专题06 二次函数及与方程、不等式的综合（17个高频考点51题）-2025年中考数学复习高频考题专项训练（江苏专用）

专题06 二次函数及与方程、不等式的综合 （17个高频考点51题） 高频考点01：求抛物线与x轴的交点坐标 1 高频考点02：求抛物线与y轴的交点坐标 3 高频考点03：已知二次函数的函数值求自变量的值 4 高频考点04：抛物线与x轴的交点问题 5 高频考点05：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 6 高频考点06：求x轴与抛物线的截线长 8 高频考点07：图象法确定一元二次方程的近似根 10 高频考点08：图象法解一元二次不等式 12 高频考点09：利用不等式求自变量或函数值的范围 13 高频考点10：根据交点确定不等式的解集 14 高频考点11：图形问题(实际问题与二次函数） 15 高频考点12：图形运动问题(实际问题与二次函数） 17 高频考点13：拱桥问题(实际问题与二次函数) 19 高频考点14：销售问题(实际问题与二次函数) 21 高频考点15：投球问题(实际问题与二次函数) 23 高频考点16：喷水问题(实际问题与二次函数) 25 高频考点17：其他问题(实际问题与二次函数） 27 高频考点01：求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 3．（2023·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数． (1)当时，求二次函数上的“零和点”． (2)若二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，求的值． 高频考点02：求抛物线与y轴的交点坐标 4．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度交y轴于点C，则点C的坐标是 ． 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（  ） ①图象具有对称性，对称轴是直线；    ②由图象得，，； ③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为； ④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的． A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2021·江苏南京·一模）已知二次函数y＝mx2－2（m＋1）x＋4（m为常数，且m≠0）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； （2）不论m为何值，该函数的图像都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ； （3）该函数图像所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图像所经过的象限及对应的m的取值范围． 高频考点03：已知二次函数的函数值求自变量的值 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，某跳水运动员在米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 8．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆． (1)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? (2)试说明租赁公司的日收益能否为4500元? 9．（2017·江苏盐城·二模）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系． (1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)； (2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大？并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支) (3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元？ 高频考点04：抛物线与x轴的交点问题 10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数） (1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点； (2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ； (3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围． 11． （2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 12．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）． (1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值； (2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值． 高频考点05：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 13．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，6．其中正确结论的个数是（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 14．（21-22九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．    15．（2023·山东济宁·一模）数形结合是解决数学问题的重要方法，小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图像，请根据函数图像，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：__________； ②方程的解为：________________； ③若方程有四个实数根，则a的取值范围是__________． (2)延伸思考． ①将函数的图像经过怎样的平移可得到函数的图像？画出平移后的图像； ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围_________． 高频考点06：求x轴与抛物线的截线长 16．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 17．（2022·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）． (1)若a=-1，m=1，n=3， ①求线段AB的长； ②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化； (2)若点A在直线BC的上方， ①求m 的取值范围； ②令h=m²，一定存在一个a的，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围． 18．（2012·江苏盐城·中考真题）在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为. （1）求该二次函数的表达式； （2）设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间 ≥)的变化规律为.现以线段为直径作. ①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系?请说明你的理由； ②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交?此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值. 高频考点07：图象法确定一元二次方程的近似根 19．（2022·江苏宿迁·一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5． (1)如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1） (2)选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 　 　． A，有两个负根，一个正根 B．有三个负根 C．有一个负根，两个正根 D．有三个正根 20．（21-22九年级上·北京门头沟·期末）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    21．（2023·湖北武汉·一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（    ） A． B． C． D． 高频考点08：图象法解一元二次不等式 22．（2024·江苏扬州·一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 23．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 24．（2023·江苏宿迁·一模）已知抛物线． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； (3)设该抛物线上有两点，若，求m的取值范围． 高频考点09：利用不等式求自变量或函数值的范围 25．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 26．（2024·江苏南京·模拟预测）在二次函数中． (1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个公共点 (2)当时，的最小值为，则的值为________． (3)当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是________． 27．（2024·山东济南·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； (3)平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上； ①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______； ②定义，则函数的最大值为______． 高频考点10：根据交点确定不等式的解集 28．（2024·江苏宿迁·三模）二次函数的图象过点，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数与（a为常数，且）． (1)若，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； (2)若，当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 30．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）一次函数的图象与二次函数的图象交于点，   . (1)确定二次函数的表达式； (2)请在如图所示的网格中画出二次函数的图象； (3)根据函数的图象直接写出不等式的解集. 高频考点11：图形问题(实际问题与二次函数） 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知：矩形中，，点E是边上一点，，连接，沿翻折使点B落在点F处，连接． (1)如图1，若， ； (2)当C，F，A三点共线时，求此时m的值； (3)连接，①当最短时，求m 的值； ②若，求m的取值范围． 32．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 33．