第08讲 条件概率（2大知识点+4大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第08讲 条件概率 目录 题型归纳 1 题型01 计算条件概率 3 题型02 条件概率性质的应用 5 题型03 利用全概率公式求概率 7 题型04 利用贝叶斯公式求概率 10 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 24 知识点01条件概率 定义 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) [方法技巧] 解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 [提醒]　要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 知识点02全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型01计算条件概率 【例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式直接求解即可. 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 【变式1】（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率公式计算，注意在时，． 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 【变式2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 . 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】根据条件概率的概率公式即可代入求解. 【详解】因为，而，所以. 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知随机事件A.B满足，则 【答案】 【知识点】计算条件概率 【分析】先利用条件概率公式结合已知条件求出，再利用条件概率公式可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 题型02 条件概率性质的应用 【例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】利用条件概率公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：A． 【变式1】（21-22高二下·江苏连云港·期末）若，则P(A)=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】根据条件概率公式即可求解． 【详解】依题意得，所以， 解得． 故选：C． 【变式2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【答案】 / / 【知识点】计算条件概率、条件概率性质的应用 【分析】求出和，由概率的乘法公式和条件概率公式，可得结果. 【详解】由概率的乘法公式得， 因为，，则， 所以由条件概率公式得， 故答案为：； 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 【答案】 【知识点】条件概率性质的应用 【分析】先设事件为下雨，事件为刮风，由概率乘法公式计算可得． 【详解】设事件为下雨，事件为刮风， 由题意得，，，又， 所以． 故答案为：． 题型03 利用全概率公式求概率 【例3】（23-24高二下·山东青岛·期中）某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（    ） A．0.62 B．0.84 C．0.92 D．0.98 【答案】C 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】根据全概率公式计算即可． 【详解】设“此人能准时到达”为事件，“当天是晴天乘飞机”为事件，则“当天是雨天乘高铁”为事件， 由题可知，，， 所以， 故选：C． 【变式1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设第一次从甲盒取出白球，红球，黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的事件为， 则 ． 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·山西大同·期中）小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 . 【答案】/0.3 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，根据题意利用全概率公式可得，进而结合条件概率公式分析求解. 【详解】设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B， 则“小李周一、周二都去健身”为事件AB， 由题意可知：，，且， 由全概率公式可知：， 即，解得， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 【答案】(1) (2) (3). 【知识点】计算古典概型问题的概率、计算条件概率、利用全概率公式求概率 【分析】（1）由古典概型计算可得结果； （2）由全概率公式计算可得； （3）根据条件概率公式计算可得. 【详解】（1）设第一次摸到白球的事件为，则 ，即第一次摸到白球的概率为. （2）设第二次摸到白球的事件为，则 ，即第二次摸到白球的概率. （3）设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则 ，即两次摸到的小球颜色不同的概率为 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【例4】（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【详解】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 【变式1】（23-24高二下·云南保山·期末）某人从保山到昆明，可以乘坐高铁､客车､飞机三种交通工具，出行方式如下表， 交通工具 高铁 客车 飞机 乘坐概率 迟到概率 0.1 0.3 0.3 某人已迟到，则他乘坐飞机迟到的概率为 ． 【答案】0.25/ 【知识点】利用贝叶斯公式求概率 【分析】利用贝叶斯公式进行求解. 【详解】由题意知，所求概率． 故答案为：0.25 【变式2】（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）根据全概率公式即可得解； （2）根据条件概率公式可得解. 【详解】（1）设事件“从第箱中取一个零件”， 事件“取出的零件是次品”， 则，且互斥， 则，， 所以，， 所以 ， 所以取出的零件是次品的概率为； （2）取出的是次品是从第一箱取出的概率 ， 所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为. 【变式3】（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用全概率公式求概率、利用贝叶斯公式求概率 【分析】（1）设“这位教授迟到”；“乘飞机”；“乘动车”；“自己开车”，根据全概率公式，即可求得答案； （2）由题意可知所求概率为，根据贝叶斯公式即可求得答案. 【详解】（1）设“李教授迟到”；=“乘飞机”；=“乘动车”；=“自己开车”； 则，， 由全概率公式得：. （2）由题意可知所求概率为， 由贝叶斯公式得：. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全概率公式即可求解. 