专题07 二次函数的几何综合问题（7个高频考点 共35题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题07 二次函数的几何综合问题 （7个高频考点 共35题） 高频考点01：线段周长问题(二次函数综合) 1 高频考点02：面积问题(二次函数綜综合) 5 高频考点03：角度问题(二次函数综合) 8 高频考点04：特殊三角形问题(二次函数综合) 12 高频考点05：特殊四边形(二次函数综合) 17 高频考点06：相似三角形问题(二次函数综合) 22 高频考点07：其他问题（二次函数综合) 27 高频考点01：线段周长问题(二次函数综合) 1．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 2．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 4．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数(m是常数，且)的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、． (1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）； (2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标； (3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标． 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 高频考点02：面积问题(二次函数綜综合) 6．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 8．（2022·江苏宿迁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 9．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 10．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 高频考点03：角度问题(二次函数综合) 11．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 13．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2021·江苏盐城·一模）如图（1），在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE． （1）求证：△BCF∽△FDE； （2）如图（2），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，CD⊥x轴，设点C坐标为（m，0）（m＜0），点P为平面内一点，若以O、B、F、P四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出此时点C的坐标； （3）如图（3），设抛物线y＝a（x﹣m+5）2+h经过A、F两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值． 15．（2020·江苏无锡·二模）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为 ． 高频考点04：特殊三角形问题(二次函数综合) 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 17．（2024·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使 ①求点 P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2023·江苏盐城·一模）如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 20．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 高频考点05：特殊四边形(二次函数综合) 21．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 23．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 24．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 25．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 高频考点06：相似三角形问题(二次函数综合) 26．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 27．（2023·江苏扬州·一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． (1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； (2)若△OAB是直角三角形，求a的值． 28．（22-23九年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 29．（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． 　 (1)求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标； (3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围． 30．（2021·江苏泰州·二模）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE． ①若k＝1，求△CDE的面积； ②求证：CE∥AB． 高频考点07：其他问题（二次函数综合) 31．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 32．（2024·江苏无锡·一模）某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．试探究之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法： (1)设，，． ①若点P的横坐标为3，请计算______；比较大小：______（填“<”，“>”或“=”）． ②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现再次探究与之间的数量关系． (3)连接 请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围______． 33．（2024·江苏南通·一模）在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足． (1)求p的值； (2)记时二次函数的最大值为，最小值为．若，求的取值范围； (3)连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 34．（2023·江苏常州·二模）已知二次函数，图象记为L．    (1)如图，时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，记为．设上的一点P的坐标为． ①当m满足 时，n随m的增大而增大； ②当时，过点P作y轴垂线，分别交L、于点M、N．若将的面积分成两部分，求点P坐标； (3) 若点在二次函数图象上，直接写出a的取值范围． 35．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数的几何综合问题 （7个高频考点 共35题） 高频考点01：线段周长问题(二次函数综合) 1 高频考点02：面积问题(二次函数綜综合) 9 高频考点03：角度问题(二次函数综合) 23 高频考点04：特殊三角形问题(二次函数综合) 39 高频考点05：特殊四边形(二次函数综合) 53 高频考点06：相似三角形问题(二次函数综合) 68 高频考点07：其他问题（二次函数综合) 82 高频考点01：线段周长问题(二次函数综合) 1．