（2024·江苏盐城·二模）校园内有一块三角形空地（如图中的），经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的）种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 高频考点12：图形运动问题(实际问题与二次函数） 34．（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 35．（9-10九年级·重庆·期中）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 36．（2020·江苏苏州·二模）如图1，在中，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动设运动时间为的面积为关于的函数图像由两段组成，如图2所示． （1）求的值； （2）求图2中图像段的函数表达式； （3） 当点运动到线段上某一段时，的面积大于当点在线段上任意一点时的面积，求的取值范围.(直接写出答案) 高频考点13：拱桥问题(实际问题与二次函数) 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 38．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 39．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 高频考点14：销售问题(实际问题与二次函数) 40．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 41．（2024·江苏无锡·模拟预测）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． (1)求线段所表示的与之间的函数表达式； (2)若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若，该产品获得的利润最大利润是______． 42．（2024·江苏泰州·一模）学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同． (1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本； (2)求m的取值范围； (3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？ 高频考点15：投球问题(实际问题与二次函数) 43．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 44．（2024·河北邯郸·一模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由． 45．（2021·江苏南京·二模）如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． （1）分别求出与x之间的函数表达式． （2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中． ①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等； ②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 高频考点16：喷水问题(实际问题与二次函数) 46．（2023·江苏泰州·三模）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系．    (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 ①根据上述数据，求满足的函数关系； ②当喷水头喷出的水柱高度为2.80m时，x的值______． (2) 又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围． 47．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 48．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）． (1)柱子OA的高度是______米； (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 高频考点17：其他问题(实际问题与二次函数） 49．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 50．（18-19九年级上·全国·期中）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 51．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 二次函数及与方程、不等式的综合 （17个高频考点51题） 高频考点01：求抛物线与x轴的交点坐标 1 高频考点02：求抛物线与y轴的交点坐标 7 高频考点03：已知二次函数的函数值求自变量的值 10 高频考点04：抛物线与x轴的交点问题 14 高频考点05：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 19 高频考点06：求x轴与抛物线的截线长 23 高频考点07：图象法确定一元二次方程的近似根 32 高频考点08：图象法解一元二次不等式 36 高频考点09：利用不等式求自变量或函数值的范围 43 高频考点10：根据交点确定不等式的解集 50 高频考点11：图形问题(实际问题与二次函数） 54 高频考点12：图形运动问题(实际问题与二次函数） 60 高频考点13：拱桥问题(实际问题与二次函数) 67 高频考点14：销售问题(实际问题与二次函数) 72 高频考点15：投球问题(实际问题与二次函数) 78 高频考点16：喷水问题(实际问题与二次函数) 83 高频考点17：其他问题(实际问题与二次函数） 86 高频考点01：求抛物线与x轴的交点坐标 1．（2024·江苏盐城·三模）如图，抛物线与轴交于点A，与x轴交于点B、C，已知． (1)求抛物线的表达式，并求出点C的坐标． (2)点M是抛物线(第一象限内)上的一个动点，连接，当面积最大时，求M点的坐标． (3)若点M坐标固定为，Q是抛物线上除M点之外的一个动点，当与的面积相等求出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为：或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线的性质、面积的计算等，用平行线的方法处理面积之间的关系是解题的关键． （1）用待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）由面积，即可求解； （3）过点M作直线交y轴于点R，得到直线的表达式为：，即可求解；过点T作直线，得到直线的表达式为：，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 令，则，解得：（舍去）或， 即； （2）解：过点M作轴交于点H， 由点A、B的坐标设直线的表达式为：，则，解得：， 故直线的表达式为：， 设点，则点， 则面积， ∵，故当时，面积最大， 此时点； （3）解：由（2）知，直线的表达式为：， 过点M作直线交y轴于点R， 设直线的表达式为：，则，解得：， 则直线的表达式为：，则点， 则， 联立和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3，即点， 则点A下方取点T，使，则点， 过点T作直线， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则点或， 综上，点Q的坐标为：或或． 2．（22-23九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连结，作直线． (1)求b、c的值； (2)求点A、B的坐标； (3)求证：； (4)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2)、的坐标分别为、； (3)详见解析 (4)点的坐标为：或或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、求抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）令，解得或，即可求解； （3）由，，即可求解； （4）当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式列出方程组，进而求解；当、是平行四边形的对角线时，同理可解． 【规范解答】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 即，； （2）解：令， 解得：或， 故点、的坐标分别为、； （3）证明：由抛物线的表达式知：点， 则点， 则，，， ，， ； （4）解：设点，点，， 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得：， 解得：舍去或， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点的坐标为或， 综上，点的坐标为：或或或． 【考点评析】本题是二次函数的综合题，主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 3．（2023·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数． (1)当时，求二次函数上的“零和点”． (2)若二次函数的图像上有且只有一个“零和点”，求的值． 【答案】(1)或 (2)4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标 【思路点拨】（1）设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，即，解出a的值，并代入计算即可． （2）设二次函数图象上的“零和点”坐标为，则有，即，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，可知，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ 设二次函数图象上的“零和点”坐标为， 将代入得，，即， 解得：， ∴二次函数上的“零和点”或 （2）解：设二次函数图象上的“零和点”坐标为， 将代入得，，即， ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点”， ∴， 解得， 【考点评析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的根的判别式．解题的关键掌握二次函数与二次方程之间的关系． 高频考点02：求抛物线与y轴的交点坐标 4．（2024·江苏徐州·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度交y轴于点C，则点C的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、二次函数图象的平移 【思路点拨】本题考查了函数的平移规律（左加右减，上加下减），以及二次函数与坐标轴交点，根据平移规律得到平移后的二次函数解析式，即可得到二次函数与y轴的交点坐标． 【规范解答】解：二次函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度， 平移后的二次函数解析式为， 整理得， 点C的坐标是， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（  ） ①图象具有对称性，对称轴是直线；    ②由图象得，，； ③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为； ④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，求二次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质，求出原二次函数解析式． ①根据二次函数与x轴的交点坐标进行判断即可； ②求出原函数的解析式进行判断即可； ③求出原函数图象与y轴的交点坐标，然后得出新的函数与y轴的交点坐标进行判断即可； ④先说明的图象与的图象关于x轴对称，然后进行判断即可． 