第08讲 正态分布(4大知识点+8大题型+分层练习)-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修三）

第08讲 正态分布 目录 题型归纳 1 题型01 正态密度函数 3 题型02 正态曲线的性质 5 题型03 标准正态分布的应用 7 题型04 特殊区间的概率 11 题型05 指定区间的概率 13 题型06 正态分布的实际应用 15 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 19 题型08 3原则 21 分层练习 24 夯实基础 24 能力提升 34 知识点01连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 知识点02正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 知识点03正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 知识点043原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 题型01正态密度函数 【例1】（20-21高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】方差的性质、正态密度函数 【分析】由可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以，则. 故选：D. 【变式1】（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态密度函数 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 【变式2】（21-22高二下·吉林长春·期中）设随机变量，X的正态密度函数为，则 . 【答案】0 【知识点】正态密度函数 【分析】由正态密度函数结构直接可得. 【详解】由正态密度函数结构特征可知，. 故答案为：0 【变式3】（20-21高二下·江苏镇江·期中）2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.已知，则方差为 .据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，的数学期望是 . 【答案】 【知识点】正态密度函数、二项分布的均值 【分析】由，结合正态分布的密度曲线即可得、，写出方差即可；而，易知，根据二项分布的期望公式求期望即可. 【详解】由，可知：，，故方差， 由正态分布的对称性知：，故， ∴的数学期望. 故答案为：， 题型02 正态曲线的性质 【例2】（23-24高二下·山东威海·期末）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质 【分析】直接由均值、方差的性质即可求解. 【详解】对于随机变量而言：它的，注意到， 所以对于随机变量而言：它的， 所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·湖北·期末）设随机变量，随机变量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质一一判断即可. 【详解】因为，则，，，则，， 对于A：，， 所以，故A错误； 对于B：， ， 所以，故B错误； 对于C：，， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以随机变量所对应的正态曲线更瘦高，数据更集中， 所以，故D错误. 故选：C 【变式2】（21-22高二下·安徽芜湖·期中）已知随机变量，若，则 ． 【答案】0.75 【知识点】正态曲线的性质 【分析】由正态分布得，，代入即可得出答案. 【详解】由对称性知：，. 所以答案为：0.75. 【变式3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量，，且，，则 . 【答案】 【知识点】二项分布的均值、正态曲线的性质 【分析】根据正态曲线的性质求出，即可得到，从而求出，再由二项分布的期望公式计算可得. 【详解】因为且，所以，则， 又，所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 题型03 标准正态分布的应用 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 【变式1】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】B 【知识点】标准正态分布的应用、概率分布曲线的认识 【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确； 乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确； 由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确； 由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确. 故选：B. 【变式2】（22-23高二下·江苏苏州·期末）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 【答案】 四 二 【知识点】标准正态分布的应用、正态曲线的性质 【分析】根据已知用各组表示出，然后根据正态分布的性质，即可得出答案. 【详解】项目一：由已知可得，，，则； 项目二：由已知可得，，，则； 项目三：由已知可得，，，则； 项目四：由已知可得，，，则. 根据正态分布的性质可得，， 所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前． 故答案为：四；二. 【变式3】（22-23高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 【答案】/ 【知识点】标准正态分布的应用 【分析】由标准正态分布的定义结合期望和方差的性质计算即可. 【详解】随机变量Y服从正态分布，所以， 因为随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布， 所以， 所以，. 即，解得，则. 故答案为：. 题型04 特殊区间的概率 【例4】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【答案】A 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】由正态曲线的性质求出，即可求解． 【详解】依题意，得， 则， 则估计天内小笼包的销售量约在到个的天数大约是：， 故选：A. 【变式1】（22-23高二下·辽宁·期中）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若， A．8400 B．8185 C．9974 D．9987 【答案】B 【知识点】特殊区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】由，数学期望，方差， 由公式可知： ， ， ， 所以单果质量在范围内的大枣个数约为， 故选：B 【变式2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知随机变量，且，则 ． 【答案】/ 【知识点】特殊区间的概率 【分析】由正态分布的对称性得出概率. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（21-22高二下·宁夏银川·期中）设连续型随机变量服从正态分布X～N(0，1)， (1)求P(X≤0)值； (2)求P(－2<X≤2)值 参考数据： 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊区间的概率、正态曲线的性质 【分析】(1)根据正态分布密度曲线关于对称的性质求解；(2)根据的取值，结合所提供的参考值求解. 【详解】（1）因为正态分布，所以 其密度曲线的对称轴为， 所以； （2） 题型05 指定区间的概率 【例5】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （    ） A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64 【答案】C 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性即可. 