（2023·江苏扬州·二模）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【规范解答】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 2．（2024·广东佛山·二模）如图，抛物线与直线相交于点，，直线AB与轴相交于点． (1)求抛物线与直线的表达式； (2)点是抛物线在直线下方部分的一个动点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【思路点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、二次函数综合—线段问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点坐标为，则点坐标为，点坐标为，得到，，表示出，结合二次函数的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解：将点，分别代入， 得：， 解得：， 抛物线表达式为 将点，分别代入得：， 解得： 直线的表达式为； （2）解：设点坐标为， 轴， 点与点的横坐标相同，即点坐标为， ， 轴， 点与点的纵坐标相同， ， ， 即点坐标为， ， ，开口向下， 的最大值为． 3．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【考点评析】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 4．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，二次函数(m是常数，且)的图象与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、． (1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）； (2)当的最小值等于时，求的值及此时点的坐标； (3)当取（2）中的值时，若，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)或． 【思路点拨】（1）将，，分别代入，计算求解即可； （2）如图1，连接，由题意知，，则，可知当，，三点共线时，值最小，在中，由勾股定理得，由的最小值等于，可得，计算的值，然后得出，的点坐标，待定系数法求直线的解析式，根据是直线与直线的交点，计算求解即可； （3）由（2）知，则，，抛物线的对称轴为直线，勾股定理逆定理判断是直角三角形，且，记为直线与轴的交点，如图2，连接，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，即与重合，求此时的点坐标；过，，三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设，由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则，根据，可求值，根据，可求值，进而可得此时的点坐标． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，， 整理得：，即， 解得：，， ∴，，； （2）解：如图1，连接， 由题意知，， ， 当，，三点共线时，值最小， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值等于， ， 解得， ∴，， 抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，，代入得， ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ， ，； （3）解：， ∴，，抛物线的对称轴为直线， ，，， ， 是直角三角形，且， 记为直线与轴的交点，如图2，连接， ， ， ， ， 与重合，即； 过，，三点作，如图2，由同弧所对的圆周角相等可知与直线交点即为，设， 由题意知，圆心在直线上，设圆心坐标为，则， ，即， 解得， ，即， 解得，， ， 综上，点坐标为或． 【考点评析】本题考查了二次函数与线段、角度综合，二次函数的图象与性质，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，同弧所对的圆周角相等，等边对等角，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 高频考点02：面积问题(二次函数綜综合) 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点，以为边在x轴上方作正方形，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速运动，设运动时间为t秒，连接，过点P作P的垂线与y轴交于点E．    (1)求二次函数的解析式及点A的坐标； (2)当点P在线段(点P不与A、O重合)上运动至何处时，的面积的最小值，并求出这个最小值； (3)在P，Q运动过程中，当时，求t的值； (4)在P，Q运动过程中，是否存在t，使 度，若存在请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1), (2)点P运动至线段的中点时， 的面积的有最小值 (3) (4)存在，使得度 【思路点拨】（1）将代入即可求解； （2）由题意得当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积的最小；设，证即可求解； （3）由（2）得，结合得，可推出，即可求解； （4）延长至点，使得，连接，证得，再证得即可求解． 【规范解答】（1）解：将代入得：， ∴ ∴ 令，即：， 解得： ∴； （2）解：∵为定值， ∴当最大时，点到线段的距离最小，此时的面积最小 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 设， ∵ ∴ 得：, ∵ ∴当时， 即：，此时点P运动至线段的中点时，， ∴点到线段的距离，的面积的最小值为：； （3）解：由（2）得：， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 解得：； （4）解：如图所示：    延长至点，使得，连接， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得：（舍） 【考点评析】本题综合考查了二次函数的解析式求解、相似三角形的判定与性质、全等三角形的常见模型等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的函数和几何基础． 6．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为：或或 【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则，解得：（舍去）或， 即； （2）解：过点M作轴交于点H， 由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ∵，故当时，面积最大， 此时点； （3）解：由（2）知，直线的表达式为：， 过点M作直线交y轴于点R， 设直线的表达式为：，则，解得：， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点A下方取点T，使，则点， 过点T作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点或， 综上，点Q的坐标为：或或． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． (1)求b、c的值； (2)求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为8 【思路点拨】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 【规范解答】（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 8．