【规范解答】解：①∵二次函数的图象与x轴的交点为：，， ∴二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确； ②由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为， ∴该二次函数的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ ， ∴，，，故原说法错误； ③把代入得：， ∴原函数与y轴的交点坐标为， ∵把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数， ∴该“陷阱”函数与y轴交点坐标为，故此说法正确； ④∵， ∴的图象与的图象关于x轴对称， ∴的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确； 综上分析可知，正确的结论有3个，故C正确． 故选：C． 6．（2021·江苏南京·一模）已知二次函数y＝mx2－2（m＋1）x＋4（m为常数，且m≠0）． （1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； （2）不论m为何值，该函数的图像都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别为 ； （3）该函数图像所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图像所经过的象限及对应的m的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）（0，4）、（2，0）；（3）m＜0时，函数图像过一、二、三、四象限；m＝1时，函数图像过一、二象限；0＜m＜1或m＞1时，函数图像过一、二、四象限 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【思路点拨】（1）令y＝0，然后根据根的判别式大于等于0即可证明； （2）分别令和即可得出顶点坐标； （3）通过定点坐标及顶点坐标分情况讨论即可求解． 【规范解答】解：（1）令y＝0，即mx2－2（m＋1）x＋4＝0， b2－4ac＝[－2（m＋1）]2－4m×4， ＝4m2－8m＋4＝4（m－1）2≥0，所以方程总有实数根． ∴该函数的图像与x轴总有公共点； （2）y＝mx2－2（m＋1）x＋4= 令y＝0，解得， ∴函数过定点（2，0）， 令x＝0，此时， ∴函数过定点（0，4）， ∴不论m为何值，该函数的图像都会经过两个定点，这两个定点的坐标分别（0，4）、（2，0）； （3）由（2）可知抛物线过定点（0，4）、（2，0）， y＝mx2－2（m＋1）x＋4=， ∴顶点坐标为， 当m＜0时，开口向下， ∴函数图像过一、二、三、四象限； 当m＝1时，函数图像过一、二象限； 当0＜m＜1，开口向上，， ∴函数图像过一、二、四象限； 或m＞1时，开口向上， ∴函数图像过一、二、四象限． 【考点评析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质是关键． 高频考点03：已知二次函数的函数值求自变量的值 7．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，某跳水运动员在米跳台上进行跳水训练，水面边缘点E的坐标为，运动员(将运动员看成一点)在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A点的坐标为，正常情况下，运动员在距水面高度5米之前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点B的坐标． (2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为4米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)不会，理由见解析 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）设运动员在空中运动时对应抛物线的解析式为，将代入，计算求解可得；然后将代入，计算求解可得点坐标； （2）由题意知，运动员在空中调整好入水姿势的点的横坐标为3，当时，，可知调整好入水姿势的点的坐标为，进而可得运动员此时距离水面，根据，判断作答即可． 【规范解答】（1）解：设运动员在空中运动时对应抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴运动员在空中运动时对应抛物线的解析式为； 将代入得，， 解得，或， ∴； （2）解：不会，理由如下： ∵E的坐标为， ∴运动员在空中调整好入水姿势的点的横坐标为3， 当时，， ∴调整好入水姿势的点的坐标为， ∴运动员此时距离水面， ∵， ∴运动员此次跳水不会失误． 8．（22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）现在，租赁汽车已成为外出旅行时的一种重要的交通方式．某租赁公司拥有20辆小型汽车，公司平均每日的各项支出共6250元．当每辆车的日租金为500元时，可全部租出：当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆． (1)当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大?最大是多少元? (2)试说明租赁公司的日收益能否为4500元? 【答案】(1)每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元 (2)租赁公司的日收益不能为4500元，理由见解析 【知识点】列二次函数关系式、y=ax²+bx+c的最值、已知二次函数的函数值求自变量的值、其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，根据题意列出关系式，求出最值即可； （2）把代入，求出x的值，根据x取整数进行判断即可． 【规范解答】（1）解：设每日租出x辆，租赁公司日收益为y元，根据题意得： ， 当时，y的值最大，最大值是5000， ∴每日租出15辆时，租赁公司日收益最大，最大收益为5000元． （2）解：根据题意，当时，即， 解得：． ∵x必须取整数， ∴不合题意， ∴租赁公司的日收益不能为4500元． 【考点评析】本题主要考查了二次函数的应用，已知函数值求自变量的值，解题的关键是根据题意列出二次函数解析式． 9．（2017·江苏盐城·二模）某公司销售某一种新型通讯产品，已知每件产品的进价为4万元，每月销售该种产品的总开支(不含进价)总计11万元，在销售过程中发现，月销售量y(件)与销售单价x (万元)之间存在着如图所示的一次函数关系． (1)求y关于x的函数关系式(直接写出结果)； (2)试写出该公司销售该种产品的月获利z(万元)关于销售单价x(万元)的函数关系式、当销售单价x为何值时，月获利最大？并求这个最大值(月获利一月销售额一月销售产品总进价一月总开支) (3)若公司希望该产品一个月的销售获利不低于5万元，借助（2）中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少万元？ 【答案】(1) (2)，当万元时，月获利最大，最大月获利为7万元 (3)销售单价应定为8万元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、已知二次函数的函数值求自变量的值、y=ax²+bx+c的最值、求一次函数解析式 【思路点拨】（1）设直线解析式为y=kx+b，把已知坐标代入求出k，b的值后可求出函数解析式； （2）根据题意可知z=，把x=10代入解析式即可； （3）令z=5，代入解析式求出x的实际值，根据图象作出判断即可． 【规范解答】（1）解：设y关于x的函数关系式为，根据题意得：， 解得：， ． （2）解： 当万元时，月获利最大，最大月获利为7万元． （3）令， 得， 整理得：， 解得：，， 由图象可知，要使月获利不低于5万元，销售单价应在8万元到12万元之间．又因为销售单价越低，销售量越大，所以要使销售量最大，又要使月获利不低于5万元，销售单价应定为8万元． 【考点评析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象和性质，是解题的关键． 高频考点04：抛物线与x轴的交点问题 10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数） (1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点； (2)该函数一定经过两个定点，分别是 ， ； (3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)，； (3)的取值范围为或． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （）根据二次函数与一元二次方程的联系即可求解； （）先令，然后解一元二次方程即可； （）根据图象分情况即可； 【规范解答】（1）证明：由， ∵， ∴， ∴该二次函数图像与轴有两个公共点； （2）解：， 当时，都有， ∵， ∴或， 该函数一定经过两个定点，分别是，， 故答案为：，； （3）解：如图，时，不少于两个交点， 如图， 当经过时，， 解得：， ∴当时，不少于两个交点， 综上可知：的取值范围为或． 11．（2024·江苏镇江·中考真题）对于二次函数（a是常数），下列结论：①将这个函数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当时，这个函数的图像在函数图像的上方；③若，则当时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线与直线没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④． 【规范解答】解：将二次函数是常数）的图象向下平移3个单位长度后得到， 当时，， 平移后的函数的图象经过原点， 故①正确； 当时，则， 令，即， ， 抛物线与直线没有交点， 抛物线开口向上， 当时，这个函数的图象在函数图象的上方； 故②正确； 二次函数是常数）， 开口向上，对称轴为直线， 当时，函数值随自变量增大而增大， 故③错误； ， 顶点为， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 12．（2024·江苏南京·模拟预测）已知函数（a是常数）． (1)若该函数的图象与x轴只有1个公共点，求a的值； (2)当时，设该函数图象的顶点为M，与y轴交点为C，平面直角坐标系原点为O，若点C关于的对称点恰好在x轴上，直接写出a的值． 【答案】(1)或 (2)当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上． 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】本题主要考查了二次函数系数与函数图象的关系． （1）需考虑为0和不为0的情况，当时图象为一直线；当时图象是一抛物线，由判别式判断； （2）先求得抛物线的顶点为，利用待定系数法求得直线的解析式，再求得点C关于的对称点的坐标为或，根据两对称点的中点在直线上，求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，函数为，它的图象显然与轴只有一个交点； 当时，依题意得方程有两相等实数根， ∴， ∴， ∴当或时函数图象与轴只有一个交点； （2）解：∵， ∴顶点为， 令，则， ∴， ∵点C关于的对称点恰好在x轴上， ∴这个对称点的坐标为或， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 和的中点坐标为，在直线上， ∴， 解得； 和的中点坐标为，在直线上， ∴， 解得； ∴当或时，点C关于的对称点恰好在x轴上． 高频考点05：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 13．（2023·辽宁丹东·二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，其部分图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于x的一元二次方程的两根分别为，6．