【详解】随机变量X服从正态分布， ， . 故选：C 【变式1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）在某次测量中，若随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【知识点】指定区间的概率 【分析】根据正态分布的对称性即可求出指定区间的概率. 【详解】因为随机变量，则， 则. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【答案】 【知识点】指定区间的概率 【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二下·河北石家庄·期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生人数； (2)若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为，求的期望. 【答案】(1)10； (2) 【知识点】利用二项分布求分布列、二项分布的均值、指定区间的概率 【分析】（1）结合正态分布密度曲线的对称性求出问卷成绩在90分以上的学生概率，由此可求问卷成绩在90分以上的学生人数； （2）先求出问卷成绩在80分以上的学生概率，结合二项分布定义和期望公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 即抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的概率为, 所以抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生的人数为， （2）由（1）， 所以任意抽取一学生，该学生对新闻大事关注度极高的概率为， 由已知， 所以的分布列为：，， 所以. 题型06 正态分布的实际应用 【例6】（23-24高二下·山东青岛·期中）某工厂5月份生产3000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时以上个数约为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】由正态分布的性质求出灯泡寿命在800小时以上的概率，然后估计工厂该月生产灯泡寿命在800小时以上的个数即可. 【详解】因为灯泡使用寿命（单位小时）服从正态分布，且， 所以， 所以， 所以工厂该月生产灯泡寿命在800小时以上个数约为个. 故选：B 【变式1】（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【答案】B 【知识点】正态分布的实际应用、指定区间的概率 【分析】利用正态分布的对称性求出即可计算得解. 【详解】依题意，，， 因此， 所以此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为. 故选：B 【变式2】（23-24高二下·湖南娄底·期末）某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是 分． 【答案】75 【知识点】正态分布的实际应用 【分析】利用正态分布的性质结合题意求解. 【详解】设考试成绩为随机变量，则， 所以， 因为按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级， 所以等级和等级一共占， 所以等级的最低分为75分. 故答案为：75 【变式3】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)159人 (2)分布列见解析，，． 【知识点】正态分布的实际应用、利用二项分布求分布列 【分析】（1）利用正态分布相关知识即可求解； （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得，然后求出对应的概率即可得解． 【详解】（1）样本中100名学生每周阅读时间的均值为： ， 即，又，所以， 所以， 所以全年级学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数大约为：（人） （2）因为，所以每周阅读时间在10.6小时以上的概率为，可得， 故，，， ，，， 随机变量Y的分布列为： 0 1 2 3 4 5 故，． 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】（23-24高二下·广西·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布性质计算即可. 【详解】因为, 所以，σ的值不确定． 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·湖南·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数 【分析】根据正态分布密度曲线的对称性求解即可. 【详解】由正态分布的对称性知，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 【答案】(1)，； (2)0.1359. 【知识点】根据正态曲线的对称性求参数、指定区间的概率、正态曲线的性质 【分析】（1）由题设及特殊区间的概率值得到，即可确定参数； （2）利用正态分布的对称性求、，进而求目标概率值. 【详解】（1）依题设，，而，则，解得， 所以，. （2）由（1）知：， 正态曲线关于对称 ，即， 则，， 由，则， 因此， 所以. 题型08 3δ原则 【例8】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【答案】B 【知识点】指定区间的概率、3δ原则 【分析】分析可知：，根据原则结合对称性分析求解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：B. 【变式1】（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 【答案】C 【知识点】3δ原则 【分析】由题意可知：，则，结合正态分布的原则分析求解. 【详解】由题意可知：，则， 可得， 所以半年后即可出栏的猪的数量约为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·江苏·期中）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则 ．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【答案】 【知识点】3δ原则 【分析】根据正态分布的参数，结合参考数据，利用对称性，即可求解. 【详解】， . 故答案为： 【变式3】（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某年级有2000名学生.一次物理单元测验成绩近似服从正态分布. (1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例； (2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数. 附：若，则，. 【答案】(1)0.15865 (2)314 【知识点】指定区间的概率、正态曲线的性质、3δ原则 【分析】（1）由题意可求的概率，然后根据正态分布的对称性求解即可， （2）先根据正态分布求出成绩在80～96分内的概率，从而可求出人数. 【详解】（1）因为，所以， 所以成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例为 ， （2）由于，所以成绩在80～96分内的概率为 ， 所以全年级成绩在80～96分内的学生人数约为人 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】根据正态曲线的对称性可得, 故选：C 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）若，且，则（    ） A．0.10 B．0.40 C．0.80 D．0.90 【答案】D 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，进而即可求解. 【详解】根据题意，且， 则， 故， 故选：. 3．（22-23高二下·新疆喀什·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A．