第07讲 中心对称和中心对称图形-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

第07讲 中心对称和中心对称图形 课程标准 学习目标 中心对称和中心对称图形的概念 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题 知识点01 中心对称的概念及性质 (1)中心对称:在平面内,把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转 下的像P',这个变换称为关于点O中心对称,也称原图形与新图形关于点0中心对称,点O叫作对称中心. (2)性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心 . 【即学即练1】 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 规律总结：(1)成中心对称的图形上的每一对对应点连成的线段都被对称中心平分. (2)任意两个中心对称图形以任意方式组合成一个图形后，过这两个对称中心的直线平分这个组合图形的面积. (3)对称点的连线必过对称中心 知识点02 中心对称图形的判定 (1) 中心对称图形:在平面内,如果一个图形绕一个点O旋转180°,所得到的像与原来的图形互相重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点O叫作它的对称中心. (2)平行四边形是 对称图形,对角线的交点是它的对称中心. 【即学即练1】 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧：(1)常见的中心对称图形有线段、平行四边形、圆、正n边形(n为偶数) (2)将图形绕对称中心旋转180°后,没有任何变化，和原图形一样的即为中心对称图形. 题型01 画两个图形的对称中心 【典例1】如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 【变式1】如图，在正方形网格中： (1)作出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (2)作出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (3)四边形与四边形是否对称？若对称，请在图中作出对称轴或对称中心． 【变式2】如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【变式3】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了． (1)请你找到对称中心O的位置． (2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由． 题型02 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例1】如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ． 【变式2】如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 【变式3】如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 题型03 中心对称图形的识别 【典例1】国际数学家大会（International Congress of Mathernaticians，ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断中心对称图形的对称中心 【典例1】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【变式1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【变式2】如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 题型05 中心对称图形规律问题 【典例1】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【变式1】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 【变式3】古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 一、单选题 1．下列图形中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．     C．   D．   3．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 4．以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 5．如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，与关于点成中心对称，，，，（   ） A． B． C． D． 8．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 9．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 10．若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 11．如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 12．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 13．如图，与关于点成中心对称，则 ， ． 14．蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 16．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 三、解答题 17．已知，如图四边形与点． 求作：四边形，使得四边形与四边形关于点成中心对称图形． 18．（1）如图1，已知及点、两点，请利用直尺和圆规作一点，使得点到射线、的距离相等，且点到点、的距离也相等． （2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、、都是格点．作关于点的中心对称图形． 19．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 中心对称和中心对称图形 课程标准 学习目标 中心对称和中心对称图形的概念 了解中心对称、对称中心、关于中心的对称点等概念及掌握这些概念解决一些问题 知识点01 中心对称的概念及性质 (1)中心对称:在平面内,把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转180下的像P',这个变换称为关于点O中心对称,也称原图形与新图形关于点0中心对称,点O叫作对称中心. (2)性质:成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对称中心平分. 【即学即练1】 如图，四边形是正方形，，，，分别为各边的中点，与交于点，下列三角形中，与成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据正方形的性质和中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O旋转后与重合， ∴与成中心对称的是． 故选：A． 【即学即练2】 若两个图形成中心对称，有下列说法：①对应点的连线必经过对称中心；②这两个图形的形状和大小完全相同；③这两个图形的对应线段一定相等；④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了中心对称图形的定义及性质，理解并掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转后，能与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称，这个点称为对称中心；成中心对称的两个图形全等；连接中心对称图形上每一对对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分；由此即可求解． 