平面：坐标轴所在的平面为坐标平面。 2. 点的坐标： 横坐标：过平面内一点做x轴的垂线，垂足在x轴上对应的数为这个点的 横坐标 ； 纵坐标：过平面内一点做y轴的垂线，垂足在y轴上对应的数为这个点的 纵坐标 ； 【即学即练1】 1．如图，在平面直角坐标系中， （1）写出点A，B，C，D，E的坐标； （2）描出点P（﹣2，﹣1），Q（3，﹣2），S（2，5），T（﹣4，3）， 【分析】（1）直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可； （2）根据平面直角坐标系中点的位置的确定方法找出各点的位置，然后解答即可． 【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣5，2），C（﹣4，﹣3），D（4，﹣3），E（5，0）； （2）如图所示： 知识点02 象限及坐标特点 1. 象限： 如图，坐标轴把坐标平面分成了四个部分，每一个部分称为象限，从右上角为 第一象限 ；逆时针一次得到 第二象限 、 第三象限 以及 第四象限 。 特别地，坐标轴不属于任何一个象限。 2. 象限内的点的坐标特点： 第一象限内的所有点的坐标，横坐标纵坐标均 大于 0；可以表示为 （+，+） 。 第二象限内的所有点的坐标，横坐标 小于 0，纵坐标, 大于 0；可以表示为 （－，+） 。 第三象限内的所有点的坐标，横坐标 小于 0，纵坐标, 小于 0；可以表示为 （－，－） 。 第四象限内的所有点的坐标，横坐标 大于 0，纵坐标, 小于 0；可以表示为 （+，－） 。 3. 特殊位置的点的坐标特点： （1）坐标轴上的点的坐标特点： ①x轴上的所有点的纵坐标等于 0 ，可表示为 （x，0） 。 ②y轴上的所有点的横坐标等于 0 ，可表示为 （0，y） 。 （2）象限角平分线上的点的坐标特点： ①一、三象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 相等 。 ②二、四象限的角平分线上的点的横坐标与纵坐标 互为相反数 。 （3）平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与x轴（垂直于y轴）的直线上的所有点的坐标 纵坐标 相等。 （4）平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的点的坐标特点： 平行与y轴（垂直于x轴）的直线上的所有点的坐标 横坐标 相等。 （5）点到坐标轴的距离： 点到横坐标轴的距离等于该点的 纵坐标的绝对值 。 点到纵坐标轴的距离等于该点的 横坐标的绝对值 。 【即学即练1】 2．在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点（4，﹣4）所在的象限是第四象限， 故选：D． 【即学即练2】 3．若点P（x，y）在第二象限，且|x|＝2，|y|＝3，则x+y＝（　　） A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5 【分析】根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得x、y的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：由P（x、y）在第二象限且|x|＝2，|y|＝3，得 x＝﹣2，y＝3． x+y＝﹣2+3＝1， 故选：B． 【即学即练3】 4．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（　　）象限． A．四 B．三 C．二 D．一 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列不等式求出a、b的取值范围，然后求解即可． 【解答】解：∵点A（a+1，b﹣2）在第二象限， ∴a+1＜0，b﹣2＞0， ∴a＜﹣1，b＞2， ∴﹣a＞1，b+1＞3， ∴点B（﹣a，b+1）在第一象限． 故选：D． 【即学即练4】 5．已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（　　） A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4） 【分析】直接利用关于x轴上点的坐标特点得出m的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上， ∴2m﹣4＝0， 解得：m＝2， ∴m+2＝4， 则点P的坐标是：（4，0）． 故选：A． 【即学即练5】 6．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）到y轴的距离是（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】解：点P（﹣1，2）到y轴的距离是1． 故选：B． 【即学即练6】 7．已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为 　1　． 【分析】根据一、三象限的角平分线上点的坐标特点列出关于a的方程，解之即可． 【解答】解：由题意知a＝2a﹣1， 解得a＝1， 故答案为：1． 【即学即练7】 8．已知点M（3，1），N（a，a+3），若直线MN与y轴平行，则线段MN的长为 　5　． 