【详解】设“取出的球来自甲袋”为事件，“取出的球来自乙袋”为事件，“取出的球来自丙袋”为事件，“该球为白球”为事件， 则. 故选：B. 2．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（    ） A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68 【答案】C 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示甲正点到达目的地，事件表示甲乘动车到达目的地，事件表示甲乘汽车到达目的地， 由题意知，，，． 由全概率公式得． 故选：C． 3．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 【答案】B 【分析】对于AB，由全概率公式即可直接计算选项A中摸到黑球的概率和选项B中摸到红球的概率，进而即可判断AB；对于CD，由条件概率定义即可直接得选项C和D相应的概率，进而即可判断CD. 【详解】对于A，由全概率公式得摸到黑球的概率为，故A错误； 对于B，由全概率公式得摸到红球的概率为，故B正确； 对于C，在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球的概率为，故C错误； 对于D，在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球，故D错误. 故选：B. 二、多选题 5．（22-23高二下·广西玉林·期中）两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是（    ） A．这件产品是合格的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 【答案】AC 【分析】AB选项，利用全概率公式计算即可；CD选项，利用条件概率公式进行计算. 【详解】A选项，设“取出的是第i批产品”，B＝“取出的是合格品”， ，A正确； B选项，设C＝“取出的是次品”， ，B正确； C、D选项．， ，C正确，D错误. 故选：AC． 6．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下，在该市场中任意买一部手机，用分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示可买到的优质品，则（    ） 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，以及全概率公式，即可求解. 【详解】依题意可得 因为 所以，,故正确的有. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高二下·北京·期中）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是 . 【答案】0.83 【分析】根据全概率公式，即可求解． 【详解】该市场中任意买一部智能手机， 则买到的是优质品的概率是：． 故答案为：0.83． 8．（23-24高二下·广东湛江·期中）小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为 ． 【答案】/0.9 【分析】设出事件,分别求出和，依题需求，利用条件概率公式计算即得. 【详解】设小明周末晚间去打羽毛球为事件，下午去踢足球为事件， 则，， 依题意，. 故答案为:． 四、解答题 9．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”，依题意可得、、，以及、、，由全概率公式得； （2）“求次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案； 【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第台车床加工”， 则，且，，两两互斥， 根据题意得，，，， ，，， 由全概率公式得 ； （2）“求次品为第台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率， 所以； 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”，表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，结合条件概率和全概率公式，即可求解. （2）结合第（1）问，利用贝叶斯概率公式求解即可. 【详解】（1）设A表示“任取一件产品，抽到不合格品”， 表示“任取一件产品，结果是第条流水线的产品”，， 由题意，，，，， 且，，，， 从该厂的这一产品中任取一件，抽取不合格品的概率是： . （2）结合第（1）问知. 11．（23-24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”，利用全概率公式计算可得； （2）利用条件概率公式计算可得. 【详解】（1）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件表示“箱中恰好有只残次品”， 由题设可知，，，， 且，，， 所以 . 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）因为， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 12．（23-24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 【答案】(1)0.7 (2)0.4 【分析】（1）由全概率公式求解即可； （2）由贝叶斯公式求解． 【详解】（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”， “月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”， “用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， “用户对S型新能源汽车满意”， 则，，两两互斥，且，，， ，，， 由全概率公式得 ． （2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率， 13．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【答案】(1) (2)；；. 【分析】（1）利用全概率公式求解； （2）利用条件概率求解. 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用条件概率计算即可. 【详解】，则. 故选:C. 2．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知某学校高一年级成立了书法社团和吉他乐队社团．其中书法社团有男生4人，女生6人；吉他乐队社团有男生8人，女生4人．若从这两个社团中随机取一个社团，再从该社团中随机选取一人在高一年级新生入学大会上发言，则该同学是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出选自书法社团和选自吉他乐队社团是女生的概率，再利用全概率公式计算即可. 【详解】记事件{选自书法社团}，{选自吉他乐队社团}，{该同学是女生}， 已知，，， 所以. 故选：C． 3．（23-24高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件后根据题干得到，，，，由全概率公式求得，由乘法公式得到，由条件概率公式得到. 【详解】设事件为“抽到的学生来自高三（1）班”，事件为“抽到的学生来自高三（2）班”，事件为“抽到的学生参加数学兴趣社团”， 则，，，， 由全概率公式得， 由乘法公式得， 由条件概率公式得， 故选：B. 4．