第06讲 平行四边形的判定-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第06讲 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 平行四边形的判定 1、经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法; 2、会利用平行四边形的定义、判定定理(1)(2),判定一个四边形是不是平行四边形。 知识点01 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定平行四边形的方法: (1)两组对边分别 的四边形是平行四边形. (2) 一组对边平行且 的四边形是平行四边形. 【即学即练1】 如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 知识点02 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定平行四边形的方法:两组对边分别 的四边形是平行四边形. 【即学即练1】 如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 知识点03 掌握用对角线判定平行四边形的方法 对角线互相 的四边形是平行四边形。 【即学即练1】 如图，四边形中，，，，E是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．求证：四边形是平行四边形． 题型01 添一个条件成为平行四边形 【典例1】如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 【变式1】如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【变式3】如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 题型02 证明四边形是平行四边形 【典例1】如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【变式1】下面是小东设计的“作平行四边形，使”的作图过程． 作法：如图，①画； ②在的两边上分别截取； ③以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； ④连接． 则四边形为所求的平行四边形． 根据小东设计的作图过程．    (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形为所求的平行四边形．（ ）（填推理的依据）． 【变式2】已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【变式3】已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 题型03 全等三角形拼平行四边形问题 【典例1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【变式2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 题型04 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例1】如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】如图，线段与线段交于点O，且，，，连接，．若的最小值是，则线段的长是 ． 【变式3】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 题型05 利用平行四边形性质和判定证明 【典例1】．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 【变式1】如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 【变式2】四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【变式3】综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 题型06 平行四边形性质和判定的应用 【典例1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【变式1】如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【变式2】【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【变式3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 一、单选题 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，交于点，过点的直线交于点，交于点，则图中的全等三角形共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 3．如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 4．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 5．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 8．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 12．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 13．如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 14．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 15．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 16．如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则 ；若，则的面积为 ． 三、解答题 17．如图，四边形是平行四边形，、分别是、上一点，且．求证：四边形是平行四边形． 18．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 19．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 20．如图，，，其中，以点为中心，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． (1)尺规作图：求作线段； (2)探究与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 21．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 22．如图，D是内部的一点，连接，，把绕点B逆时针旋转得到线段，把绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，，，． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 23．在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 平行四边形的判定 课程标准 学习目标 平行四边形的判定 1、经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法; 2、会利用平行四边形的定义、判定定理(1)(2),判定一个四边形是不是平行四边形。 知识点01 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 判定平行四边形的方法: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形. (2) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 【即学即练1】 如图，． (1)求证： (2)连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定， （1）根据题意可得和即可判定即可； （2）由（1），则即可证明平行四边形． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， 即， 在和中， ． ． （2）证明：如图， ∵， ， 四边形是平行四边形． 知识点02 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定平行四边形的方法:两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【即学即练1】 如图，以的各边向同侧作正三角形，即等边、、，连接，．求证:四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．熟练掌握这些判定与性质是解题的关键．先利用等边三角形性质及手拉手全等模型分别证和，即判断四边形为平行四边形． 【详解】证明：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在与中，， ， ， 是等边三角形， ， ， 同理可证， ， 四边形是平行四边形． 知识点03 掌握用对角线判定平行四边形的方法 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 【即学即练1】 如图，四边形中，，，，E是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，由得出，由平行线的性质可得出，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，进一步即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是边的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． 