【详解】解：①对应点的连线必经过对称中心，正确； ②这两个图形的形状和大小完全相同，正确； ③这两个图形的对应线段一定相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转后必与另一个图形重合，正确． ∴正确的有①②③④， 故答案为：①②③④ ． 规律总结：(1)成中心对称的图形上的每一对对应点连成的线段都被对称中心平分. (2)任意两个中心对称图形以任意方式组合成一个图形后，过这两个对称中心的直线平分这个组合图形的面积. (3)对称点的连线必过对称中心 知识点02 中心对称图形的判定 (1) 中心对称图形:在平面内,如果一个图形绕一个点O旋转180°,所得到的像与原来的图形互相重合,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点O叫作它的对称中心. (2)平行四边形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心. 【即学即练1】 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 方法技巧：(1)常见的中心对称图形有线段、平行四边形、圆、正n边形(n为偶数) (2)将图形绕对称中心旋转180°后,没有任何变化，和原图形一样的即为中心对称图形. 题型01 画两个图形的对称中心 【典例1】如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可； （2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的周长即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵，，， ∴的周长为：， ∵和关于点成中心对称， ∴， ∴周长为18． 【变式1】如图，在正方形网格中： (1)作出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (2)作出四边形，使四边形与四边形关于直线对称； (3)四边形与四边形是否对称？若对称，请在图中作出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形与四边形关于原点成中心对称，图见解析 【分析】此题考查了作图轴对称和中心对称，解题的关键是掌握轴对称和中心对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据中心对称的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，四边形与四边形关于原点成中心对称 【变式2】如图，和关于某一点成中心对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看到和线段的对应线段，请你帮该同学找到对称中心O，且补全． 【答案】见解析 【分析】本题考查确定对称中心，补全中心对称图形，根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：如图所示，的交点即为O，即为所求． 【变式3】如图所示，与关于点O中心对称，但点O不慎被涂掉了． (1)请你找到对称中心O的位置． (2)连接线段和线段，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的定义和性质，平行四边形的判定： （1）两个图形成中心对称，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点O； （2）由中心对称的性质可知：，，再利用平行四边形的判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：对称中心O的位置如图所示： （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由中心对称的性质可得，， 四边形是平行四边形． 题型02 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【典例1】如图，与关于点成中心对称，点、、的对称点分别为、、．下列结论不一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称的知识，熟练掌握中心对称的定义及中心对称的性质是解题的关键． 根据“中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”逐一判断即可得解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴根据中心对称的定义及中心对称的性质可知，结论B，C，D都是正确的，但是无法推出， 结论不一定正确， 故选：A． 【变式1】如图，在正六边形中，，点在边上，且，若经过点的直线将正六边形面积平分，则直线被正六边形所截的线段长是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质和判定，正多边形的知识，掌握“正六边形既是轴对称图形也是中心对称图形”是解本题的关键． 如图，连接，交于点，作直线交于，过作于，由正六边形是轴对称图形可得：，由正六边形是中心对称图形可得：，可得直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交于点，作直线交于，过作于， 由正六边形是轴对称图形可得：， 由正六边形是中心对称图形可得：， 直线平分正六边形的面积，为正六边形的中心． 由正六边形的性质可得：， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，则， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式2】如图，与关于点C成中心对称，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查中心对称的性质和勾股定理，由中心对称的性质可得出三点共线，由勾股定理求出，从而可得出结论． 【详解】解：与关于点C成中心对称， ， 三点共线．                           ， ，                    【变式3】如图，在锐角三角形中，点为线段上一点，与关于点成中心对称． (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点在的什么位置； (2)若，，求线段的取值范围． 【答案】(1)相等的线段有，，；点为的中点 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形三边关系及中心对称的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中心对称及全等三角形的性质即可解答； （2）根据三角形三边关系得出，即可得到答案． 【详解】（1）解： 与关于点成中心对称， ， 相等的线段有，，， 点为的中点； （2）解：， ， ，， ， 在中，， ， ． 题型03 中心对称图形的识别 【典例1】国际数学家大会（International Congress of Mathernaticians，ICM），是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大也是最重要的会议，每四年举行一次．会议是数学家们为了数学交流，展示、研讨数学的发展，它是全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的奥林匹克盛会．首届国际数学家大会1897年在瑞士苏黎世举行，2002年第24届国际数学家大会在我国北京举行．以下是四届大会的会徽，其中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，一个图形绕一点旋转180度后，能与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可. 