其中正确结论的个数是（　　）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断①；由当时，即可判断②；由，当时，，即可判断③；由抛物线经过点，则抛物线与直线有一个交点的坐标为，抛物线的对称轴为直线，得到抛物线与直线还有一个交点的坐标为，即可判断④． 【规范解答】解：由二次函数图象可知， ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的一个交点为， ∴当时，，即， 故②错误， ∵，当时，， ∴， 故③正确； 若抛物线经过点，则抛物线与直线有一个交点的坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与直线还有一个交点的坐标为， 即关于x的一元二次方程的两根分别为，6． 故④正确， 故正确结论为①③④， 故选：B 【考点评析】此题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质判断某些式子的符号是解题的关键． 14．（21-22九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，已知二次函数的图象，且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．    【答案】①③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【思路点拨】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④． 【规范解答】解：抛物线与轴有两个交点， ，①正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴， ，，， ， ，②错误； 方程没有实数根， ，③正确； ，， ，④正确． 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 15．（2023·山东济宁·一模）数形结合是解决数学问题的重要方法，小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图像，请根据函数图像，回答下列问题： (1)观察探究： ①写出该函数的一条性质：__________； ②方程的解为：________________； ③若方程有四个实数根，则a的取值范围是__________． (2)延伸思考． ①将函数的图像经过怎样的平移可得到函数的图像？画出平移后的图像； ②观察平移后的图像，当时，直接写出自变量x的取值范围_________． 【答案】(1)①函数图像关于轴对称；②或或；③； (2)①见解答；②． 【知识点】从函数的图象获取信息、二次函数图象的平移、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法解一元二次不等式 【思路点拨】（1）①根据图像，可得出对称性，②利用数形结合的思想，根据图象与坐标轴的交点即可得出，③利用数形结合即可求得； （2）①根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图像，②根据图像即可得到结论． 【规范解答】（1）解：观察探究： ①该函数的一条性质为：函数图像关于轴对称； ②方程的解为：或或； ③若方程有四个实数根，则的取值范围是． 故答案为：函数图像关于轴对称；或或；． （2）解：①将函数的图像向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图像， ②当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，二次函数图像和性质，解题的关键是利用数形结合来求解． 高频考点06：求x轴与抛物线的截线长 16．（2024·江苏南通·三模）已知抛物线的顶点为，抛物线与直线交于、两点，点 在点 的左侧． (1)直线经过定点 ，点 的坐标是____________； (2)如果直线 绕点旋转的过程中，与 始终互相垂直，求 的值； (3)抛物线与 轴交于点 ，直线与 轴交于点 ，如果 ，求 的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小为 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、求x轴与抛物线的截线长、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】（1）把一次函数解析式化为即可得到定点坐标； （2）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到,然后求得，然后过点A作轴于点G，点B作轴于点F，则有，即，即，联立解方程即可； （3）连接，则轴且，则，然后求出，根据题意得，然后根据，利用二次函数的性质解题即可． 【规范解答】（1）解： ∴直线经过定点. （2）解：抛物线的顶点坐标为， 设点A的坐标为，点B的坐标为， 联立与 得, ∴, ∴， 如图，过点A作轴于点G，点B作轴于点H， 则， ∴， ∴， ∴，即， 即，即， ∴ ∴， 即， 解得：； （3）如图，连接， 则轴且， ∴， 当时，， ∴点F的坐标为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：，或 当点E在F上方时， 又∵， ∴当时，最小，最小为； 当点E在F下方时， 又∵ 综上所述，最小值为． 【考点评析】本题考查二次函数和一次函数的图像和性质，一元二次方程与二次函数的联系，根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键． 17．（2022·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=a（x-m）（x-n）（a＜0，m＜n）与x轴交于A、B（点A在点B的左边），与y轴相交于点C．直线y=h与抛物线相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点（P、Q不重合），与直线BC交于点N（x3，y3）． (1)若a=-1，m=1，n=3， ①求线段AB的长； ②当h＜1时，证明：x1+x2的值不会随着h的变化而变化； (2)若点A在直线BC的上方， ①求m 的取值范围； ②令h=m²，一定存在一个a的值，对于任何符合（t＞0）的m、n均可以使得x1+x2-x3恒为定值，求a的值以及t的取值范围． 【答案】(1)①2；②见解析 (2)①m＞0；②a=-1；t≥3 【知识点】不等式的性质、y=ax²+bx+c的最值、求x轴与抛物线的截线长、其他问题(二次函数综合) 【思路点拨】（1）①令，求出A，B点坐标即可求解， ②先证直线y=h与抛物线肯定有两个交点P（x1，y1）与Q（x2，y2），再由两点关于抛物线对称轴对称即可证明； （2）先求出，，，再求出直线BC的解析式，由点A在直线BC的上方得当时，，即可求出m＞0； ②先求出与，由为定值求出，再由直线与抛物线相交于不重合的两点得出，将 代入，对不等式进行变形即可求出t的取值范围． 【规范解答】（1）解：①∵a=-1，m=1，n=3， ∴抛物线的解析式为， 令得， 解得或， ∵点A在点B的左边， ∴，， ∴线段AB的长为：． ②证明：∵抛物线的解析式为， ∴时，取最大值，最大值为1， ∴当h＜1时，直线y=h与抛物线肯定有两个交点P（x1，y1）、Q（x2，y2）． ∵直线y=h与抛物线的两个交点关于对称轴对称， ∴P（x1，y1）与Q（x2，y2）关于对称轴对称， ∴ ∴， ∴x1+x2的值不会随着h的变化而变化； （2）解：①抛物线的解析式为， 令得， 解得或， ∵点A在点B的左边，m＜n， ∴，， 令得， ∴． 设直线BC的解析式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线BC的解析式为， ∵点在直线BC的上方， ∴当时，， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为，最大值为． ∵直线与抛物线相交于不重合的P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点， ∴， 方程两边同时除以得， 整理得， ∵， ∴． ∵P（x1，y1）、Q（x2，y2）两点关于对称， ∴， ∴， ∵直线与直线BC交于点N（x3，y3）， ∴． 由①得直线BC的解析式为， 将代入得， 解得， ∴， ∴， 令得， 此时为定值， 将代入， 得， ∴当时，，满足， ∴，． 【考点评析】本题考查二次函数图象与一元二次方程的关系，求一次函数解析式，解不等式等，第2问难度较大，根据直线与抛物线有两个交点列出不等式，再由为定值求出a的值是解题的关键． 18．（2012·江苏盐城·中考真题）在平面直角坐标系中,已知二次函数的图象经过点和点,直线经过抛物线的顶点且与轴垂直,垂足为. （1）求该二次函数的表达式； （2）设抛物线上有一动点从点处出发沿抛物线向上运动,其纵坐标随时间 ≥)的变化规律为.现以线段为直径作. ①当点在起始位置点处时,试判断直线与的位置关系,并说明理由；在点运动的过程中,直线与是否始终保持这种位置关系?请说明你的理由； ②若在点开始运动的同时,直线也向上平行移动,且垂足的纵坐标随时间的变化规律为,则当在什么范围内变化时,直线与相交?此时,若直线被所截得的弦长为,试求的最大值. 【答案】（1）（2）①当点在点处时，直线与相切，详见解析；在点运动的过程中，直线与始终保持相切的位置关系，详见解析；②；的最大值为 【知识点】其他问题(二次函数综合)、判断直线和圆的位置关系、求x轴与抛物线的截线长 【思路点拨】所求函数的解析式中有两个待定系数，直接将A、B两点坐标代入即可得解． ①由于OP是⊙C的直径，根据P点的纵坐标可表示出C点的纵坐标，进而能表示出C到直线l的距离；OP长易得，然后通过比较⊙C的半径和C到直线l的距离，即可判定直线l与⊙C的位置关系． ②该题要分两问来答，首先看第一问；该小题的思路和①完全一致，唯一不同的地方：要注意直线l与点C的位置关系（需要考虑到C到直线l的表达方式）． 在第二问中，a2最大，那么a最大，即直线l被⊙C截得的弦最长（为直径），此时圆心C应在直线l上，根据该思路即可得解． 【规范解答】（1）将点和点的坐标代入， 得，解得， ∴二次函数的表达式为 （2）①当点在点处时，直线与相切，理由如下: ∵点，∴圆心的坐标为， ∴的半径为， 又抛物线的顶点坐标为(0，－1)， 即直线l上所有点的纵坐标均为－1，从而圆心C到直线l的距离为，∴直线与相切． 在点运动的过程中，直线与始终保持相切的位置关系，理由如下: 方法一:设点，则圆心的坐标为， ∴圆心C到直线l的距离为， 又∵，∴， 则的半径为， ∴直线与始终相切． 方法二:设点≥1)，则圆心的坐标为， ∴的半径为， 而圆心C到直线l的距离为， ∴直线与始终相切 ②由①知，圆C的半径为． 又∵圆心C的纵坐标为，直线l上的点的纵坐标为，所以 (ⅰ)当≥，即≤时，圆心C到直线l的距离为 ，则由，得，解得， ∴此时≤； (ⅱ)当＜，即＞时，圆心C到直线l的距离为 ，则由，得，解得， ∴此时＜； 综上所述，当时，直线与相交． ∵当时，圆心C到直线l的距离为，又半径为， ∴， ∴当时，取得最大值为． 高频考点07：图象法确定一元二次方程的近似根 19．（2022·江苏宿迁·一模）我们知道，可以借助于函数图象求方程的近似解．如图（甲），把方程x﹣2＝1﹣x的解看成函数y＝x﹣2的图象与函数y＝1﹣x的图象的交点的横坐标，求得方程x﹣2＝1﹣x的解为x＝1.5． (1)如图（乙），已画出了反比例函数在第一象限内的图象，借助于此图象求出方程2x2﹣2x﹣1＝0的正数解．（要求画出相应函数的图象，结果精确到0.1） (2)选择：三次方程x3﹣x2﹣2x+1＝0的根的正负情况是 　 　． A，有两个负根，一个正根 B．有三个负根 C．有一个负根，两个正根 D．有三个正根 【答案】(1)1.4；见解析； (2)C 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、判断（画）反比例函数图象 【思路点拨】（1）根据题意可知，方程的解可看作是函数与函数的交点坐标，所以根据图象可得正数解约为； （2）方程变形为，在坐标系中画出函数与函数的图象，根据图象的交点情况即可判断． 【规范解答】（1）∵， ∴将两边同时除以， 得， 即 ， 把的正数解视为由函数与函数的图象在第一象限交点的横坐标． 