0.28 B．0.72 C．0.22 D．0.78 【答案】C 【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得． 【详解】∵随机变量服从正态分布，， ∴正态曲线的对称轴是， ∵， 故选：C 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用正态分布的对称性得到，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，是图象的对称轴， 由及正态分布的对称性得， ，故A错误，B正确； 因为，根据对称性， ，， 所以，故C正确，D错误； 故选：BC. 6．（23-24高二下·安徽六安·期中）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 【答案】ABC 【分析】根据正态分布密度曲线的特征逐项判断即可. 【详解】选项A：为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，正态曲线越瘦高， 所以该物理量在一次测量中落在内的概率越大，A说法正确； 选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5，B说法正确； 选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等，C说法正确； 选项D：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率不相等， 所以落在与落在的概率也不相等，D说法错误； 故选：ABC 三、填空题 7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则为 .（，，） 【答案】0.00135 【分析】由可得，由，得，然后利用正态分布的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以， 因为，所以， 所以 . 故答案为：0.00135 8．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 【答案】/ 【分析】先由二项分布的均值公式求出，从而得，进而由概率之和为1和正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量X服从二项分布， 所以，故， 又随机变量Y服从正态分布，所以， 所以. 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高二上·辽宁辽阳·期末）一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. (1)求或的概率； (2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正态分布的对称性求解； （2）利用X服从二项分布求解. 【详解】（1）因为零件尺寸z服从正态分布， 所以， 因为，所以. 故或的概率为. （2）依题意可得， 所以. 10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·期末）某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. (1)求的分布列与数学期望； (2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)分布列见解析， (2)人，万元 【分析】（1）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率即可得到分布列与数学期望； （2）由（1）求出奖金总金额，根据正态分布求出概率，即可估计人数，与每人可以获得奖金的平均数值. 【详解】（1）依题意可得的可能取值为，，，， 则，， ，， ∴的分布列为： 3 4 5 6 ∴. （2）由（1）可知给员工颁发奖金的总数为（万元）， 设每位职工为企业的贡献利润数额为，则， 所以获得奖金的职工数约为 （人）， 则获奖员工可以获得奖金的平均数值为（万元）. 11．（22-23高二下·湖北荆门·期末）新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表． 质量差（单位：mg） 56 67 70 78 86 件数（单位：件） 10 20 48 19 3 (1)求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差近似服从正态分布，其中，用样本平均数作为的近似值，求概率的值； (2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，求该零件为废品的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平均数的计算，即可由正态分布的对称性求解概率， （2）根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）． ，，得： （2）设“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”， “随机抽取一件零件为第1条生产线生产”， “随机抽取一件零件为第2条生产线生产”， 则，， 又，， 于是． 12．（22-23高二下·福建龙岩·期末）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布曲线的对称性即可求解；（2）根据二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为： ， 又由，， ． （2）由题意，抽取2人进入复赛的人数， ． 的概率分布列为 0 1 2 的数学期望为． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 【答案】D 【分析】根据正态分布特点求解即可. 【详解】因为服从正态分布， 所以， 所以. 故选：． 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据已知可推得，列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】因为，所以， 故， 所以，解得， 因为，故的最小值为11. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意，结合，得到，进而利用正态分布的性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为体温X服从正态分布， 所以， 因为的值在内的概率约为，且， 则， 所以， 则，解得， 所以，解得， 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（    ） （参考数据：①；②； ③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 【答案】ACD 【分析】由正态分布的性质和原则求出和即可求出成绩超过100分和低于70分的人数判断A、B；由正态分布的对称性和原则可求出，进而判断C；利用独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式结合A选项即可求解判断D. 【详解】由题意可知，对于选项A，，，则， 则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误； 对于选项，， 所以分数低于70分的人数约为，即约为27人，故选项B正确； 对于选项C，，所以选项C错误； 对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下： ①恰好2人时概率为； ②3人均超过100分时的概率为， 则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误. 故选：ACD. 6．（23-24高二下·贵州黔西·期末）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确； 对于B，由，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设，， 解得，，由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ①熟记，，的值; ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 三、填空题 7．