题型01 添一个条件成为平行四边形 【典例1】如图所示，将绕边的中点O旋转．小颖发现旋转后的与构成了平行四边形，她的推理思路如下：为保证小颖的推理更严谨，小明想在方框中“由，” 和“得四边形……”之间作补充．应补充的是（  ） 点A、C分别转到点C、A处， 而点D转到点B处．由， 得四边形是平行四边形． A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和旋转的性质，牢记旋转前、后的图形全等．根据平行四边形的判定方法“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”即可作答． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， ∴四边形是平行四边形； 故应补充“”， 故选：D． 【变式1】如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平行四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图，在四边形中，，请添加一个条件： ，使四边形成为平行四边形． 【答案】（或）（（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加条件为：， 理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 添加条件为：， 理由：；两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 故答案为：（或）（答案不唯一）． 【变式3】如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 题型02 证明四边形是平行四边形 【典例1】如图，，且，是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行证明，即可作答． 【详解】证明：∵是的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式1】下面是小东设计的“作平行四边形，使”的作图过程． 作法：如图，①画； ②在的两边上分别截取； ③以点A为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D； ④连接． 则四边形为所求的平行四边形． 根据小东设计的作图过程．    (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明． 证明：∵ ， ， ∴四边形为所求的平行四边形．（ ）（填推理的依据）． 【答案】(1)见解析 (2)，两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是正确作出图形． （1）根据要求作出图形； （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判断即可． 【详解】（1）解：图形如图所示：    （2）证明：∵， ∴四边形为所求的平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）． 故答案为：，两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【变式2】已知：如图，点在同一条直线上，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是利用证明与全等解答． （1）根据等式的性质得出，进而利用证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用证明三角形全等得出，从而可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：∵点A，D，C，B在同一条直线上，， ∴ ， 即， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【变式3】已知（如图），在四边形中，过A作交于点E，过C作交于F，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 由垂直得到，然后可证明，得到，然后证明，再根据平行四边形的判定判断即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 题型03 全等三角形拼平行四边形问题 【典例1】如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 【变式1】用两块相同的三角板能拼出多少个形状不同的平行四边形（    ） A．3个 B．4个 C．3或4个 D．2或3个 【答案】D 【分析】根据三角板不同形状分类讨论，分别以三组对应边为对角线拼成平行四边形，判断平行四边形数量． 【详解】解：三边互不相等三角板，如图，分别以三组对应边为对角线，可以拼成三个形状不同的平行四边形；    两直角边相等的三角板，如图中，平行四边形，形状一样，故分别以三组对应边为对角线，可以拼成两个不同形状的平行四边形；    故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，平行四边形的判定，注意根据三角板的不同形状分情况讨论是解题的关键． 【变式2】将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形，可以拼得不同形状的平行四边形的个数是 个． 【答案】3 【分析】利用两全等三角形拼接，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：如图所示， 将两个边长分别为2、3、4的全等三角形拼成四边形， 可以拼得不同形状的平行四边形的有：，，，共3个． 故答案为：3．    【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键 题型04 利用平行四边形的判定与性质求解 【典例1】如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 【变式2】如图，线段与线段交于点O，且，，，连接，．若的最小值是，则线段的长是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．过点A作，且，连接，过点B作于点F，连接，则四边形是平行四边形，进而得，，，，是等腰直角三角形，设，则，根据“两点之间线段最短”得当点B，D，E在同一条直线上时，为最小，最小值为，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作，且，连接，过点B作于点F，连接，如图所示： ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，是等腰直角三角形， 设， ∴， 根据“两点之间线段最短”得：当点B，D，E在同一条直线上时，为最小，最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 【变式3】如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，过点C作，垂足为G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识．由平行四边形的性质结合等腰三角形的判定，可得，再由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∵的平分线与的延长线交于点E，与交于点F， ∴， ∴ ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型05 利用平行四边形性质和判定证明 【典例1】．如图，是等边三角形，是边上的高．点E在的延长线上，连接，，过A作与的延长线交于点F，连接，，． (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，请直接写出四边形的周长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质可得，由三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由（1）可得，为等边三角形，，从而得出，，进而可得，利用平行四边形的判定即可得证； （3）结合勾股定理求出、的长即可得解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是边上的高， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可得：，为等边三角形，， ∴，， ∴，又， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵， ∴,， ∵为等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形外角性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式1】如图1，，P为的中点，点E为射线上的任意一点（不与点A重合），连接，并使的延长线交射线于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接、，是否有，如不是，请说明理由，如果是，请证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等等知识，熟练掌握相关判定与性质为解题关键． （1）根据两直线平行内错角相等，对顶角相等，利用即可证明； （2）利用全等三角形性质可以证明四边形为平行四边形，从而可以证明． 【详解】（1）证明：， ， P为的中点， ， 又， ； （2）解：有； 证明如下： ， ， 四边形为平行四边形， ． 【变式2】四边形中，，，且，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)44 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）证，得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）先求得，再利用平行四边形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ，， ， 平行四边形的面积． 