（2022·江苏宿迁·二模）如图，已知二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，连接、．点P为抛物线上的一个动点（与点A、B、C不重合），设点P的横坐标为m，的面积为S． (1)求此二次函数的表达式； (2)当点P在第一象限内时，求S关于m的函数表达式； (3)若点P在x轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；或 【思路点拨】（1）用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴于N，作轴于M，连接、，当点P在第一象限时，则)，又因为，，由求解即可； （3）当P在第一象限时，当P在第二象限，分别求解即可； 【规范解答】（1）解：把、代入二次函数，得 ， 解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴于N，作轴于M，连接、， ， 当点P在第一象限时， ∵点的横坐标为， ∴， 对于二次函数，令，则， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：当P在第一象限时，若， 则， 解得：， ∴P点坐标为， 当P在第二象限，即时，过O作直线交抛物线于点， 设直线的解析式为，把，代入，得 ，解得：， ∴直线的表达式为， 所以直线l的表达式为， 联立方程组方程组， 解得：（舍去），， ∴点P坐标为 综上，P的坐标为或． 【考点评析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，三角形面积，等定系数法求一次函数的式，一次函数图象平称等知识，（3）问要注意分类讨论． 9．（2024·江苏·模拟预测）已知：y关于x的二次函数．    (1)若函数的图象过点，求a与b的关系； (2)如图，若函数的图象与x轴有两个公共点，并与动直线交于点P，连接，，，，其中交y轴于点D，交于点E．设的面积为，的面积为． ①当点P为抛物线顶点时，求的面积； ②探究直线l在运动过程中，是否存在最大值？若存在求出这个最大值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①6 ，②存在； 【思路点拨】本题考查了二次函数综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式的方法和步骤，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的图象和性质． （1）把代入即可解答； （2）①设直线l与交于点F，用待定系数法求出抛物线的解析式为，则，，再求出直线的解析式为，则，进而得出，最后根据的面积即可解答；②设直线交x轴于H，则，通过证明，得出，根据得出函数关系式，结合二次函数的性质，即可解答． 【规范解答】（1）解：∵函数的图象过点， ∴代入得：， 化简得：； （2）解：①如图1，设直线l与交于点F，    把代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，点P为抛物线顶点， ∴， ∵， ∴直线的解析式为， 把代入得：， ∴， ∴， ∴的面积， ②存在最大值，理由如下： 如图2，设直线交x轴于H，    由①得，，，，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴当时，存在最大值，最大值为． 10．（2024·江苏无锡·模拟预测）已知矩形中，，，点是边上的动点(不与重合)，设，将沿折叠至． (1)如图1，当点在对角线上时，求的值； (2)设与矩形重叠部分的面积为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数与面积问题，灵活运用知识点、分类讨论是解题的关键． （1）根据矩形的性质、折叠的性质，得出，，推出，证明，得出，则，计算即可； （2）分“当时”和“当时”两种情况讨论．当时，点在左侧以及上，则此时，得出函数表达式；当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点，根据折叠的性质，得出，证明四边形是矩形，得出，设，则，根据勾股定理，则，得出，表示出，根据，得出函数表达式．综合两种情况，得出关于的函数表达式即可． 【规范解答】（1）解：∵四边形是矩形，，将沿折叠至，当点在对角线上， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：当时，点在左侧以及上， 此时； 如图，当时，点在右侧，记和交于点，过点作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，四边形是矩形， ∴，，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 整理得：， ∴； 综上所述，． 高频考点03：角度问题(二次函数综合) 11．（2024·江苏无锡·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、（在左侧），与轴交于，一次函数的图象经过、两点． (1)分别求出、的值； (2)在二次函数图象上是否存在点，且满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的坐标为或 【思路点拨】（1）由待定系数法即可求解； （2）当点在轴右侧时，利用解直角三角形的方法求出，得到，进而求解；当点在轴左侧时，同理求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 将点的坐标代入一次函数表达式得：，则， 则一次函数表达式为：， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； 即，； （2）解：存在，理由： 当点在轴右侧时， 设交于点，过点作于点， 则， 而，则， 设，则， 在中，， 则， 设直线解析式为， 由点、的坐标得，解得， 则直线的表达式为：， 设点， 则， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点， 由点的坐标得，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：． 当点在轴左侧时，同理可求直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：或（不合题意，舍去）， 则点的坐标为：， 则点的坐标为：或． 【考点评析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、平行四边形的性质、解直角三角形等，有一定的综合性． 12．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）如图①，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的点，于点D，轴于点F，交线段于点E， (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最大时，求P点的坐标； (3)如图（2），点M是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，由，得到，则，证明，得到，则，即可推出当最大时，的周长最大；求出直线解析式为，设，则，则，则当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）如图所示，设直线交y轴于D，证明，得到，则，同理可得直线解析式为，联立，解得或，则． 【规范解答】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长最大， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，即此时的周长最大，此时； （3）解：如图所示，设直线交y轴于D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， ∴． 【考点评析】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，数量掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 13．