【分析】根据点坐标的特征求得a＝3，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，直线MN与y轴平行， ∴a＝3， 则a+3＝6， N（3，6）， 又∵点M（3，1）， ∴线段MN的长为6﹣1＝5， 故答案为：5． 题型01 确定点的坐标及在坐标系中确定点 【典例1】请同学们画出合适的平面直角坐标系，并在平面坐标系中描出下列各点． A（4，5），B（﹣2，3），C（﹣4，﹣1），D（2.5，﹣2），E（0，﹣4），F（﹣3，0）． 【分析】根据平面直角坐标系的定义以及点的坐标解答即可． 【解答】解：如图所示： 【变式1】如图，在所给的平面直角坐标系中，写出点A、B、C、D、E的坐标． 【分析】直接利用平面直角坐标系得出各点坐标即可． 【解答】解：A（﹣3，2），B（﹣2，﹣1），C（1，﹣3），D（3，0），E（2，3）． 【变式2】在给出的平面直角坐标系中描出点A（﹣3，4），B（﹣3，﹣3），C（3，﹣3），D（3，4），并连接AB，BC，CD，AD． 【分析】根据点的坐标直接描出四个顶点，再顺次连接即可． 【解答】解：如图，描出点A（﹣3，4）、B（﹣3，﹣3）、C（3，﹣3）、D（3，4）， 【变式3】在下面的平面直角坐标系中，完成下列各题： （1）写出图中A，B，C，D各点的坐标． （2）描出点E（1，0），F（﹣1，3），G（﹣3，0），H（﹣1，﹣3）． （3）顺次连接A，B，C，D各点，围成的封闭图形是什么图形？ 【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； （2）利用平面直角坐标系找出各点的位置即可； （3）连接后根据特殊四边形判断． 【解答】解：（1）由题意得A（2，3），B（2，﹣3），C（﹣4，﹣3），D（﹣4，3）； （2）如图所示； （3）四边形ABCD是正方形． 题型02 判断点所在的象限 【典例1】在平面直角坐标系中，点（﹣3，4）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答． 【解答】解：点（﹣3，4）在第二象限． 故选：B． 【变式1】若点P（m，n）在第二象限，则点Q（m，﹣n）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】先根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数判断出m、n的正负情况，再根据各象限内点的坐标特征求解． 【解答】解：∵点P（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴﹣n＜0， ∴点Q（m，﹣n）在第三象限． 故选：C． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点A（a，b）在第二象限，则点B（ab，﹣b）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据题意可得a＜0，b＞0，从而可得ab＜0，﹣b＜0，然后根据平面直角坐标系中每一象限点的坐标特征，即可解答． 【解答】解：∵点A（a，b）在第二象限， ∴a＜0，b＞0， ∴ab＜0，﹣b＜0， ∴点B（ab，﹣b）所在的象限是第三象限， 故选：C． 【变式3】若点A（a，b）在第三象限，则点C（﹣a，b﹣5）在第 　四　象限． 【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数确定出a、b的正负情况，然后进行判断即可． 【解答】解：∵点A（a，b）在第三象限， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣a＞0，b﹣5＜0， ∴点C（﹣a，b﹣5）在第四象限． 故答案为：四． 题型03 利用坐标轴上的点的特点求值 【典例1】点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（0，2） D．（0，﹣4） 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可． 【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， 所以，m+3＝﹣1+3＝2， 所以，点P的坐标为（2，0）． 故选：B． 【变式1】若点P（m﹣2，m+3）在y轴上，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣5） B．（5，0） C．（0，5） D．（﹣5，0） 【分析】根据y轴上点的横坐标等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 m﹣2＝0，解得m＝2， m+3＝5， 故选：C． 【变式2】点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上，则P点坐标为 　（2，0）　． 【分析】根据x轴上点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵点P（m+3，m+1）在直角坐标系的x轴上， ∴这点的纵坐标是0， ∴m+1＝0，解得，m＝﹣1， ∴横坐标m+3＝2，则点P的坐标是（2，0）． 【变式3】若点M（a﹣1，a+2）在y轴上，则点M的坐标为 　（0，3）　． 