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列图形是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称的定义．把一个图形绕着某一点旋转180度能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形，这个点是对称中心，据此，逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、是中心对称图形，故该选项符合题意； C、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故该不选项符合题意； 故选：B． 【变式2】下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 题型04 判断中心对称图形的对称中心 【典例1】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 【变式1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是 ． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【变式2】如图，与成中心对称，则对称中心是 ． 【答案】中点（或中点） 【分析】本题考查的是对称中心的性质，根据对应点的连线被对称中心平分可得答案． 【详解】解：∵与成中心对称， ∴的中点为对称中心，（的中点为对称中心） 故答案为：中点（或中点）． 题型05 中心对称图形规律问题 【典例1】如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 【变式1】在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 【变式2】用围棋子按下面的规律摆图形，则摆第n个图形需要围棋子的枚数是（　　） A．4n+1 B．3n+1 C．4n+2 D．3n+2 【答案】D 【分析】根据图像，分别确定前三个图中围棋的枚数，可知第一个图形中有（3+2）枚，且后一个图形总比第一个图形多3枚；联系上步分析，便不难得到第n个图形中需要围棋子的枚数与n的关系，从而解题. 【详解】解：∵第1个图形中有5枚，即3×1+2枚； 第2个图形中有8枚，即3×2+2枚； 第3个图形中有11枚，即3×3+2枚； … ∴第n个图形中有3n+2枚． 故选：D． 【点睛】本题属于探究图形的规律的题目，考虑从简单情形入手分析. 【变式3】古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 一、单选题 1．下列图形中，为中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C. 是中心对称图形，故该选项符合题意； D. 不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：C ． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．由此逐项判断即可． 【详解】解：A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； B，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C，不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D，是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； 故选B． 3．如图所示，与关于点成中心对称，则下列结论成立的是（　　） ①点与点关于点对称；②；③；④． A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称的性质，掌握中心对称的性质是解题的关键．由中心对称的性质可得，点与点关于点对称，，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ，点与点关于点对称，， ①②③正确，④错误， 故选：A 4．以下是在围棋谱中截取的由黑白棋子摆成的图案，是中心对称图形的是（   ）． A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．该图案是中心对称图形，故此选项符合题意； B．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．该图案不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．如图，，，若画一条直线将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质结合中心对称图形的性质求解即可． 【详解】解：因为平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，且选项中各图形可看作是由两个平行四边形构成的， 所以只要直线经过两个平行四边形的对称中心，即可这个图形分成面积相等的两个部分，观察可得，选项BCD符合题意， 故选：A． 6．如图，与关于成中心对称，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等”，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； B、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； C、由中心对称的基本性质得：，则此项不符合题意； D、由中心对称的基本性质得：， ∴，， ∴，即，则此项符合题意； 故选：D． 7．如图，与关于点成中心对称，，，，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键； 根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，， ，， 根据勾股定理可得：， ； 故选：A 8．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 9．如图，分别在四边形的各边上取中点，，，，连接，在上取一点，连接，过作，交于，将四边形中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形和，延长，相交于点，得到四边形．下列说法中正确的是（　　） ① ② ③ ④四边形是平行四边形 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，中心对称及其性质，全等形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质． 顺次连接，连接交于点，得，于是，证明，即可判断①；由对称性可得：，则，由，即可判定四边形是平行四边形，即可判断④；四边形是平行四边形，则，无法证明，即可判断②；四边形 四边形，四边形四边形，四边形四边形，得到，则，即可判断③． 【详解】解：如图， 顺次连接，连接，连接交于点， ∵分别在四边形的各边上取中点，，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 由对称性可得：， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， 故④正确； 四边形是平行四边形， ∴， 无法证明， 故②不正确； 依题意，四边形四边形，四边形四边形， 由题意得，四边形是由移动得到的， ∵， ∴四边形可以看成是四边形以点H为旋转中心，逆（顺）时针旋转得到的， ∴， 即在同一条直线上，，， ∴， 又∵四边形是由四边形移动后得到的， ∴，， ∵， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴四边形四边形， ∴， ∴， 故③正确； 故答案为：B． 10．若函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，我们把该函数称为“美好函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“美好点”．