如图： ∴正数解约为； （2）关于的方程变形为， 在坐标系中画出函数与函数的图象如图： 由图象可知，函数与函数的交点在第三象限一个，第四象限两个， ∴关于的方程有两个正根，一个负根， 故选：C． 【考点评析】本题考查了反比例函数和一元二次方程之间的关系，一元二次方程的解都可化为一个反比例函数和一次函数的交点问题求解． 20．（21-22九年级上·北京门头沟·期末）函数的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量的取值范围是；② 该函数有最小值；③方程有三个根；④如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有．所有正确结论的序号是 ．    【答案】①③/③① 【知识点】从函数的图象获取信息、反比例函数、二次函数图象综合判断、图象法确定一元二次方程的近似根 【思路点拨】根据函数解析式可知中，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，进而判断②，根据与存在3个交点可判断③当时，随的增大而减小，进而即可判断④ 【规范解答】解：则，，即函数图象与轴无交点， 该函数自变量的取值范围是； 故①正确； 根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值， 故②不正确； 如图与存在3个交点，则方程有三个根；    故③正确 当时，随的增大而减小，如果和是该函数图象上的两个点，当时一定有． 故④不正确 故正确的有①③ 故答案为：①③ 【考点评析】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（2023·湖北武汉·一模）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根x所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图象法确定一元二次方程的近似根、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、反比例函数与几何综合 【思路点拨】根据题意分析可得方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标，画图草图，结合图像求值即可得出结论． 【规范解答】解：∵方程， ∴， ∴方程的实数根是函数和的图象交点的横坐标， 这两个函数的图象如图所示，则它们的交点在第一象限， 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数下方； 当时，，，此时抛物线的图象在反比例函数上方； ∴方程的实根x所在范围为， 故选：B． 【考点评析】本题考查了运用图象法求一元二次方程的近似根，难度中等．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标． 高频考点08：图象法解一元二次不等式 22．（2024·江苏扬州·一模）阅读下面解题过程． 解一元二次不等式：． 解：设，解得：，，则抛物线与x轴的交点坐标为和．画出二次函数的大致图像（如图1）．由图像可知：当，或当时函数图像位于x轴上方，此时，即．所以一元二次不等式的解集为：或． 通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题： (1)上述解题过程中，除了运用了转化思想，还运用的数学思想是（    ）； A．换元思想    B．数形结合思想    C．整体思想 (2)如图2，直线：与直线：交于点，则关于x、y的方程组的解是______； (3)判断一元三次方程的实数根的个数，并说明理由． 【答案】(1)B (2) (3)只有一个实数根，理由见解析 【知识点】图象法解一元二次不等式、反比例函数、二次函数图象综合判断、两直线的交点与二元一次方程组的解 【思路点拨】本题考查二次函数与不等式(组)及一次函数与二元一次方程(组)，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键． （1）根据题中所给解题过程，可得出其中运用了数形结合的数学思想，据此可解决问题． （2）将所给方程组的解转化为所对应函数解析式图象的交点问题即可． （3）将所给一元三次方程转化为二次函数图象与反比例函数图象的交点问题即可， 【规范解答】（1）解：由题知，上述解题过程中还运用了数形结合的思想， 故选：B （2）方程组的解可看成函数与图象的交点坐标， ∵直线：与直线：交于点， 则， ∴两条直线的交点为， ∴方程组的解是， 故答案为：． （3）一元三次方程有1个实数根． 由方程得 ， ∴， ∴原方程的实数根的情况可看成函数与函数图象的交点问题， 如图所示： ， 两个函数图像只有一个交点， ∴一元三次方程只有一个实数根． 23．（2023·江苏·中考真题）已知二次函数（为常数）． (1)该函数图像与轴交于两点，若点坐标为， ①则的值是_________，点的坐标是_________； ②当时，借助图像，求自变量的取值范围； (2)对于一切实数，若函数值总成立，求的取值范围（用含的式子表示）； (3)当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，求和的值以及的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【思路点拨】（1）①待定系数法求出函数解析式，令，求出点的坐标即可；②画出函数图像，图像法求出的取值范围即可； （2）求出二次函数的最小值，即可得解； （3）根据当时（其中为实数，），自变量的取值范围是，得到和关于对称轴对称，进而求出的值，得到为的函数值，求出，推出直线过抛物线顶点或在抛物线的下方，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①∵函数图像与轴交于两点，点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点的坐标是； 故答案为：； ②， 列表如下： 1 3 4 5 0 0 5 画出函数图像如下：    由图可知：当时，或； （2）∵， ∴当时，有最小值为； ∵对于一切实数，若函数值总成立， ∴； （3）∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为， 又当时（其中为实数，），自变量的取值范围是， ∴直线与抛物线的两个交点为，直线在抛物线的下方， ∴关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值， ∴．    【考点评析】本题考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性较强，属于中考压轴题． 24．（2023·江苏宿迁·一模）已知抛物线． (1)求这条抛物线的对称轴； (2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式； (3)设该抛物线上有两点，若，求m的取值范围． 【答案】(1)直线 (2)或 (3)当时，；当时，或 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、图象法解一元二次不等式 【思路点拨】（1）由求抛物线对称轴的公式求解即可； （2）将抛物线一般式改为顶点式，即得出其顶点坐标．再根据抛物线的顶点在x轴上，即可得出关于a的方程，解出a的值即得出答案； （3）根据点关于直线的对称点为，再分类讨论：（ⅰ）当时和（ⅱ）当时，分别画出大致图象，进而可得m的取值范围． 【规范解答】（1）∵抛物线解析式为， ∴其对称轴为直线 故答案为：直线； （2）∵， ∴该抛物线顶点为． ∵抛物线顶点在x轴上，即顶点纵坐标为0， ∴， 解得：， ∴函数的表达式为或； （3）∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于直线的对称点为． 分类讨论：（ⅰ）当时，画大致图象如图， 由图可知，若，则； （ⅱ）当时，画大致图象如图， 由图可知，若，则或； 【考点评析】本题考查求二次函数对称轴的公式，二次函数一般式改为顶点式及其顶点坐标，以及根据二次函数的图象和性质求不等式的取值范围．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 高频考点09：利用不等式求自变量或函数值的范围 25．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标； (2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)或 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【思路点拨】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）先求出一次函数的解析式为，再根据题意列出不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：将点代入得：， 解得：， ， 图象顶点的坐标为． （2）解：一次函数的图象经过点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ． 点在二次函数的图象上， ， ， ，即， 令， 当时，， 解得：，， 抛物线与轴交点为和， 抛物线开口向上， 的解为：或， 的取值范围是或． 26．（2024·江苏南京·模拟预测）在二次函数中． (1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个公共点 (2)当时，的最小值为，则的值为________． (3)当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【思路点拨】（1）根据二次函数和一元二次方程的关系，利用方程的来证明即可； （2）分“当时”、“当时”、“当时”，三种情况计算讨论，得出答案即可； （3）根据二次函数对称轴公式，结合点，两点纵坐标相等可知，对称轴，结合，，列不等式求出的各种范围，综合得到完整的取值范围即可． 【规范解答】（1）证明：∵二次函数， ∴函数图象与轴相交时， ， ∴不论取何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴不论取何值，该函数图象与轴总有两个公共点； （2）解：∵二次函数，当时，的最小值为， ∴抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向上， ∴当时，即时， 的最小值， 解得∶（舍去，或； 当时，即时， 的最小值， 解得∶（舍去； 当时，即时， 的最小值， 解得∶（舍去． 综上所述，的值为， 故答案为：； （3）解：∵二次函数，点，两点纵坐标相等， ∴对称轴， ∴，， ∵， ∴，即， 将代入函数解析式，得：， 又∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴点离抛物线的对称轴比点离抛物线的对称轴远， ∴， 当时， 解得：； 当时， ， 解得：， 综上所述，的取值范围是或． 【考点评析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，二次函数图象的性质、最值问题、利用不等式求自变量或函数值的范围，存在待定参数的情况下，对可能情况作出分类讨论是解题的关键． 27．（2024·山东济南·一模）如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点． (1)求反比例函数的表达式； (2)过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标； (3)平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上； ①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______； ②定义，则函数的最大值为______． 