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知随机变量，则 .注：若，则,. 【答案】 【分析】根据正态分布性质求解概率即可. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为： 8．（23-24高二下·河北沧州·期中）某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 【答案】2 【分析】由正态分布的相关性质求解即可. 【详解】由正态分布性质可知，要使不合格率小于4.55%，则合格率不低于， 由得，， 由题意可知， 解得，故的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 9．（22-23高二下·重庆北碚·期末）某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究. (1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：）近似服从正态分布，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求； (2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性. （i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率； （ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率. 附：，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由正态分布的对称性结合原则求解即可； （2）（i）记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”，再由全概率公式求解即可；（ii）由条件概率公式求解即可； 【详解】（1）由题：, ，故, . （2）记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性” 由题有：，，，则可得，， （i）， （ii）. 10．（23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 【答案】(1)；0.1359 (2)①；②；③1 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得. 【详解】（1）， 因为，所以， 则 ； （2）①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 11．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 【答案】(1)平均成绩，标准差为 (2)17 (3)分布列见解析；期望为 【分析】（1）根据正态分布可得； （2）应用正态分布的概率性质计算求解； （3）先求出概率再写出分布列最后求出数学期望. 【详解】（1）由题意得：平均成绩， 标准差为 （2）因为，， 所以 所以超过141的人数为：人 （3）设事件A，表示“小明选择了i个选项”（，2，3），事件B表示“选择的选项是正确的”． 由题知，可取6，4，2，0． 因为，， ， 所以随机变量的分布列为： 6 4 2 0 P 于是， 12．（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)分； (2)5； (3)分布列详见解析； 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）利用二项分布即可求得随机变量的期望； （3）先求得随机变量X的各个可能取值对应的概率，进而得到随机变量X的分布列，再利用数学期望的定义即可求得随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该校预期的平均成绩大约是（分） （2）由，可得， 即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人， 该学生笔试成绩高于76.5的概率为 所以随机变量服从二项分布，故 （3）X的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 正态分布 目录 题型归纳 1 题型01 正态密度函数 3 题型02 正态曲线的性质 3 题型03 标准正态分布的应用 4 题型04 特殊区间的概率 5 题型05 指定区间的概率 6 题型06 正态分布的实际应用 7 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 9 题型08 3原则 10 分层练习 11 夯实基础 11 能力提升 15 知识点01连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量. 知识点02正态分布 (1)正态曲线 函数f(x)=，x∈R.其中∈R，>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正 态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态分布 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为XN(,).特别地， 当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. (3)正态分布的均值和方差 若XN(,)，则E(X)=，D(X)=. 知识点03正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x=对称； (3)曲线在x=处达到峰值； (4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴； (5)对任意的>0，曲线与x轴围成的面积总为1； (6)在参数取固定值时，正态曲线的位置由确定，且随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示； (7)当取定值时，正态曲线的形状由确定，当较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分 布比较集中；当较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示. 知识点043原则 (1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 P(-X+)0.6827； P(-2X+2)0.9545； P(-3X+3)0.9973. (2)3原则 在实际应用中，通常认为服从正态分布N(,)的随机变量X只取[-3，+3]中的值，这在统计学 中称为3原则. 题型01正态密度函数 【例1】（20-21高二下·福建龙岩·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【变式1】（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二下·吉林长春·期中）设随机变量，X的正态密度函数为，则 . 【变式3】（20-21高二下·江苏镇江·期中）2020年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布的密度曲线非常拟合.已知，则方差为 .据此估计，在全市随机抽取10名高三同学，设表示10名同学中英语成绩超过95分的人数，的数学期望是 . 题型02 正态曲线的性质 【例2】（23-24高二下·山东威海·期末）已知随机变量，设随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·湖北·期末）设随机变量，随机变量．则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高二下·安徽芜湖·期中）已知随机变量，若，则 ． 【变式3】（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知随机变量，，且，，则 . 