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区，记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区，则，且彼此互斥，然后根据条件依次得到、、、、、的值，然后根据全概率公式公式求解即可. 【详解】记事件D：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自A地区， 记事件F：此人来自B地区，记事件G：此人来自C地区， 则，且彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 二、多选题 5．（23-24高二下·山东滨州·期中）一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（    ） A．； B．； C．事件与事件相互独立； D．． 【答案】ABD 【分析】由条件概率的定义可得B正确；利用全概率公式进行计算，可得A正确；由相互独立事件的判定方法可得C错误；由条件概率判断D. 【详解】对于AB，因为甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品， 则, 乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品, 则, 则 ，故A，B正确； 对于C，因为, 又，，则，则两事件不相互独立， 故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：ABD 6．（23-24高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 【答案】ABD 【分析】由已知结合条件概率公式及全概率公式检验各选项即可判断. 【详解】用，分别表示抽到学生是男生、女生，用表示抽到的学生喜欢体育锻炼， 由题意得，，，， 则， 由全概率公式得，故A、B正确； ，，故C错误，D正确； 故选：ABD 三、填空题 7．（23-24高二下·北京·期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.则取到的是不合格品的概率是 ，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 【答案】 # 乙. 【分析】设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”，“零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”，根据全概率公式即可求出，再由条件概率公式求出，然后比较大小可得. 【详解】设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”， “零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”， 则，且互斥， 依题意知， ， 所以 . 因为， ， . 所以，即由机器乙生产的概率最大. 故答案为：；乙. 8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种番茄果实的颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 . 【答案】/ 【分析】记果皮为黄色为事件，果皮不为黄色为事件，果肉为红色为事件，果肉不是红色为，根据条件概率公式求出，再由全概率公式计算可得. 【详解】记果皮为黄色为事件，果皮不为黄色为事件，果肉为红色为事件，果肉不是红色为， 依题意，，， 又，所以， 又， 即， 即，解得. 故答案为： 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 【答案】 会 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 四、解答题 10．（23-24高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用互斥事件的定义，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可. 【详解】（1）记事件：从甲袋中取出2个红球，：从甲袋中取出2个白球，：从甲袋中取出1个白球和1个红球，B：从乙袋中取出2个红球． 显然，，，两两互斥，且正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间． 由全概率公式，得 ． 答：从乙袋中取出的是2个红球的概率为． （2）设“取出的是甲袋”为事件，“取出的是乙袋”为事件，“第一次取出的球是红球”为事件B，“第二次取出的球是白球”为事件C，则， ，， 故， 所以 答：第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率为． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是识别全概率公式运用的条件. 11．（23-24高二下·山东临沂·期中）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 【答案】(1)0.71 (2) 【分析】（1）根据全概率公式即得出答案. （2）根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】（1）记“甲跑第一棒”为事件，“甲跑第二棒”为事件，“甲跑第三棒”为事件， “甲跑第四棒”为事件，“运动队获胜”为事件. 则 . （2）. 12．（22-23高二下·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 【答案】(1) (2)该球取自乙箱的可能性更大 【分析】（1）利用全概率公式求摸出的球是黑球的概率； （2）利用贝叶斯公式求黑球来自甲、乙箱的概率，比较它们的大小，即可得结论. 【详解】（1）记事件A表示“球取自甲箱”，事件表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”， 则， 由全概率公式得： . （2）该球取自乙箱的可能性更大，理由如下： 该球是取自甲箱的概率 该球取自乙箱的概率 因为所以该球取自乙箱的可能性更大. 13．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 【答案】(1) (2)0.048 (3)3，说明见解析 【分析】（1）根据第1，2，3台车床加工的零件数之比即可求得答案； （2）根据全概率公式，即可求得答案； （3）根据贝叶斯公式分别计算出在这个零件是次品的条件下由每个车间生产的概率，比较大小，即可判断出结论. 【详解】（1）由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件， 它是第1台机床生产的概率； （2）设事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”， ， ， 现任取一个零件，它是次品的概率 （3）， ， ， 而，所以它是第3台机床生产的可能性最大． 14．（23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)合理设出事件，利用条件公式进行求解； (2) 利用全概率公式进行求解； (3) 利用全概率公式，条件概率公式进行求解； 【详解】（1）记“随机取到甲袋”为事件，“随机取到乙袋”为事件，“第一次取出的是白球”为事件，“第二次取出的是白球”为事件. . 所以取到甲袋且从中取出的两球均为白球的概率为. （2） 所以第一次取到白球的概率为. （3） 所以. 