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点M（a﹣1，a+2）在y轴上， ∴a﹣1＝0， 解得：a＝1， 则a+2＝3， 则点M的坐标为：（0，3）． 故答案为：（0，3）． 题型04 利用平行于坐标轴的直线上的点求值 【典例1】下列与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点为（　　） A．（1，﹣5） B．（﹣1，2） C．（4，﹣5） D．（2，5） 【分析】与y轴平行的直线上的每一个点到y轴的距离都相等，即每点的横坐标都相同． 【解答】解：与（﹣1，5）相连所得的直线与y轴平行的点横坐标，一定与（﹣1，5）的横坐标相同，各选项中只有B（﹣1，2）符合，故选B． 【变式1】已知点M（3，﹣2）与点N在同一条平行于x轴的直线上，且点N到y轴的距离是4，则点N的坐标为（　　） A．（4，﹣2） B．（3，﹣4） C．（3，4）或（3，﹣4） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可． 【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上， ∴b＝﹣2， ∵N到y轴的距离等于4， ∴a＝±4， ∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）． 故选：D． 【变式2】已知点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上，且N到y轴的距离等于4，则点N的坐标是（　　） A．（4，2）或（﹣4，2） B．（4，﹣2）或（﹣1，﹣2） C．（4，﹣2）或（﹣5，﹣2） D．（4，﹣2）或（﹣4，﹣2） 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出b，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值求出a，然后写出点N的坐标即可． 【解答】解：∵点M（3，﹣2）与点N（a，b）在同一条平行于x轴的直线上， ∴b＝﹣2， ∵N到y轴的距离等于4， ∴a＝±4， ∴点N的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）． 故选：D． 【变式3】已知平面直角坐标系中有一点P（3，2m+1），且PB平行于x轴，且B（x，﹣3），PB＝4，则m＝　﹣2　，x＝　﹣1或7　． 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，求出m的值，再利用PB＝4求出x的值即可． 【解答】解：∵PB平行于x轴，P（3，2m+1），B（x，﹣3）， ∴2m+1＝﹣3， ∴m＝﹣2； 又∵PB＝4， ∴|x﹣3|＝4， ∴x＝﹣1或x＝7． 故答案为：﹣2，﹣1或7． 题型05 利用点到坐标轴的距离求值 【典例1】在平面直角坐标系内有一点P，若点P位于第四象限，并且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标是（　　） A．（﹣3，4） B．（4，﹣3） C．（﹣4，﹣3） D．（3，﹣4） 【分析】根据点的坐标的几何意义及点在第四象限内的坐标符号的特点解答即可． 【解答】解：∵点P在第四象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4， ∴点P的横坐标是4，纵坐标是﹣3，即点P的坐标为（4，﹣3）． 故选：B． 【变式1】若点M在第三象限，点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6，则点M坐标是（　　） A．（﹣6，﹣4） B．（﹣4，﹣6） C．（﹣6，4） D．（﹣4，6） 【分析】根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【解答】解：∵点M在第三象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为6， ∴点M的横坐标为﹣6，纵坐标为﹣4， ∴点M的坐标为（﹣6，﹣4）． 故选：A． 【变式2】已知点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是（　　） A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（3，﹣3） D．（1，1）或（3，﹣3） 【分析】点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此解题． 【解答】解：∵点P的坐标为（2﹣a，2a﹣1），且点P到两坐标轴的距离相等， ∴|2a﹣1|＝|2﹣a|， 即2a﹣1＝2﹣a或2a﹣1＝﹣（2﹣a）， 解得：a＝1或a＝﹣1， ∴点P的坐标是（1，1）或（3，﹣3）． 故选：D． 【变式3】已知点P（a，4）到x轴的距离小于到y轴的距离，则a的范围是（　　） A．a＜﹣4 B．a＞4 C．﹣4＜a＜4 D．a＜﹣4或a＞4 【分析】根据点的坐标的意义结合已知条件得出|a|＞4，即可求出a的范围． 【解答】解：∵点P（a，4）到x轴的距离小于到y轴的距离， ∴|4|＜|a|， ∴|a|＞4， ∴a＞4或a＜﹣4， 故选：D． 