（2024·江苏苏州·一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，拋物线与轴交于点、两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q为抛物线上的一点（不与点A重合），当的面积等于面积的2倍时，求此时点Q的坐标； (3)如图2，点在轴下方的抛物线上，点为抛物线的顶点．过点作轴于点，连接交于点，连接，，探究抛物线上是否存在点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点，使的坐标为)或 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）设，求出，直线函数表达式为，知，分为当点Q在直线下方时和点Q在直线上方时，分别求解即可． （3）过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于，分两种情况：当在上方时，求出顶点，可得，故，有，而，即可得，从而证明，得，得，故，即可得是等腰直角三角形，证明，有，设，则，解得，得直线函数表达式为，联法，可得；当在下方时，同理可得． 【规范解答】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设，过点Q作轴，交于点， 在中，令得， 解得：或， ， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴设直线的函数表达式为，代入B得，解得：， ∴直线的函数表达式为， ， ， 当点Q在直线下方时：， 即，无解； 当点Q在直线上方时： ， 即，解得：或； 综上，此时，点Q的坐标为或； （3）解：存在点，使， 理由如下：过A作轴交延长线于，过作于，过作轴于，过作于， 当在上方时，如图： ， ∴顶点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， 设， ， 解得， ， ∵ 设直线函数表达式为，则， 解得， 故直线函数表达式为， 联立， 解得或， ； 当在下方时，同理可得， 可得函数表达式为， 联立， 解得或， ， 综上所述，的坐标为或． 【考点评析】本题考查二次函数综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形性质及应用，待定系数法等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 14．（2021·江苏盐城·一模）如图（1），在矩形ABCD中，已知BC＝9，AB＝15，E为AD上一点，若△ABE沿直线BE翻折，使点A落在DC边上点F处，折痕为BE． （1）求证：△BCF∽△FDE； （2）如图（2），矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，CD⊥x轴，设点C坐标为（m，0）（m＜0），点P为平面内一点，若以O、B、F、P四点为顶点的四边形为菱形，请直接写出此时点C的坐标； （3）如图（3），设抛物线y＝a（x﹣m+5）2+h经过A、F两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m的值． 【答案】（1）见解析；（2）C(-6,0)或C(-9,0)或C(-3.5,0)；（3） 【思路点拨】（1）利用同角的余角相等，证明∠CFB=∠FED，即可解决问题． （2）直接利用菱形的性质求解即可； （3）分别求出A，F点的坐标，代入抛物线的解析式中求出a、h的值，再用相似三角形的性质可求m． 【规范解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=∠C=90°， 由折叠得，∠BFE=∠A=90°， ∴∠BFC+∠EFD=90°，∠FED+∠EFD=90°， ∴∠FED=∠BFC， ∴△BCF～△FDE． （2）由折叠得，FB=AB=15 ∵BC=9 ∴FC= ∵C(m,0) ∴F(m，12) ∴BO=BC+OC=9-m ①当OB为边时， ∵OBFP是菱形， ∴BF=FP=OP=BO=AB=15， ∴9-m=15， ∴m=-6 ∴C（-6，0）； ②当OB为对角线时， ∴ 解得，或（不合题意，舍去） ∴C(-9,0) ③当BF为对角线时，如图 ∵四边形OBPF为菱形， ∴OF=OB=9-m 在RT△OCF中， 即 解得； 综上可得C（-6，0）或C(-9,0)或C(-3.5,0)； （3）由题意得，， 将A、F坐标代入抛物线得： 解得： 过M作MG⊥BA，交BA的延长线于点G，如图 ∵∠OAM＝90° ∴∠GAM+∠OAB=90° ∵∠AOB+∠OAB=90° ∴∠GAM=∠AOB 又∵∠MGA=∠ABO=90° ∴△MGA∽△ABO ∴，即 解得 综上， 【考点评析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，翻折变换、相似三角形的判定，勾股定理以及二次函数的性质等知识，解题时根据是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程组解决问题． 15．（2020·江苏无锡·二模）如图，一次函数y＝x﹣2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，二次函数y＝－x2+bx+c的图象经过A、B两点，与x轴交于另一点C．若点M在抛物线的对称轴上，且∠AMB＝∠ACB，则所有满足条件的点M的坐标为 ． 【答案】或 【思路点拨】讨论：当点M在直线AB上方时，根据圆周角定理可判断点M在△ABC的外接圆上，如图所示，由于抛物线的对称轴垂直平分AC，则△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为，根据半径相等得到，解方程求出t得到圆心的坐标为，然后确定的半径为，从而得到此时M点的坐标；当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示，通过证明可判断在x轴上，则点的坐标为，然后计算DM即可得到此时M点坐标． 【规范解答】（1）当点M在直线AB上方时，则点M在△ABC的外接圆上， ∵△ABC的外接圆的圆心在对称轴上，设圆心的坐标为， 则， ∴， 解得， ∴圆心的坐标为， ∴， 即的半径为， 此时M点的坐标为． 当点M在直线AB下方时，作关于AB的对称点，如图所示， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴，在x轴上， ∴点的坐标为， ∴， ∴， 此时点M的坐标为． 综上所述，点M的坐标为或． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的综合应用，准确进行点的位置的判断是解题的关键． 高频考点04：特殊三角形问题(二次函数综合) 16．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【思路点拨】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【规范解答】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【考点评析】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 17．（2024·山东枣庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，，点B的坐标为．抛物线 经过A、B两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点，过点P作垂直x轴于点D，交线段于点E，使 ①求点 P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为等腰三角形?若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点 M的坐标为：或或或或 【思路点拨】（1）根据条件求出,，根据待定系数法求解即可； （2）先求出的解析式，然后表示出，，根据即可求解；分情况讨论，分别求出，根据等腰三角形的定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴，即 ∴， ∴， 把代入． 