题型03 标准正态分布的应用 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【变式1】（21-22高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ） A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等 B． C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙 D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【变式2】（22-23高二下·江苏苏州·期末）某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表．小星在四个项目中的成绩均为81分，则小星同学在第 个项目中的成绩排名最靠后，在第 个项目中的成绩排名最靠前．（填序号） 序号 一 二 三 四 项目 新闻六十秒 挑战会客厅 趣味绕口令 创意百分百 71 75 81 85 4.9 2.1 3.6 4.3 【变式3】（22-23高二下·山东青岛·期中）随机变量X服从正态分布，当，时，称随机变量X服从标准正态分布. 现已知随机变量Y服从正态分布. 若随机变量（a，b为正实数）服从标准正态分布，则 . 题型04 特殊区间的概率 【例4】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某早餐店发现加入网络平台后，每天小笼包的销售量（单位：个），估计300天内小笼包的销售量约在950到1050个的天数大约是 （   ）（若随机变量，则，，） A．205 B．246 C．270 D．275 【变式1】（22-23高二下·辽宁·期中）某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量（单位：）近似服从正态分布，现有该新品种大束10000个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（    ） 附：若， A．8400 B．8185 C．9974 D．9987 【变式2】（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知随机变量，且，则 ． 【变式3】（21-22高二下·宁夏银川·期中）设连续型随机变量服从正态分布X～N(0，1)， (1)求P(X≤0)值； (2)求P(－2<X≤2)值 参考数据： 题型05 指定区间的概率 【例5】（23-24高二下·广东广州·期末）已知随机变量 服从正态分布 ，且，则 （    ） A．0.14 B．0.18 C．0.32 D．0.64 【变式1】（23-24高二下·甘肃临夏·期末）在某次测量中，若随机变量，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式2】（23-24高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则 . 【变式3】（22-23高二下·河北石家庄·期中）第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布，且. (1)估计抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生人数； (2)若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为，求的期望. 题型06 正态分布的实际应用 【例6】（23-24高二下·山东青岛·期中）某工厂5月份生产3000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位小时）服从正态分布，已知，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时以上个数约为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【变式1】（23-24高二下·河南安阳·期中）某次高三统考共有12000名学生参加，若本次考试的数学成绩服从正态分布，已知数学成绩在70分到130分之间的人数约为总人数的，则此次考试中数学成绩不低于130分的学生人数约为（    ） A．2400 B．1200 C．1000 D．800 【变式2】（23-24高二下·湖南娄底·期末）某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是 分． 【变式3】（23-24高二下·安徽蚌埠·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某市某中学为了了解高一年级学生的阅读情况，从高一年级全部1000名学生中随机抽取100名学生，调查他们每周的阅读时间（单位：小时）并进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示． 由频率分布直方图可以认为该校高一学生每周阅读时间服从正态分布，其中可以近似为100名学生的每周阅读时间的平均值（同组数据用该组数据区间的中点值表示），． (1)试估计高一全体学生中每周阅读时间不高于6.8小时的人数（四舍五入取整）； (2)若从高一全体学生中随机抽取5名学生进行座谈，设选出的5人中每周阅读时间在10.6小时以上的学生人数为Y，求随机变量Y的分布列，数学期望与方差． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 题型07 根据正态曲线的对称性求参数 【例7】（23-24高二下·广西·期中）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·湖南·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2】（23-24高二下·上海金山·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数的取值范围是 ． 【变式3】（22-23高二下·河南郑州·期末）已知随机变量，且正态密度函数在上单调递增，在上单调递减，. (1)求参数，的值； (2)求.（结果精确到0.0001） 附：若，则，，. 题型08 3δ原则 【例8】（23-24高二下·四川眉山·期末）某种生态鱼在某个池塘一年的生长量X（单位：克）服从正态分布，则概率为（    ） 参考数据：①；②；③ A．0.8186 B．0.84 C．0.8785 D．0.9759 【变式1】（23-24高二下·河南·期中）某养猪场圈养了1000头小猪，计划半年后出栏，根据经验，该品种的猪生长半年后达到的重量（kg）服从正态分布，当猪的重量大于90kg时，即可出栏，则半年后即可出栏的猪的数量约为（    ） （参考数据：若，则，） A．683 B．841 C．977 D．955 【变式2】（23-24高二下·江苏·期中）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布，则 ．（精确到0.01） 参考数据：若，则，，． 【变式3】（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某年级有2000名学生.一次物理单元测验成绩近似服从正态分布. (1)求成绩不超过64分的人数占年级总人数的比例； (2)估计全年级成绩在80～96分内的学生人数. 附：若，则，. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 2．（23-24高二下·山东临沂·期中）若，且，则（    ） A．0.10 B．0.40 C．0.80 D．0.90 3．（22-23高二下·新疆喀什·期中）已知随机变量X服从正态分布，若，则（    ） A．0.28 B．0.72 C．0.22 D．0.78 4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）若随机变量服从正态分布，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·吉林·期中）已知随机变量，且，则（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 6．（23-24高二下·安徽六安·期中）某物理量的测量结果服从正态分布，则下列结论中正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中落在内的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中结果落在与落在的概率相等 三、填空题 7．