题型06 利用象限角平分线上的点的特点求值 【典例1】已知在平面直角坐标系中，点Q的坐标为（m，n），且有m＝n，则点Q在（　　） A．第一、三象限角平分线上 B．第二、四象限角平分线上 C．坐标轴上 D．坐标原点 【分析】根据题意可得点Q的横坐标和纵坐标同号，且点Q到x轴和y轴的距离相等，进而可得答案． 【解答】解：∵点Q的坐标为（m，n），且m＝n， ∴点Q到x轴和y轴的距离相等，点Q的横坐标和纵坐标同号， ∴点Q在第一、三象限角平分线上， 故选：A． 【变式1】点A（m﹣3，2）在第二象限的角平分线上，则m的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1 【分析】根据第二象限的角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值即可． 【解答】解：由条件可知：m﹣3+2＝0， 解得：m＝1， 故选：C． 【变式2】点A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上，则A的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣2，2） D．（2，2） 【分析】根据第一、三象限角平分线上的点横坐标与纵坐标相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据m的值，可得点A的坐标． 【解答】解：由A（m﹣3，﹣m+1）在第一、三象限的角平分线上， 得m﹣3＝﹣m+1， 解得m＝2， m﹣3＝﹣1，﹣m+1＝﹣1， A的坐标为（﹣1，﹣1）． 故选：A． 【变式3】点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限角平分线上，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣2） B．（﹣2，﹣2） C．（3，﹣3） D．（﹣3，﹣3） 【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于m的方程，解出m的值，即可求得P点的坐标． 【解答】解：∵点P（m+1，2m﹣7）在第二、四象限的角平分线上， ∴m+1+2m﹣7＝0， 解得：m＝2， ∴P（3，﹣3）． 故选：C． 1．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【分析】设点P的坐标为（x，y），根据题意列出方程式，进而得出答案． 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， |x|＝2，|y|＝4， 解得：x＝±2，y＝±4， ∵点P在第二象限， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）， 故选：D． 2．在平面直角坐标系中，点（2，m）在x轴上，则点（﹣1，m+1）在（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0得出m的值，即可计算m+1，从而写出点（﹣1，m+1）的坐标，再判断即可． 【解答】解：∵点（2，m）在x轴上， ∴m＝0， ∴m+1＝1， ∴点（﹣1，m+1）为（﹣1，1），在第二象限， 故选：B． 3．如果点A（3，m+2）在x轴上，那么点B（m+1，m﹣3）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0列式求出m的值，然后计算即可得解． 【解答】解：∵A（3，m+2）在x轴上， ∴m+2＝0， 解得m＝﹣2， ∴m+1＝﹣1，m﹣3＝﹣5， ∴B（m+1，m﹣3）所在的象限是第三象限． 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点P（a2+2，﹣2）一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】解：∵a2+2＞0，﹣2＜0， ∴点P在第四象限． 故选：D． 5．点M（1﹣m，1+m）在x轴上，点N（n+2，n﹣2）在y轴上，那么m+n的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 【分析】根据x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0列方程求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【解答】解：∵点M（1﹣m，1+m）在x轴上， ∴1+m＝0， ∴m＝﹣1， ∵点N（n+2，n﹣2）在y轴上， ∴n+2＝0， ∴n＝﹣2， ∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3， 故选：A． 6．已知P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7，则点P的坐标是（　　） A．（2，﹣7） B．（﹣2，7） C．（2，7） D．（﹣2，﹣7） 【分析】四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数分别求出x、y的值，然后写出点P的坐标即可． 