得： 解得：   ∴抛物线的解析式为： （2）①设的解析式为：， ∵,，所以解得， 所以的解析式为：， 设， 则， ∵ ∴ 解得：（舍） 或， ∴； ②∵M在直线上， 且， 设， ∴ 分三种情况： i） 当时， ∴ 解得： ∴ ii） 当时， ∴ 解得：或 ∴， iii） 当时， ∴ 解得：或 ∴或 综上，点 M的坐标为： 或或或或 【考点评析】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理的运用，等腰三角形的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用． 18．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．    (1)试求出点B的坐标． (2)分别求出直线和抛物线的解析式． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或或或 【思路点拨】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标； （2）用待定系数法即可求解函数解析式； （3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可． 【规范解答】（1） 解：∵点，即． ∵， 在中，根据勾股定理得， 即点B坐标为． （2） 把分别代入中， 得，解得． ∴直线解析式为； 把、、分别代入得 ，解得． ∴抛物线的解析式是． （3） 在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下： ∵抛物线的解析式是， ∴抛物线对称轴为直线． 设点P坐标为． ①当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ②当时，有． ∵，，， ∴， 解得：， 故点； ③当时，有． ∵，，， ∴． 解得：，， ∴， ． 综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或． 【考点评析】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏． 19．（2023·江苏盐城·一模）如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且． (1)求抛物线的解析式和b值； (2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)存在，点P的坐标为或 (3)n的取值范围为 【思路点拨】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值； （2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可； （3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与y轴交点为， ∴，， ∴， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， 将代入得， 解得； （2）解：存在； 令， 解得，， ∴，， ∵直线的解析式为， ∴， 当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1， 把代入得， ∴此时， 当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点， ∴点E的横坐标为， ∴点P的横坐标为， 把代入得， ∴此时， 综上所述，满足条件的点P的坐标为或； （3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为， 当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，可得， 即只有一个实数解， ∴， 解得； ∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为． 【考点评析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键． 20．（2022·山东济南·中考真题）抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的表达式和t，k的值； (2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，t=3， (2)点 (3) 【思路点拨】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． （2）解：如图，作轴于点， 对于，令x=0，则y=-6， ∴点C（0，-6），即OC=6， ∵A（3，0）， ∴OA=3， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵∠CAP=90°， ∴， ∵， ∴， ∵∠AOC=∠AMP=90°， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点， ∵， ∴点， ∴， ∵PN⊥x轴， ∴PN∥y轴， ∴∠PNQ=∠OCB， ∵∠PQN=∠BOC=90°， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵EN⊥y轴， ∴EN∥x轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 高频考点05：特殊四边形(二次函数综合) 21．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或 【思路点拨】（1）把代入，运用待定系数法解二次函数的解析式，即可作答． （2）因为，先排除一种情况，再进行分类讨论，即和，分别列式计算，即可作答． （3）根据菱形性质，结合图象性质，进行分类讨论，即四边形为菱形或四边形为菱形，运用中点法列式，以及勾股定理，代入数值，进行计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为：； （2）解：∵轴 ∴ ∴ ∵是直角三角形 ∴当时， ∴ ∴ ∵对称轴 ∴ 此时点P的坐标为 ∴当时， 设的解析式为 ∴把代入 ∴得 解得 ∴ 设点 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得（此时点E和点C重合，故舍去） ∴点 综上或 （3）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形 ∴ 即 则 由（2）知，此时 ∴ ∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵ ∴ ∴解得，（舍去） ∴ ∴ 综上或 【考点评析】本题考查了二次函数的几何综合，菱形性质，待定系数法解函数解析式，勾股定理，解直角三角形的相关性质，熟练运用分类讨论思想以及数形结合思想是解题的关键． 22．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题． 材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准． 请阅读上述材料，完成题目： 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在．的最大值为； (3)点坐标为或或，． 【思路点拨】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式； （2）设，则，则，根据三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题； （3）先求出抛物线的对称轴为直线得到，讨论：当时，则，利用平行四边形的性质得，从而得到此时点坐标；当时，由于点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，所以点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点，设，则，然后把代入得，则解方程求出得到此时点坐标． 