故答案为：44． 【变式3】综合与实践 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则，请思考并证明． 【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）四边形为平行四边形，理由见解析 【分析】本题是四边形的综合题，考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定、旋转的性质及等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证明，得到； （2）证明，得出四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转得到， ，， ， ，， ， ； （2）解：四边形为平行四边形，理由如下， ，， ， 绕点逆时针旋转得到， ，，， ，则， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 则四边形为平行四边形； 题型06 平行四边形性质和判定的应用 【典例1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【变式1】如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 【变式2】【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点分别为上的动点（不含端点），且． 【初步尝试】（1）如图①，当为等边三角形时，甲同学发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，则．你认为甲同学的想法正确吗？请说明理由； 【类比探究】（2）乙同学尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图②，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，试猜想四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】（3）陈老师提出新的探究方向：如图③，在中，，，连接，请直接写出的最小值． 【答案】[初步尝试]（1）正确，理由见解析； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由见解析； [拓展延伸]（3） 【分析】[初步尝试]（1）根据等边三角形的性质，旋转的性质可证，即可求解； [类比探究]（2）根据旋转的性质可得，得到，由（1）的证明方法得到，则，根据垂直的定义可得，得到，根据平行四边形的判定即可求解； [拓展延伸]（3）如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可得四边形是平行四边形，可证，得到，则，当点三点共线时，，此时的值最小，根据题意可得，由勾股定理可得，则，在中，由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：[初步尝试]（1）正确，理由如下， ∵是等边三角形， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； [类比探究]（2）四边形为平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； [拓展延伸]（3）∵， ∴，， 如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，      ， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 当点三点共线时，，此时的值最小， 如图所示，过点作延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理与最短路径的计算，掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 【变式3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“图形的变换”为主题开展数学活动． 如图，在平行四边形中，是对角线，，点是边上一点，连接，将绕着点顺时针旋转得到线段． (1)如图1，若，连接，求证； (2)如图2，若，连接交于，求证：； (3)若在（2）的条件下，，点为边上一动点，连接，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，当线段取得最小值时，求出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）在上截取，连接，先证可得，再证可得，然后再线段的和差和等量代换即可解答； （3）先求得,,再连接,则，当，即有最小值，再根据勾股定理求得，最后根据平行四边形的面积公式即可解答． 【详解】（1）解： ， ， 在和， ， ， ， （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ∴， ∵ ． （3）解：如图：∵， ∴，, 连接， 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴， ∵将线段绕着点E顺时针旋转得到线段， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，点的轨迹为过点H且平行的直线， 过H作，其延长线角于M，过C作于Q， 由点到直线的距离，垂线段最短，可知：当时，即有最小值 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了平行四边性的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键． 一、单选题 1．如图，在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴当时，四边形是平行四边形，A正确，符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，B不正确，不符合题意； 当，无法判定四边形是平行四边形，C不正确，不符合题意； 当，可得，无法判定四边形是平行四边形，D不正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图，交于点，过点的直线交于点，交于点，则图中的全等三角形共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形判定以及平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质找出全等三角形即可． 【详解】 四边形是平行四边形 ，，，， 全等三角形有：；；；；；，共6对， 故选：B． 3．如图，要在一条河上架一座桥（河的两岸互相平行，桥与河岸垂直），在如下四种方案中，使得，两地的路程最短的是（   ）       A．与河岸垂直 B．，，共线 C． D．与河岸垂直 【答案】C 【分析】本题考查最短路径中的造桥问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质，以及两点之间线段最短．根据是河的宽最短，即直线（或直线），只要最短即可． 【详解】解：如图，过点作，且等于河宽，连接交直线与，作即可．    ∴四边形是平行四边形， ∴，． ∴， ∴，，三点共线，，最短． ∴． 故选：C． 4．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为； 故选：B． 5．如图，是的边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条件后可证明，得到，进而可得结论，A不符合题意；添加条件，可证明，进而得到，从而证明结论，B不符合题意；添加条件，可证，进而证明结论，C不符合题意；添加条件，无法得到四边形为平行四边形，D符合题意． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、添加条件，无法证明四边形为平行四边形，符合题意； 故选：D． 6．如图，在四边形中，于点，于点，，．下面结论正确的个数有①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．先证出，再根据全等三角形的性质可得，由此即可判断结论①正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论②和④正确；证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可判断结论③正确． 【详解】解：∵，， ∴和都是直角三角形，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，，即，结论①正确； 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，结论②和④都正确； 又∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，结论③正确； 综上，结论正确的个数有4个， 故选：D． 7．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 8．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案． 【详解】解：过点B作于点E，于点F， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴． 故选：B． 9．如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义可得，证明得，，从而，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵平分交于点，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：D ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理的计算是解题的关键． 10．