【解答】解：∵P（x，y）在第二象限，且x2＝4，|y|＝7， ∴x＝﹣2，y＝7， ∴点P的坐标为（﹣2，7）． 故选：B． 7．坐标思想是法国数学家笛卡尔创立的，在平面直角坐标系中，关于点坐标（﹣2，4）和（2，﹣4），下列结论正确的是（　　） A．横坐标相同 B．纵坐标相同 C．所在象限相同 D．到y轴距离相同 【分析】根据点的坐标的意义判断即可． 【解答】解：A、点（﹣2，4）和（2，﹣4）的横坐标不同，故此选项不符合题意； B、点（﹣2，4）和（2，﹣4）的纵坐标不同，故此选项不符合题意； C、点（﹣2，4）在第二象限，点（2，﹣4）在第四象限，所在象限不同，故此选项不符合题意； D、点（﹣2，4）和（2，﹣4）到y轴的距离相等，故此选项符合题意； 故选：D． 8．若点A（n﹣1，4）在y轴上，则点B（n+1，n﹣3）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据点A的位置在y轴上，可求得n的值，从而可确定点B的坐标及点B所在的象限． 【解答】解：∵点A在y轴上， ∴n﹣1＝0， 解得：n＝1， 当n＝1时，n+1＝2，n﹣3＝1﹣3＝﹣2， ∴点B的坐标为（2，﹣2）， ∴点B在第四象限， 故选：D． 9．下列说法正确地有（　　） （1）点（1，﹣a）一定在第四象限 （2）坐标轴上的点不属于任一象限 （3）若点（a，b）在坐标轴的角平分线上，则a＝b （4）直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据各象限内点的坐标特征以及坐标轴上点到坐标特征对各小题分析判断即可得解． 【解答】解：（1）点（1，﹣a）一定在第四象限，错误，﹣a不一定是负数； （2）坐标轴上的点不属于任一象限，正确； （3）若点（a，b）在坐标轴的角平分线上，则a＝b，错误，应该是a＝b或a＝﹣b； （4）直角坐标系中，在y轴上且到原点的距离为5的点的坐标是（0，5），错误，点的坐标为（0，5）或（0，﹣5）； 综上所述，说法正确的是（2）共1个． 故选：A． 10．已知点A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行x轴的直线上，且B点到y轴的距离等于2，则B点的坐标是（　　） A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（﹣2，2）或（﹣2，﹣2） D．（﹣2，2）或（2，2） 【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出y的值，根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值列方程求出x的值，然后写出点B的坐标即可． 【解答】解：∵点A（﹣3，2）与点B（x，y）在同一条平行x轴的直线上， ∴y＝2， ∵B点到y轴的距离等于2， ∴|x|＝2， 解得x＝±2， ∴B点的坐标是（﹣2，2）或（2，2）． 故选：D． 11．点A（a﹣4，2a+2）在y轴上，则a的值是　4　． 【分析】根据题意可得a﹣4＝0，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（a﹣4，2a+2）在y轴上， ∴a﹣4＝0， ∴a＝4． 故答案为：4． 12．若点A（n﹣2，3）在y轴上，则点B（n﹣3，n+1）在第 　二　象限． 【分析】根据y轴上的点的横坐标为0得出n﹣2＝0，即可求出n的值，于是求出点B的坐标，从而判断其所在的象限． 【解答】解：∵点A（n﹣2，3）在y轴上， ∴n﹣2＝0， ∴n＝2， ∴n﹣3＝﹣1，n+1＝3， ∴点B的坐标为（﹣1，3）， ∴点B在第二象限， 故答案为：二． 13．已知点P（a+5，a﹣1）在第四象限且到x轴的距离为2，则点P的坐标为 　（4，﹣2）　． 【分析】根据第四象限的点的纵坐标是负数，结合已知中点到x轴的距离列方程求出a的值；接下来将a的值代入点P的坐标中，计算即可得解． 【解答】解：∵点P（a+5，a﹣1）是第四象限的点，且到x轴的距离为2， ∴a﹣1＝﹣2， 解得a＝﹣1， ∴a+5＝﹣1+5＝4， ∴点P的坐标为（4，﹣2）． 故答案为：（4，﹣2）． 14．已知在平面直角坐标系中，点A（m，n）在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，则m+n的值为 　0　． 【分析】根据点A（m，n）在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等，可得出m＝﹣n，即可求解． 【解答】解：∵点A（m，n）在第二象限，且点A到x轴和y轴的距离相等， ∴m＜0，n＞0，|m|＝|n|， ∴m＝﹣n， ∴m+n＝0． 故答案为：0． 15．如图，一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，再向正北走6m到达A2点，再向正西走9m到达A3点，再向正南走12m，到达A4点，再向正东方向走15m到达A5点，按如此规律走下去，当机器人走到A6点时，A6点的坐标是 　（9，12）　． 【分析】由于一个机器人从O点出发，向正东方向走3m，到达A1点，那么A1点坐标为（3，0），再向正北走6m到达A2点，那么A2点坐标为（3，6），再向正西走9m到达A3点，那么A3点坐标为（﹣6，6），然后依此类推即可求出A6点的坐标． 