【答案】(1) (2)点坐标为或 (3)①；② 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用不等式求自变量或函数值的范围 【思路点拨】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想． （1）先根据点求出的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中，求出，即可求解； （2）分两种情况讨论：当点在下方时，当点在上方时，结合“若的面积是面积的倍”，求出点的坐标，将点的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解； （3）①根据题意可得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，则，将其代入中，即可求解；②分为：当时，；当时，；分别解不等式即可求解． 【规范解答】（1）解：直线经过点，， ， 解得：， ， 点在直线上， ， ， ， ； （2）①当点在下方时， ， ， 过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， ， ， 把代入中， 得：， ； ②当点在上方时， ， ， 为的中点， ，， ， 把代入中，得：， ， 综上所述，点的坐标为或； （3）① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点， 得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点， ， 点恰好在反比例函数的图象上， ， ； ②．当时，， 即， 当时，， 解得：或（舍去）， 时，函数有最大值，最大值为； 当时，， 解得：， 时，函数有最大值，最大值为； ．当时，， 即， 当时，， 解得：或（舍去）， ，即； 当时，， 解得：， ，即； 综上所述，函数的最大值为， 故答案为：． 高频考点10：根据交点确定不等式的解集 28．（2024·江苏宿迁·三模）二次函数的图象过点，若关于的一元二次方程为实数）在的范围内有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交点确定不等式的解集、抛物线与x轴的交点问题 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与轴的交点及交点与一元二次方程的实数根的关系．依据题意，将代入解析式求得值，从而得出函数的解析式，将一元二次方程为实数）在的范围内有实数根可以看作与函数有交点，再由时的临界函数值及对称轴处的函数值得出的取值范围即可． 【规范解答】解：由题意，将代入二次函数， ． ． 抛物线的解析式为． 一元二次方程有实数根可以看作与函数有交点． 方程在的范围内有实数根， 又当时，；当时，；当时，， ． ． 故选：C． 29．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数与（a为常数，且）． (1)若，求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点； (2)若，当时，比较与的大小，并说明理由； (3)当时，，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；理由见解析 (3)或 【知识点】根据交点确定不等式的解集、其他问题(二次函数综合)、利用不等式求自变量或函数值的范围 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，涉及不等式，二次函数与一元二次方程的关系等知识， （1）令，得，证明，即可得与的函数图象总有两个公共点； （2）设，可得图象的对称轴为直线，故y随x的增大而增大或y随x的增大而减小，而当时，，当时，，即可知； （3）由（2）知的图象的对称轴为直线，根据当时，，可知当时，y的最大值为负数，分两种情况：当时，在时取最大值，有，当时，在顶点处，即时取最大值，有，解不等式可得答案； 解题的关键是掌握二次函数的性质． 【规范解答】（1）令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即与的函数图象总有两个公共点； （2）设， ∵函数的图象的对称轴为直线， ∴函数的图象在时，y随x的增大而增大或y随x的增大而减小， 当时，， ∵， ∴，即时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，当时，； （3）由（2）知的图象的对称轴为直线， ∵当时，， ∴当时，y的最大值为负数， 当时， ∵， ∴在时取最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，在顶点处，即时取最大值， ∴，解得， ∴， 综上所述，a的范围是或． 30．（23-24九年级上·山西吕梁·期中）一次函数的图象与二次函数的图象交于点，   . (1)确定二次函数的表达式； (2)请在如图所示的网格中画出二次函数的图象； (3)根据函数的图象直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集 【思路点拨】（1）将点坐标代入二次函数解析式，求解出，即可求出解析式； （2）先确定顶点、与坐标轴的交点，再描点作图即可； （3）不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据图象以及交点的横坐标，可以直接求解． 【规范解答】（1）解：把，代入中， 得： 解得： ∴抛物线的解析式为 （2）解：如图所示：    （3）解：根据图像得，不等式表示一次函数在抛物线上方的部分，根据交点坐标可得对应解集为： 【考点评析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，描点法画函数图象，二次函数与一次函数的交点等知识，熟练掌握各个知识点是解答的关键． 高频考点11：图形问题(实际问题与二次函数） 31．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知：矩形中，，点E是边上一点，，连接，沿翻折使点B落在点F处，连接． (1)如图1，若， ； (2)当C，F，A三点共线时，求此时m的值； (3)连接，①当最短时，求m 的值； ②若，求m的取值范围． 【答案】(1)2 (2) (3)①；② 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）画出图形，由可得内错角和同位角相等，由翻折有对应角相等，等量代换后出现等腰三角形，即求出m的值． （2）由折叠得由勾股定理得，得，在中，由勾股定理得，解方程即可得的值； （3）由于的形状大小是固定的，其翻折图形也固定，故可求点F到的距离与的长度，根据是直角三角形即可利用勾股定理用含m的式子表示的长度，此时可把看作是m的二次函数，根据二次函数图象的性质和的范围，确定自变量m的范围． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m的值是2． （2）解：由折叠得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去）， ∴， 故答案为：； （3）解：①如图，过点F作于点G，交于点H． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即可把看作关于m的二次函数，抛物线开口向上，最小值为，此时； ②∵， ∴， ∵， 解得：，， ∴根据二次函数图象性质可知，． 【考点评析】本题考查了平行线性质，轴对称性质，等腰三角形判定，矩形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解一元一次方程，勾股定理，二次函数的应用．正确按题意画出图形并从中获得等量关系是解题关键，考查数形结合能力． 32．（2024·江苏无锡·二模）为了加强劳动教育，我校在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为28米），用长为39米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的矩形菜地，在菜地的前端及中间篱笆上设计了三个宽1米的小门，便于同学们进入． (1)若围成的菜地面积为120平方米，求此时边的长； (2)若每平方米可收获2千克的菜，问该片菜地最多可收获多少千克的菜？ 【答案】(1)菜地的面积能达到时的长为． (2)该片菜地最多可收获千克的菜． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握方程的应用和二次函数最值的应用是解题的关键． (1) 设，则，依题意列方程计算即可． (2) 设菜地的面积为，依题意构造二次函数计算即可． 【规范解答】（1）设，则，依题意，得： ， 即， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：菜地的面积能达到时的长为． （2）设菜地的面积为，依题意，得： ， ∴当时，y有最大值为147． 即菜地的最大面积是． ∴（千克）， 答：该片菜地最多可收获千克的菜． 33．（2024·江苏盐城·二模）校园内有一块三角形空地（如图中的），经测量米，边上的高米．某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的）种植月季花，其余部分种植牡丹花．根据设计要求，点E，F分别在边，上，且．已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元．设，的面积为S． (1)求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、图形问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值等知识点， （1）根据平行线的性质得出，设设米，则米，根据证得，于是有，即可求出，再根据三角形面积公式计算即可； （2）先求出种植牡丹花的面积，再根据种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元即可求出总费用，最后根据二次函数的性质即可求出最小值； 熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】（1）如图，设与相交于点G， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， 设米， ∵米， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴； （2）存在， ∵米，边上的高米， ∴（平方米）， ∴（平方米）， 设种植月季花和牡丹花的总费用为W元， 则 ， ∵， ∴W有最小值， 当时，W有最小值，是（元）， ∴种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元． 高频考点12：图形运动问题(实际问题与二次函数） 34．（2022·江苏苏州·二模）图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【规范解答】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【考点评析】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 35．（9-10九年级·重庆·期中）矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】动点问题的函数图象、求一次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可． 【规范解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当时，， 此时函数的图象为抛物线的一部分， 它的最高点为抛物线的顶点，最低点为； 当时，点E停留在B点处， 故，此时函数的图象为直线的一部分， 它的最上点可以为，它的最下点为． 结合四个选项的图象知选A项． 故选：A． 36．（2020·江苏苏州·二模）如图1，在中，点从点出发以的速度沿折线运动，点从点出发以的速度沿运动，两点同时出发，当某一点运动到点时，两点同时停止运动设运动时间为的面积为关于的函数图像由两段组成，如图2所示． （1）求的值； （2）求图2中图像段的函数表达式； （3）当点运动到线段上某一段时，的面积大于当点在线段上任意一点时的面积，求的取值范围.