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则为 .（，，） 8．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知随机变量X服从二项分布，且随机变量Y服从正态分布．若，则 ． 四、解答题 9．（22-23高二上·辽宁辽阳·期末）一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且. (1)求或的概率； (2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232加或大于248的零件个数，求的概率. 10．（22-23高二下·重庆沙坪坝·期末）某公司在一次年终总结合上举行抽奖活动，在一个不透明的箱子中放入个红球和个白球（球的形状和大小都相同），抽奖规则如下：从袋中一次性摸出个球，把白球换成红球再全部放回箱中，设此时箱中红球个数为，则每位员工颁发奖金万元. (1)求的分布列与数学期望； (2)若企业有1000名员工，他们为企业贡献的利润近似服从正态分布，为各位员工贡献利润数额的均值，计算结果为万元，为数据的方差，计算结果为万元，为激励为企业做出突出贡献的员工，现决定该笔奖金只有贡献利润大于万元的员工可以获得，且用于奖励的总奖金按抽奖方案所获奖金的数学期望值计算，求获奖员工的人数及每人可以获得奖金的平均数值（保留到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，. 11．（22-23高二下·湖北荆门·期末）新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展．某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程．现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如下表． 质量差（单位：mg） 56 67 70 78 86 件数（单位：件） 10 20 48 19 3 (1)求样本平均数的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差近似服从正态分布，其中，用样本平均数作为的近似值，求概率的值； (2)若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件，求该零件为废品的概率． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． 12．（22-23高二下·福建龙岩·期末）第22届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行．为了让中学生了解亚运会，某市举办了一次亚运会知识竞赛，分预赛和复赛两个环节，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布表（见表）． 分组（百分制） 频数 频率 10 0.1 20 0.2 30 0.3 25 0.25 15 0.15 合计 100 1 (1)由频率分布表可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩X服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．利用该正态分布，求； (2)预赛成绩不低于80分的学生将参加复赛，现用样本估计总体，将频率视为概率．从该市参加预赛的学生中随机抽取2人，记进入复赛的人数为Y，求Y的概率分布列和数学期望． 附：若，则，，；． 【能力提升】 一、单选题 1．（22-23高二下·辽宁沈阳·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87 3．（23-24高二上·河南南阳·期末）为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取罐咖啡，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的罐咖啡中质量在之外的罐数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．10 B．11 C．12 D．13 4．（23-24高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为的人时，显示体温X服从正态分布，若的值在内的概率约为，则n的值约为（    ） （参考数据：若，则）. A．3 B．4 C．5 D．6 二、多选题 5．（23-24高二下·辽宁朝阳·期中）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法不正确的有（    ） （参考数据：①；②； ③） A．这次考试成绩超过100分的约有500人 B．这次考试分数低于70分的约有27人 C． D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为 6．（23-24高二下·贵州黔西·期末）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（    ） （参考数据：若，则） A． B． C． D．取得最大值时，的估计值为53 三、填空题 7．（23-24高二下·广东深圳·期中）已知随机变量，则 .注：若，则,. 8．（23-24高二下·河北沧州·期中）某工厂生产的袋装食盐的质量服从正态分布（质量单位：g）．检验员根据质量将产品分为合格品和不合格品，其中的食盐为合格品，其他为不合格品，要使不合格率小于4.55%，则σ的最大值为 ．（若，则 四、解答题 9．（22-23高二下·重庆北碚·期末）某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究. (1)该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后的体温（单位：）近似服从正态分布，流感患者甲服用了该退烧药，设一天后他的体温为X，求； (2)数据显示人群中每个人患有该流感的概率为1%，该医疗机构使用研发小组最新研制的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80%，即一个患有该流感的病人有80%的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有80%的可能检测结果为阴性. （i）若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率； （ii）若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率. 附：，则，，. 10．（23-24高二下·山西临汾·期中）某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 (1)求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. (2)若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 11．（23-24高二下·浙江·期中）某校高三年级有750人，某次考试不同成绩段的人数，且所有得分都是整数． (1)求该校高三年级本次考试的平均成绩及标准差； (2)计算本次考试得分超过141的人数；（精确到整数） (3)本次考试中有一类多项选择题，每道题的四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得部分分（正确答案有三个选项的，则每个选项2分；正确答案是2个选项的，则每个选项为3分），有选择错误的得0分．小明同学在做多项选择题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为，求的分布列及数学期望． 参考数据：若，则；；． 12．（22-23高二下·山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少? (2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望. (3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 参考数据：若，则：；；. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$