【解答】解：依题意得A1点坐标为（3，0）， A2点坐标为（3，0+6）即（3，6）， A3点坐标为（3﹣9，6）即（﹣6，6）， A4点坐标为（﹣6，6﹣12）即（﹣6，﹣6）， A5点坐标为（﹣6+15，﹣6）即（9，﹣6）， ∴A6点坐标为（9，12）． 16．在平面坐标系中描出下列各点且标该点字母： （1）点A（﹣3，﹣2），B（﹣2，﹣1），C（﹣1，0），D（1，2）； （2）点E在x轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位长度； （3）点F在x轴下方，y轴左侧，距离每条坐标轴都是3个单位长度． 【分析】（1）根据点的坐标的定义解答即可； （2）根据x轴上的点的坐标特点解答即可； （3）根据题意可得点F位于第三象限，在根据点的意义解答即可． 【解答】解：（1）如图所示： （2）如图所示； （3）如图所示． 17．在平面直角坐标系中，已知点M（m+2，m﹣5）． （1）若点M在x轴上，求m的值； （2）若点M在第二、第四象限的角平分线上，求点的坐标． 【分析】（1）根据点M在x轴上得出关于m的方程，求出m的值即可； （2）根据点M在第二、第四象限的角平分线上得出关于m的方程，求出m的值即可． 【解答】解：（1）∵点M在x轴上， ∴m﹣5＝0， 解得m＝5， 即m的值为5； （2）∵点M在第二、第四象限的角平分线上， ∴m+2＝﹣（m﹣5）， 解得， ∴， ∴点M的坐标为． 48．在平面直角坐标系中，有一点P（2x﹣1，3x）． （1）若点P在y轴上，求x的值； （2）若点P在第一象限，且到两坐标轴的距离之和为9，求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，计算即可； （2）坐标系中点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值结合第一象限内的点横纵坐标都为正得到3x+2x﹣1＝9，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点P（2x﹣1，3x）在y轴上， ∴2x﹣1＝0， ∴x； （2）∵P（2x﹣1，3x）在第一象限， ∴点P到x轴的距离为3x，到y轴的距离为2x﹣1， ∵点P到两坐标轴的距离之和为9， ∴3x+2x﹣1＝9， ∴x＝2， ∴2x﹣1＝3，3x＝6， ∴点P的坐标为（3，6）． 19．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“开心点”．例如点A（5，3）为“开心点”． 因为当A（5，3）时，m﹣1＝5，3，得m＝6，n＝4， 所以2m＝2×6＝12，8+n＝8+4＝12， 所以2m＝8+n． 所以A（5，3）是“开心点”． （1）判断点B（4，10）是否为“开心点”，并说明理由； （2）若点M（a，2a﹣1）是“开心点”，请判断点M在第几象限？并说明理由． 【分析】（1）根据B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可； （2）直接利用“开心点”的定义得出a的值进而得出答案． 【解答】解：（1）（4，10）不是“开心点”，理由如下， 当B（4，10）时，m﹣1＝4，， 解得m＝5，n＝18， 则2m＝10，8+18＝26， 所以2m≠8+n， 所以点B（4，10）不是“开心点”； （2）点M在第三象限， 理由如下： ∵点M（a，2a﹣1）是“开心点”， ∴m﹣1＝a，， ∴m＝a+1，n＝4a﹣4， 代入2m＝8+n有2a+2＝8+4a﹣4， ∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3， ∴M（﹣1，﹣3）， 故点M在第三象限． 20．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“角平分线点”． （1）点A（﹣3，5）的“长距”为 　5　； （2）若点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”，求a的值； （3）若点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为（9﹣2b，﹣5），请判断点D是否为“角平分线点”，并说明理由． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“角平分线点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“角平分线点”的定义求解即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣3，5）到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， ∴点A的“长距”为5． 故答案为：5； （2）∵点B（4﹣2a，﹣2）是“角平分线点”， ∴|4﹣2a|＝|﹣2|， ∴4﹣2a＝2或4﹣2a＝﹣2， 解得a＝1或a＝3； （3）∵点C（﹣2，3b﹣2）的长距为4，且点C在第二象限内， ∴3b﹣2＝4，解得b＝2， ∴9﹣2b＝5， ∴点D的坐标为（5，﹣5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点D是“角平分线点”． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$