【规范解答】（1）解：抛物线经过点，点， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：存在． 当，，解得，则， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； （3）解：抛物线的对称轴为直线， ， 当时，则， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点坐标为或； 当时， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 点向右平移1个单位，向下平移2个单位得到点， 设，则， 把代入得，解得，， 此时点坐标为，， 综上所述，点坐标为或或，． 【考点评析】本题考查了二次函数的综合题，二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；待定系数法求函数解析式；坐标与图形性质；运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键． 23．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3)详见解析 (4)点的坐标为：或或或 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【考点评析】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 24．（2023·江苏淮安·二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点，与y轴交于点C，P为抛物线上一动点．        (1)写出抛物线的对称轴为直线______，抛物线的解析式为______； (2)如图2，连结，若P在上方，作轴交于Q，把上述抛物线沿射线的方向向下平移，平移的距离为h，在平移过程中，该抛物线与直线始终有交点，求h的最大值； (3)若P在上方，设直线，与抛物线的对称轴分别相交于点F，E，请探索以A，F，B，G（G是点E关于x轴的对称点）为顶点的四边形面积是否随着P点的运动而发生变化，若不变，求出这个四边形的面积；若变化，说明理由． (4)设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形为矩形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)h的最大值为 (3)不变，这个四边形的面积为16 (4)存在，点P的横坐标为， 【思路点拨】（1）根据二次函数图象与x轴的交点坐标即可求得对称轴，再利用待定系数法求函数解析式即可； （2）利用待定系数法求直线的解析式，设平移后函数解析式为：，建立方程组可得，再根据抛物线与直线始终有交点，可得，再进行计算即可； （3）分别求出直线、的解析式，再令，分别求得点F、E、G的坐标，从而求得、的值，即可求得四边形的面积； （4）分两种情况，点N在y轴上，点N在x轴上，分别进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于点和点， ∴抛物线对称轴为：， 把点和点代入得：， 解得， ∴二次函数解析式为：， 故答案为：，； （2）解；∵抛物线， ∴， 设直线的解析式为；， 把点和点代入得：，解得：， ∴一次函数解析式为：， 设平移后函数解析式为：， 建立方程组得：， ∵抛物线与直线始终有交点， ∴， ∴， ∴h的最大值为：； （3）解：如图，设， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∵G是点E关于x轴的对称点， ∴， ∵，， ∴；    （4）解：存在，理由如下： 如图1，当点N在y轴上时，四边形是矩形，此时点P的横坐标为：，        如图2，当四边形是矩形时，设，，则， 由题意得：，得，解得：， 综上所述，点P的横坐标为：，． 【考点评析】本题考查用待定系数法求二次函数和一次函数解析式、二次函数与x轴的交点坐标与对称轴的关系、二次函数与一元二次方程、一次函数与二元一次方程组、解二元一次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论的思想，利用参数构建方程是解题的关键． 25．（2020·江苏连云港·一模）如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式； (2)当点在线段上运动时，求线段的最大值； (3)当点在线段上运动时，若是以为腰的等腰直角三角形时，求的值； (4)当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)的值为或 【思路点拨】（1）由、两点的坐标利用待定系数法可求得抛物线解析式，则可求得点坐标，再利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）用可分别表示出、的坐标，则可表示出的长，再利用二次函数的最值可求得的最大值； （3）由题意可得当是以为腰的等腰直角三角形时则有，且，则可求表示出点纵坐标，代入抛物线解析式可求得的值； （4）由条件可得出，结合（）可得到关于的方程，可求得的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过、两点， ∴代入抛物线解析式可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令可得，，解， ∵点在点右侧， ∴点坐标为， 设直线解析式为， 把、坐标代入可得，解得， ∴直线解析式为； （2）解：∵轴，点的横坐标为， ∴，， ∵在线段上运动， ∴点在点上方， ∴， ∴当时，有最大值，的最大值为； （3）解：由（1）（2）得点坐标为，点坐标为， ∴ ∵ ∴ ∵轴，轴， ∴ ∴ ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，， ∴点纵坐标为， ∴，解得或， 当时，则、重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； （4）解：由（）得，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，则有， 当点在线段上时，由（）得， ∴，此方程无实数根， 当点不在线段上时，则有， ∴，解得或， 综上可知当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为或． 【考点评析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识点．在（）中用表示出的长是解题的关键，在（）中确定出是解题的关键，在（）中由平行四边形的性质得到是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大． 高频考点06：相似三角形问题(二次函数综合) 26．（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B． (1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标； (3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) (3)点E的横坐标为2或 【思路点拨】（1）把，代入，求出a和b的值，即可得出函数解析数，将抛物线解析式化为顶点式，即可得出顶点坐标； （2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到； （3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论． 【规范解答】（1）解：把，代入得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：抛物线与轴交于点， ， 设在上的高为，在上的高为， ∵与的面积相等， ∴， ， 点的纵坐标为， 当时，即， 解得（舍去），， ； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当时， 则， ， 解得或， 且， ， 当时， 则， ， 解得或不合题意舍去， 点的横坐标为或． 