(直接写出答案) 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】解直角三角形的相关计算、图形运动问题(实际问题与二次函数)、动点问题的函数图象 【思路点拨】（1）作PH⊥AB于H，根据解直角三角形得到，根据三角形的面积公式得到C1段函数解析式，结合C1段的函数图象，将点（1，2）代入计算即可求得a的值； （2）根据C2段的函数图象，由三角形的面积公式，当x=4时，y=，求出sinB，从而得到图象C2段的函数表达式； （3）先由C1段的函数图象与C2段的函数图象相交建立方程得到点P运动到点C处的运动时间x的值，再根据C2段的函数解析式和图象及二次函数的性质得到满足条件的x的取值范围． 【规范解答】解：（1）作于 当在线段上时，， 则， 则， 由图2知时，， 解得． （2）若点Q先到达B点，则图象后段应为一次函数的部分图象-线段，而C1段的函数图象与C2段的函数图象均为二次函数图象一部分，分析可得先到达终点，即点P用了5秒钟到达点B,故． 当在线段上时，， 则 于是， 由图2知时，y=， ∴ 解得 即 （3）令 解得 即时，到达点． 由段解析式得其对应图象对称轴为直线 由对称性得时，取值与时取值相同． 结合图2得，当时，取值比在段任何时刻取值要大. 【考点评析】本题考查的是三角形的面积计算、二次函数的解析式的确定、二次函数的性质，解直角三角形的运用．理解题意，根据图象确定运动时间x与面积的关系是解题的关键． 高频考点13：拱桥问题(实际问题与二次函数) 37．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，一座抛物线型拱桥，桥面与水面平行，在正常水位时桥下水面宽为米，拱桥B处为警戒水位标识，点B到的水平距离和它到水面的距离都为5米． (1)按如图所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式； (2)求在正常水位时桥面距离水面的高度； (3)一货船载长方体货箱高出水面2米（船高不计），若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为多少米？ 【答案】(1) (2)9米 (3)米 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）设抛物线表达式为，将点、代入得，计算求解，进而可得抛物线的表达式． （2）由题意知，，由，可知当时，y取得最大值，最大值为9，然后作答即可． （3）当时， ，可求，，根据货箱最宽为，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：设抛物线表达式为， 将点、代入得， 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解：由题意知，， ∵， ∴当时，y取得最大值，最大值为9． ∴在正常水位时桥面距离水面的高度为9米． （3）解：根据题意，当时， ， 解得，， ∴货箱最宽为（米）． ∴若要使货船在警戒水位时能安全通过该拱桥，则货箱最宽应为米． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程等知识．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程是解题的关键． 38．（2024·陕西西安·一模）陕北窑洞，具有十分浓厚的民俗风情和土气息． 如图所示，某窑洞口的下部近似为矩形 ，上部近似为一条抛物线． 已知 米，米，窑洞的最高点 (抛物线的顶点)高地面 的距离为 米． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式； (2)若在窑洞口的上部要安装一个正方形窗户，使得点 在矩形 的边上，点 在抛物线上，那么这个正方形窗户 的边长为多少米？ 【答案】(1) (2)1米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数)、根据矩形的性质求线段长、根据正方形的性质求线段长 【思路点拨】本题考查待定系数法求抛物线解析式，矩形和正方形的性质等知识，掌握待定系数法和表示出点G的解析式是解题的关键． （1）先求出点C、M的坐标，再用顶点式设出抛物线表达式，将点C代入求出a即可得解； （2）设这个正方形窗户 的边长为米，表示出点G的坐标，再代入抛物线解析式求出m即可． 【规范解答】（1）解：∵在矩形中，米，米， ∴米，米， ∴，，， ∴抛物线的对称轴是直线， 又∵窑洞的最高点(抛物线的顶点)高地面的距离为米， ∴， 设抛物线的解析式是：， 将点C代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）设这个正方形窗户 的边长为米， 即， ∴点G的纵坐标是：(米)， 由抛物线和正方形的对称性可知：， ∴(米)， ∴点G的横坐标是：(米)， ∴， 将点G代入抛物线解析式得：， 解得：(舍去) ∴这个正方形窗户的边长为1米． 39．（2023·安徽黄山·一模）如图，国家会展中心大门的截面图是由抛物线和矩形构成.矩形的边米，米，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线顶点的坐标为. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)近期需对大门进行粉刷，工人师傅搭建一木板，点正好在抛物线上，支撑轴，米，点是上方抛物线上一动点，且点的横坐标为，过点作轴的垂线，交于点. ①求的最大值.②某工人师傅站在木板上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围. 【答案】(1)； (2)①当时，有最大值；② 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）利用待定系数法即可求出函数表达式； （2）①先求出点坐标为，再求出，进而求出，根据二次函数性质即可求出当时，有最大值； ②根据师傅能刷到的最大垂直高度是米，得到当时，他就不能刷到大门顶部，令，得到解得，结合二次函数性质即可得到他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【规范解答】（1）解：由题意知，抛物线顶点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点 代入抛物线解析式得， 解得 ， ∴抛物线对应的函数的表达式为； （2）解：①将代入中，得， ∴点， 设直线的解析式为， 将点代入得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，为； ②师傅能刷到的最大垂直高度是米， ∴当时，他就不能刷到大门顶部， 令，即 解得， 又是关于的二次函数，且图象开口向下， ∴他不能刷到大门顶部的对应点的横坐标的范围是． 【考点评析】本题考查为二次函数的实际应用，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质、应用等知识，熟知二次函数的性质并灵活应用是解题关键． 高频考点14：销售问题(实际问题与二次函数) 40．（2023·江苏扬州·一模）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量（千克）与销售价格（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如表： 销售价格（元/千克） 30 35 40 45 50 日销售量（千克） 600 450 300 150 0 (1)请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定与之间的函数表达式，并直接写出与的函数表达式为______； (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ (3)农经公司每销售1千克这种农产品需支出元的相关费用，当时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求的值．（日获利日销售利润日支出费用） 【答案】(1) (2)这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大 (3)2 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【思路点拨】本题主要考查一次函数，二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，销售问题中数量关系是解题的关键． （1）先判断与x成一次函数关系，设与x之间的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）设日销售利润为w元，由题意得：，根据一次函数图象的性质即可求解； （3）设日获利为w元，由题意得：，结合二次函数图象的性质，分类讨论，即可求解． 【规范解答】（1）解：根据表格中的数据可知：销售价格每增加5元，日销售量减少， ∴与成一次函数关系，设与之间的函数表达式为， 将代入，得： ， 解得：， ∴； （2）解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，抛物线开口向下， ∴当时，有最大值． ∴这批农产品的销售价格定为元/千克，才能使日销售利润最大； （3）解：设日获利为元，由题意得： ， 对称轴为， 当时，，则当时，有最大值，将代入，得： ， 当时， ， 解得（舍去）； 当，，则当时，有最大值，将代入，得： 当时， ， 解得：（舍去）； 综上所述，的值为． 41．（2024·江苏无锡·模拟预测）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，图中的线段表示该产品每千克生产成本单位：元与产量单位：之间的函数关系；线段表示该产品销售价单位：元与产量单位：之间的函数关系，已知，． (1)求线段所表示的与之间的函数表达式； (2)若，该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)若，该产品获得的利润最大利润是______． 【答案】(1) (2)若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元 (3)元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、求一次函数解析式 【思路点拨】本题主要考查待定系数求一次函数解析式及二次函数的实际应用能力，根据相等关系列出函数关系式，熟练根据二次函数的性质判断函数的最值情况是解题的关键． （1）待定系数法求解可得； （2）先求出时，与x之间的函数关系式，再根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，配方后根据二次函数性质可得其最值情况； （3）用含的式子表示出与之间的函数关系式，根据：总利润=销售量（售价-成本）列出函数关系式，再结合判断其最值情况． 【规范解答】（1）解：设线段所表示的与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 与之间的函数关系式为； （2）解：若，设与之间的函数关系式为， 根据题意，得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， 设产量为时，获得的利润为元， 根据题意，得：， 当时，取得最大值，最大值为， 答：若，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润是元； （3）解：设， 由题意得：， 解得：， 这个函数的表达式为：， ， ， ，， ，即该抛物线对称轴在轴左侧， 当时，随的增大而增大， 当时，的值最大，元． 时，该产品产量为时，获得的利润最大，最大利润为元． 故答案为：元． 42．（2024·江苏泰州·一模）学校图书馆计划购进A、B两种图书共计200本，其中A种图书m本(m为整数)，且A种图书的数量不超过B种图书的．根据调查，A、B两种图书原价分别为15元/本、20元/本，且有如下优惠方式：购买A种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过64本，则所购全部图书的单价与购买64本时的单价相同；购买B种图书的单价 (元/本)关于购买数量x的函数关系为(且x为整数)，若购买数量超过100本，则所购全部图书单价与购买100本时的单价相同． (1)若购买B种图书100本，则单价为 元/本； (2)求m的取值范围； (3)设图书馆购进A、B两种图书共支出w元，则A种图书购买数量m为多少时，支出费用w最低？最低费用为多少？ 