若点是关于的“美好函数”上的一对“美好点”，且该函数的对称轴始终位于直线的右侧．有下列结论①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】此题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，“美好函数”，“美好点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题． 先根据题意求出m，n的取值，代入得到a，b，c的关系，再根据对称轴在的右侧即可求解． 【详解】解：∵点是关于x的“美好函数”上的一对“美好点”， ∴关于原点对称， ∴， ∴， 代入 得 ， ∴， ∴①②正确，符合题意， ∵该函数的对称轴始终位于直线的右侧， ∴， ∴，即 当时，两边同乘a得：，无公共解集，舍去． 当时，两边同乘a得：， ∴， ∴③正确，符合题意， ∵， ∴， ∵ ∴， 整合条件： 三式相加得：， ∴，即 ∴④错误，不符合题意． 综上所述，结论正确的是①②③． 故选：A． 二、填空题 11．如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，勾股定理等知识，利用中心对称的性质得，，，，利用直角三角形30度角的性质求出，，进而可得，再由勾股定理可得结论． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 12．如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 13．如图，与关于点成中心对称，则 ， ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了中心对称图形、全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，理解中心对称图形的定义和性质是解题关键．首先根据中心对称图形的定义可知，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，即可证明． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 14．蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是 图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 15．如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理，掌握成中心对称的两图形对应边相等和用勾股定理解直角三角形是解题的关键．直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案． 【详解】解： 与关于点中心对称，，， ，， ， ， 在中，． 故答案为：． 16．如图，过平行四边形内的点P作各边的平行线分别交于点E，F，G，H．连接．已知与平行四边形的面积分别为m，n． （1）若点P是平行四边形的对称中心，则 ； （2）平行四边形的面积为 （用含m、n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质、三角形中位线的判定及性质，中心对称的性质． （1）连接、，根据平行四边形的判定及性质得出四边形，，，，，为平行四边形，再根据中心对称的性质得出点E，F，G，H分别为，，，的中点，设四边形面积为，即可得到则，，再作比即可得出答案； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，分别表示出，，，再根据图形的面积和整理即可得出答案． 【详解】（1）连接、 四边形为平行四边形 ，    ，，，， ，， 四边形，，，，，为平行四边形， 点P是平行四边形的对称中心， 点E，F，G，H分别为，，，的中点， ∴平行四边形，，，的面积都相等，且等于四边形面积的， 设四边形面积为，则， ，，， ∴， ， 故答案为：； （2）由题意得四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 17．已知，如图四边形与点． 求作：四边形，使得四边形与四边形关于点成中心对称图形． 【答案】见详解 【分析】本题考查作图-中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质． 根据中心对称变换的性质分别作出的对应点，顺次连接即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 18．（1）如图1，已知及点、两点，请利用直尺和圆规作一点，使得点到射线、的距离相等，且点到点、的距离也相等． （2）如图2，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、、都是格点．作关于点的中心对称图形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，作角平分线、线段垂直平分线、画中心对称图形； （1）直接利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出其交点即可得出答案； （2）根据中心对称的性质，找到关于的对应点，顺次连接，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，分别作线段的垂直平分线和的平分线，相交于点，点即为所求的点； （2）如图2，即为所求． 19．我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【分析】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 20．如图，在中，，点为的中点，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动．点关于点的对称点为点，当点不与点重合时，以为直角边向上作等腰直角，使．设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长． (2)当点落在的边上时，求的值． (3)当与重叠部分为三角形时，设其面积为．用含的代数式表示． (4)与的直角边交于点．当点恰为线段的中点时，直接写出的值． 【答案】(1)当时，．当时， (2)或 (3) (4)1或3 【分析】（1）由为的中点，根据点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，表示出线段长，再分类讨论即可求解； （2）当点M在边上，可得，列出方程即可；当点在边上，可得，列出方程即可； （3）根据题意分类讨论，表示出线段长，再根据面积公式求解即可； （4）当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解；当与交于点，点恰为线段的中点时，表示出线段长，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ，点D为的中点， ， ∵点P关于点D的对称点为点Q， , ， 当时，， ． 当时，， ． ∴当时，．当时，． （2）解：如图1，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 如图2，点M在边上时，， 由题意可知，， ， ， ， 解得； 所以，t的值为或． （3）解：当时，与重叠部分为，面积为4； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为， 此时，， ； 当时，与重叠部分为，面积为4； 所以，． （4）解：t的值为1或3，理由如下： 如图3，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 如图4，与交于点N，点恰为线段的中点时，，则， ， 解得； 综上所述，t的值为1或3． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质，解题关键是根据运动速度表示出线段长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$