【考点评析】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键． 27．（2023·江苏扬州·一模）我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． (1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； (2)若△OAB是直角三角形，求a的值． 【答案】(1)， (2)或 【思路点拨】（1）将一次函数整理即可确定其总经过的点，将不等式整理，然后利用一元二次方程的解得出两个函数交点的横坐标，结合图象即可得出结果； （2）根据题意确定，，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）解：， 当时，， ∴一次函数的图像总过点； ∵， ∴整理为：， 当时， 解得：， 由函数图象得：不等式的解集为； 故答案为：，； （2）由题意得， 解之得，， ∴，， 如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N， 当时， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 当，如图，过点A作轴，垂足为M，过点B作轴，垂足为N，同理可求， 当时，如上图，在锐角的内部，所以这种情况不可能； 综上可得：或． 【考点评析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，包括一次函数的基本性质，利用图象求不等式的解集，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 28．（22-23九年级下·重庆北碚·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接，点P为直线上方抛物线上一动点，连接交于点Q． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当的值最大时，求点P的坐标和的最大值； (3)把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线，M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的N点的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)，取得最大值 (3)或或 【思路点拨】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）运用待定系数法求得直线的解析式为，如图1，过点P作轴交于点D，设，则，证明，得出：，运用求二次函数最值方法即可得出答案； （3）设，，分三种情况：①当为的边时，②当为的边时，③当为的对角线时，运用平行四边形性质即可求得答案． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴交于、两点（点A在点B的左侧）， ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：抛物线与y轴交于点C， ， ， 设直线的解析式为，把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 如图1，过点P作轴交于点D， 设，则， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时，； （3）解：∵向右平移1个单位，再向上平移2个单位得新抛物线， 新抛物线解析式为，对称轴为直线， 设，， ①当为的边时， 则，， ， 解得：， ； ②当为的边时， 则，， ， 解得：， ； ③当为的对角线时， 则， 解得：， ； 综上所述，N点的坐标为： 或或． 【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，抛物线的平移，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握铅锤法、中点坐标公式，运用数形结合思想、分类讨论思想是解题关键． 29．（2022·山东济南·模拟预测）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，抛物线经过点A，B． 　 (1)求点B的坐标和抛物线的解析式； (2)M为线段上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线及抛物线分别交于点P，N．若以B，P，N为顶点的三角形与相似，求点M的坐标； (3)将抛物线在之间的部分记为图象L，将图象L在直线上方部分沿直线翻折，其余部分保持不动，得到一个新的函数图象，记这个函数的最大值为a，最小值为b，若，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【规范解答】（1）解：将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， ∴点B坐标为． 将代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴当时， ， 此时； 当时， ， 如图，当时，， ∴点B，N关于抛物线对称轴对称， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， ∵点B坐标为， ∴点N坐标为， ∴点M坐标为； 如图，当时， ，作轴于点C， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得或0（舍去）， ∴点M坐标为； 综上所述，点M坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴翻折后顶点坐标为， 当点A为最低点时，，解得， 令， 解得， ∴． 【考点评析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的性质，通过分类讨论求解． 30．（2021·江苏泰州·二模）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+m（k＞0）过点B，且与抛物线交于另一点D（点D与点A不重合），交y轴于点C．过点D作DE⊥x轴于点E，连接AB，CE． ①若k＝1，求△CDE的面积； ②求证：CE∥AB． 【答案】（1）y=x2-4x；（2）①；②见解析 【思路点拨】（1）先求出A点的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①先求出直线BD的解析式，然后得到D点的坐标，由此求解即可； ②过点B作BF⊥x轴于F，则∠AFB=∠COE=90°，由（1）得A（4，0），B（2，-4），则AF=2，BF=4，，联立得，，求得，从而可以得到，即可证明△AFB∽△EOC，得到∠FAB=∠OEC，由此即可证明． 【规范解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a＞0，b＜0）交x轴于O，A两点，顶点为B（2，－4） ∴抛物线的对称轴为， ∴A（4，0） ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）①当k=1时，直线的解析式为， ∵直线经过B（2，-4）， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 解得或（舍去） ∴D（3，-3）， ∴DE=3，OE=3， ∴； ②如图，过点B作BF⊥x轴于F， ∴∠AFB=∠COE=90°， 由（1）得A（4，0），B（2，-4）， ∴F（2，0）， ∴AF=2，BF=4， ∴ 联立得， ∴， ∴， ∴OE=， ∵C是直线与y轴的交点， ∴C（0，m）， ∴OC=-m， ∴， ∴， ∴△AFB∽△EOC， ∴∠FAB=∠OEC， ∴AB//CE． 【考点评析】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质与判定，平行线的判定，一元二次方程根与系数的关系等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 高频考点07：其他问题（二次函数综合) 31．