【答案】(1)10 (2) (m为整数) (3)m为50时，支出费用w最低，w最低费用为1937.5元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【思路点拨】本题主要考查二次函数的实际应用、一次函数的实际应用、不等式的实际应用能力，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． （1）将代入中求解，即可解题； （2）根据问题是实际意义，以及“A种图书的数量不超过B种图书的”建立不等式求解，即可解题； （3）根据题意列出支出费用w关于的表达式，再根据二次函数的图象与性质求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：， 当时，， 购买B种图书100本，则单价为元/本； 故答案为：． （2）解：由题知，A种图书m本(m为整数)，则B种图书本， A种图书的数量不超过B种图书的． ， 解得， m的取值范围是 (m为整数)； （3）解：由题知，， ， ， ， ，， 当m为50时，支出费用w最低，w最低费用为元． 高频考点15：投球问题(实际问题与二次函数) 43．（2024·河南信阳·模拟预测）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．    (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方处 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，根据抛物线的顶点式设出解析式是解题的关键． （1）先确定抛物线的顶点坐标，再设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出解析式即可； （2）根据抛物线平移规律，设出移动后抛物线的解析式，再将代入，即可求出答案． 【规范解答】（1）解：由题意，可知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把的坐标代入，得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 当时，， 球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线的函数表达式为， 把代入得， 解得或（不合题意，舍去）， 当小明带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处． 44．（2024·河北邯郸·一模）如图，一小球从斜坡上的点处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡所在直线解析式为，若小球到达最高点的坐标为，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)在斜坡上的点有一个障碍物，点的横坐标为，障碍物的高度为，小球能否飞过这个障碍物？通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)小球不能飞过这个障碍物，理由见解析 【知识点】求自变量的值或函数值、待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数的解析式， （1）设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案； （2）把分别代入和，即可得到答案； 利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵该抛物线最高点的坐标为， ∴设， ∵在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）将代入， 得：， 将代入， 得：， ∴， ∵， ∴小球不能飞过这个障碍物． 45．（2021·江苏南京·二模）如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． （1）分别求出与x之间的函数表达式． （2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中． ①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等； ②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 【答案】（1），；（2）①，②当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 【知识点】一次函数与几何综合、投球问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）①令y1＝y2，即可求解；②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，进而求解；当＜x≤1+时，同理可得；进而求解． 【规范解答】解：（1）设与x之间的函数表达式为． ∵顶点Q的坐标是， ． 因为点在抛物线上， 所以点的坐标满足，即． 解得． ． ∵两抛物线的开口方向和大小相同， ∴设与x之间的函数表达式为． 因为点和都在抛物线上， 所以点和的坐标满足，即 解得 ． （2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝， 故答案为：； ②令，则． 解这个方程，得（不合题意，舍去）． 在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，． 当时，两球到地面的距离之差． ， 随x的增大而减小． ∴当时，有最大值，最大值是5． 当时，两球到地面的距离之差． ， 随x的增大而增大． ∴当时，有最大值，最大值是． ． ∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 【考点评析】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉函数的性质是本题解题的关键． 高频考点16：喷水问题(实际问题与二次函数) 46．（2023·江苏泰州·三模）如图1，劳动课同学们利用喷水头喷出的水对草坪进行喷灌作业以养护草坪．如图2，点O处有一个喷水头，距离喷水头8m的M处有一棵高度是2.4m的树，距离这棵树10m的N处有一面高1.8m的围墙．建立如图所示平面直角坐标系．已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系．    (1)某次喷水浇灌时，测得x与y的几组数据如下： x 0 2 6 10 12 y 0 0.88 2.16 2.80 2.88 ①根据上述数据，求满足的函数关系； ②当喷水头喷出的水柱高度为2.80m时，x的值______． (2)又一次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系．假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，求出同时满足这两个要求的常数b的范围． 【答案】(1)①②或14 (2) 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②把代入解析式，进行求解即可； （2）根据喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，得到当时，，当时，，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①由表格可知，抛物线过原点，设抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，解得：， ∴； ②当时，， 解得：或； 故答案为：或14； （2）由题意，得：当时，，当时，， ∴， 解得：； ∴． 【考点评析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． 47．（2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高 m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【规范解答】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【考点评析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 48．（20-21九年级下·全国·课后作业）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是（x＞0）． (1)柱子OA的高度是______米； (2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？ 【答案】(1) (2)水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）OA在y轴上，中，令x=0，可得y 即为OA； （2）水流落得最远时，落点在x轴上，在中，当y＝0时，，求得． 【规范解答】（1）在中，令x=0，则y= ， ∴柱子OA的高度为米； 故答案为； （2）（2）在中， 当y＝0时， ， ， ∴， ∴，·， 又∵x＞0， ∴解得米． 答：水池的半径至少要米才能使喷出的水流不至于落在池外． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x轴上的纵坐标为0，y轴上的横坐标为0，解方程． 高频考点17：其他问题(实际问题与二次函数） 49．（2024·江苏扬州·一模）如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求y与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【考点评析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 50．（18-19九年级上·全国·期中）为了减少空气污染，国家要求限制塑料玩具生产，这样有时企业会被迫停产，经过调研预测，某塑料玩具生产公司一年中每月获得的利润（万元）和月份之间满足函数关系式，则没有盈利的月份为（    ） A．月和月 B．月至月 C．月 D．月、月和月 【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【思路点拨】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意可知没有盈利时，利润为和小于的月份都不合适，从而可以解答本题． 【规范解答】解：，且为整数， 当时，或， 当时，， 故选：D． 51．（2024·江苏盐城·三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示． (1)求v关于x的函数表达式； (2)求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度×车流密度） (3)经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4400辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？ 【答案】(1) (2)， P的最大值为4418辆/时 (3)上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【思路点拨】此题考查了一次函数及二次函数的应用，解答本题需要我们会判断二次函数的增减性及二次函数最值的求解方法，也要熟练待定系数法求一次函数解析式． （1）用待定系数法即可求解； （2）由题知：当时，；当时，，进而求解； （3）由题意得：，解得，而，当时，，当时，，即可求解． 【规范解答】（1）解：由图象知，当时，， 当时，设该段一次函数表达式是， 把两点坐标，，分别代入， 得， 解得， 关于的一次函数表达式是， 即； （2）解：由题知：当时，． 当时，， 当时，车流量有最大值4418辆时． ， 当时，车流量有最大值4418辆时； （3）解：由题意得：，解得， 而， 当时，，当时，， 即， 即上下班高峰时段车速应控制在44千米时千米时． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$