如图所示，在四边形中，对角线相交于点O，于点 E，于点F， 连接， 若， 则下列结论：①；②③；④四 边 形是平行四边形． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定性质，平行四边形的判定和性质．解题的关键是证明 ． 证明，得到，进而得到，推出四边形是平行四边形；得到，进一步推出是平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， 又， ∴， ∴；故①正确； ∴， ∴四边形是平行四边形；故④正确； ∴， ∴即：；故②正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故③正确； 综上，正确的有4个； 故选：D 二、填空题 11．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，平行四边形中，、分别在和的延长线上，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】由直角三角形的两个锐角互余可得，由含度角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可得，即，进而可求出，则，由已知条件可证得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得，于是得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴,， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，勾股定理，平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 13．如图，的面积为12，将沿方向平移到处，使点与C重合，连结交于点D，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平移的性质、与三角形中线有关的面积的计算，连接，由平移的性质可得：，，，从而得出四边形为平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由平移的性质可得：，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，，，，点是边上两动点，连接，CE．若，则周长的最小值为 ． 【答案】/7.2 【分析】作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，则，根据轴对称得和，那么，周长为，当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为，利用勾股定理求得，等面积法求得，则有，在中求得即可． 【详解】解：作点C关于线段AB的对称点交于点H，连接和，过点作，且，连接，如图， 则四边形为平行四边形， ∴， ∵点C关于线段AB的对称点， ∴，， ∴， 则周长为， 当点C、点E和点F三点共线时，周长最小为， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， 则，周长最小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质和三角形三边关系的应用，解题的关键是熟悉轴对称的性质和平行四边形的性质． 15．如图，在中，过上的点作，，、、、均在平行四边形的边上，且，，则四边形的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，先证明四边形都是平行四边形，然后证明，根据，求出即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 16．如图，于点E，且，若点I是的角平分线的交点，点F是的中点．则 ；若，则的面积为 ． 【答案】 /135度 【分析】根据，可得，再根据角平分线的定义可得，即可得出；然后延长至G，使，连接，过点I作，交于点H，即可证明四边形是平行四边形，可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据“边角边” 证明，可得，接下来得出，即可得，再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，然后根据“边角边” ，再说明，进而得出，然后求出，即可得出答案． 【详解】∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴， ∴； 延长至G，使，连接，过点I作，交于点H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 三、解答题 17．如图，四边形是平行四边形，、分别是、上一点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质；由平行四边形的性质得出，再由已知可以得出DE=BF，由平行四边形的判定定理即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴四边形是平行四边形 18．如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴，        ∴四边形是平行四边形， ∴． 19．在四边形中，是的中点，连接，，是线段上一点，连接，，过作，交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)如果，，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作交于点，设交于点，证明四边形是平行四边形，得，证明，得，证明，得，即可得证； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得，，四边形是平行四边形，得，证明，得，根据等边对等角得，再将数据代入可得结论． 【详解】（1）证明：过点作交于点，设交于点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角等知识点．通过作辅助线构造全等三角形和平行四边形是解题的关键． 20．如图，，，其中，以点为中心，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接． (1)尺规作图：求作线段； (2)探究与的位置关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的判定，熟记作图方法及平行四边形的性质与判定是解题的关键． （1）作出，再作，再连接即可； （2）过点D作交的延长线于点E，根据平行线的性质和等腰三角形的判定可得，再由，，可得，从而可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质可得结论． （3）由可得，又由可得，再结合即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图，线段即为所作； （2）解：结论：，理由如下： 如图，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ． （3）解：由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 21．如图，在中，点E，F分别是，的中点，连接，，交于点G，H，连接，． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明，即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再证明．得出，．从而推出．进而得出，即可得证． 【详解】（1）证明：由可得，，， ∵点，分别是边，的中点， ∴，． ∴． ∴． （2）证明：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． 22．如图，D是内部的一点，连接，，把绕点B逆时针旋转得到线段，把绕点C顺时针旋转得到线段，连接，，，，． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】（1）由旋转得，，，可得是等边三角形，进而得到，证明，即可求解； （2）根据已知条件可得，结合等边三角形的性质及全等三角形的判定证明，可得，进而可得，即可得四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， （2）证明：由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∴，， 由（1）知，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23．在四边形中，，对角线交于点O，且．点E、F分别为边上的动点，连结． (1)如图1， ①求证：； ②求证：四边形为平行四边形； ③恰好经过点O，当时，如图2，连接，若，，求的度数． (2)平移，当点E与点A重合时，如图3， 将沿折叠得到，当点恰好落在线段上时，过点D作，交延长线于点G，其中，，，求线段的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析；③ (2)11 【分析】（1）①根据，得出，即可证明． ②由①得，得出，结合，即可证明四边形为平行四边形； ③根据，，得出，根据平行四边形的性质得出，证出是的垂直平分线，即可得，根据等腰三角形的性质得出，根据，，求出，再根据即可求解． （2）根据平行四边形的性质可得，，根据，得出，由折叠知，，即可得出， ，在中，勾股定理求出，在中，求出 ， 即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴，   ②证明：由①得， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； ③解：∵，， ∴， 由②得：四边形为平行四边形， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴． 在中， ，， ∵，即， ∴， ∵在中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】该题主要考查了平行四边形的性质和判定，折叠的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$