（2024·江苏连云港·模拟预测）距离2024巴黎奥运会开幕还有不到3个月的时间，为抢占奥运商机，苏州一民营企业成功开发出成本价为4元/件的奥运特色商品，经市场调研发现：销售单价x（单位：元）与月销售量y（单位：万件）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)设销售该商品月利润为w（万元），求出月利润的最大值． 【答案】(1) (2)当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为144万元 【思路点拨】本题考查反比例函数与二次函数的综合应用，反比例函数与一次函数的综合应用，理解题意，运用分类思想以及数形结合思想确定出函数解析式是解题的关键． （1）依据待定系数法，分情况即可求出（万件）与（元件）之间的函数关系式； （2）分、两种情况，分别求出的最大值，进而求解． 【规范解答】（1）解：当时，设， 将代入得， 与之间的函数关系式为； 当时，设， 将，代入得， 解得， 与之间的函数关系式为， 综上所述，； （2）解：当时， ， ， 随的增大而增大， 故当时，取得最大值为80； 当时， ， ，故函数有最大值， 当时，， ， 当每件的销售价格定为16元时，月利润的最大值为114万元． 32．（2024·江苏无锡·一模）某数学兴趣小组，开展项目式学习，问题如下：如图，抛物线与x轴正半轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C，点P为抛物线上位于第一象限内的一动点（P在B的右侧），过点A、P的直线交y轴于点M，过点B、P的直线交y轴于点N．试探究之间的数量关系．为研究该问题，小组拟采用问题研究的一般路径一一从特殊到一般的研究方法： (1)设，，． ①若点P的横坐标为3，请计算______；比较大小：______（填“<”，“>”或“=”）． ②若点P的横坐标为m，上述与之间的数量关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由． (2)小明在研究时发现：当A、B两点的横坐标为时，将抛物线变形为，研究此问题更加方便，请借助小明的发现再次探究与之间的数量关系． (3)连接 请利用上述经验，解决项目式问题，若，请直接写出k的取值范围______． 【答案】(1)①，=；②与之间的数量关系仍然成立，理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）①由题意得，抛物线的表达式为：，得到点、的坐标分别为：、，由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点的坐标为：，同理可得，点，即可求解； ②求出点的坐标为：，同理可得，点，即可求解； （2）求出点的坐标为：，，同理可得，点，，即可求解； （3）由，即可求解． 本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、二次函数的线段面积的计算等，属于探究行题目，难度适中． 【规范解答】（1）解：①由题意得，抛物线的表达式为：， 当时，，即点， 令，则或2， 即点、的坐标分别为：、， 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，则点的坐标为：， 同理可得，点， 则，， 即，， 故答案为：，； ②与之间的数量关系仍然成立，理由如下： 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点的坐标为：， 同理可得，点， 则，， 即，； 即； （2）解：我的猜想是；理由如下： 设点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点的坐标为：，， 同理可得，点，， 则，， 即； （3）解：如图所示：连接 ， 设， 由题意得： ， ， 故答案为：． 33．（2024·江苏南通·一模）在二次函数的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足． (1)求p的值； (2)记时二次函数的最大值为，最小值为．若，求的取值范围； (3)连接．当时，作，垂足为点是否存在最大值？若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在最大值， 【思路点拨】对于（1），将点P的坐标代入关系式，再根据点的位置得出答案； 对于（2），先设点A，B的坐标，进而求出a的取值范围，再结合二次函数图象的性质分段判断求出最值的差，即可得出答案； 对于（3），先设点A，B的坐标，并作出辅助线，再根据正切值相等得出关于a，b的等式，然后求出直线的关系式，可得直线恒过某一点，再根据三角形边角关系得出答案． 【规范解答】（1）把点代入， 得， 解得或0. 又∵点P在第二象限，， ∴； （2）由题意得，点A和点B的坐标分别是和， 且，即． ①当时，，，， ∴． ②当时，，，， ∴． ③当时，，，， ∴．   综上，的取值范围为． （3）如图，设，， 过点P作直线轴，作直线l于点C，作直线l于点D， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， 化简得． 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为． ∵当时，恒有， ∴直线过定点． 当点H和Q不重合时，， ∴当取得最大值时，点H和Q重合． 此时，． 【考点评析】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求一次函数关系式，锐角三角函数，二次函数图象的性质，构造辅助线是解题的前提，注意多种情况讨论． 34．（2023·江苏常州·二模）已知二次函数，图象记为L．    (1)如图，时，求该二次函数图象的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象，记为．设上的一点P的坐标为． ①当m满足 时，n随m的增大而增大； ②当时，过点P作y轴垂线，分别交L、于点M、N．若将的面积分成两部分，求点P坐标； (3)若点在二次函数图象上，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 (3)或 【思路点拨】（1）把代入即可求得抛物线解析式，再化为顶点式即可得出顶点坐标； （2）①运用二次函数性质即可解答；②根据题意可得的解析式为，设，则，可得，，然后分两种情况：当时，当时，分别建立方程求解即可得出答案； （3）求出抛物线的顶点坐标为，当时，顶点为最高点，当时，顶点为最低点，列出不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，． ∴该二次函数图象的顶点坐标为． （2）解：①由（1）得：抛物线L的解析式为， ∵的图象是将二次函数的图象向右平移2个单位，与二次函数的图象组成一个新的函数图象， ∴的图象开口向上，对称轴直线为，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，n随m的增大而增大． 故答案为：． ②由①得：的解析式为， 设，则， ∴， 由，得或， ∴， 如图，    ∴， 当时，， ∴，即， 解得：， ∴； 当时，， ∴，即， 解得：， ∴； 综上所述，点P坐标为或； （3）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：； ∴a的取值范围为或． 【考点评析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、通过解方程组求函数图象的交点坐标、一元二次方程的解法、定义新函数问题的求解等知识与方法，第（2）②问运用分类讨论思想是解题关键． 35．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式； (2)设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； (3)如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是定值，． 【思路点拨】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$