所以第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 条件概率 目录 题型归纳 1 题型01 计算条件概率 3 题型02 条件概率性质的应用 5 题型03 利用全概率公式求概率 7 题型04 利用贝叶斯公式求概率 10 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 24 知识点01条件概率 定义 设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 性质 ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) [方法技巧] 解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 [提醒]　要注意P(B|A)与P(A|B)的不同：前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率． 知识点02全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型01计算条件概率 【例1】（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·河南商丘·期中）已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 . 【变式3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知随机事件A.B满足，则 题型02 条件概率性质的应用 【例2】（23-24高二下·山东青岛·期中）已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二下·江苏连云港·期末）若，则P(A)=（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知随机事件，则 . . 【变式3】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率为，已知下雨的条件下，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 题型03 利用全概率公式求概率 【例3】（23-24高二下·山东青岛·期中）某人计划周六外出参加会议，有飞机和高铁两种交通工具可供选择，它们能准时到达的概率分别为0.95，0.8，若当天是晴天就乘飞机，否则乘坐高铁，天气预报显示当天晴天的概率为0.8，则此人能准时到达的概率为（    ） A．0.62 B．0.84 C．0.92 D．0.98 【变式1】（23-24高二下·安徽亳州·期中）若甲盒中有2个白球、2个红球、1个黑球，乙盒中有6个白球、3个红球、2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·山西大同·期中）小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为 . 【变式3】（23-24高二下·北京房山·期末）袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球. (1)求第一次摸到白球的概率； (2)求第二次摸到白球的概率； (3)求两次摸到的小球颜色不同的概率. 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【例4】（23-24高二下·广东广州·期末）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·云南保山·期末）某人从保山到昆明，可以乘坐高铁､客车､飞机三种交通工具，出行方式如下表， 交通工具 高铁 客车 飞机 乘坐概率 迟到概率 0.1 0.3 0.3 某人已迟到，则他乘坐飞机迟到的概率为 ． 【变式2】（23-24高二下·福建三明·期末）假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件. (1)求取出的零件是次品的概率； (2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率. 【变式3】（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）李教授去参加学术会议，他乘坐飞机，动车和自己开车的概率分别为0.3，0.5，0.2，现在知道他乘坐飞机，动车和自己开车迟到的概率分别为，，. (1)求李教授迟到的概率； (2)现在已经知道李教授迟到了，求李教授是自己开车的概率. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·天津·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有5个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中随机取一个球，该球为白球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.3、0.5，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.6、0.8，则甲正点到达目的地的概率为（    ） A．0.62 B．0.64 C．0.58 D．0.68 3．（2024·江苏南京·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知甲、乙两个袋子各装有10个球，其中甲袋子中装有4个黑球、3个白球和3个红球，乙袋子中装有3个黑球、2个白球和5个红球.规定抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，则从甲袋子中随机摸出一个球：若反面朝上，则从乙袋子中随机换出一个球，下列概率中等于的为（    ） A．摸到黑球 B．摸到红球 C．在抛出的硬币正面朝上的条件下，摸到白球 D．在抛出的硬币反面朝上的条件下，摸到红球 二、多选题 5．（22-23高二下·广西玉林·期中）两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为3%；第二批占70%，次品率为6%，将这两批产品混合后，从中任取1件，则下列说法正确的是（    ） A．这件产品是合格的概率为0.949 B．这件产品是次品的概率为0.949 C．已知取到的是合格品，那么它取自第一批产品的概率为 D．已知取到的是合格品，那么它取自第二批产品的概率为 6．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下，在该市场中任意买一部手机，用分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌，表示可买到的优质品，则（    ） 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 A． B． C． D． 三、填空题 7．（23-24高二下·北京·期中）假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 优质率 在该市场中任意买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是 . 8．（23-24高二下·广东湛江·期中）小明喜爱踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率为．若他下午去踢足球，则晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，则晚上去打羽毛球的概率为．已知小明在某个周末晚上去打羽毛球，则下午踢足球的概率为 ． 四、解答题 9．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，． (1)任取一个零件，计算它是次品的概率； (2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）． 10．（23-24高二下·江苏扬州·期中）某工厂有四条流水线生产同一产品，已知这四条流水线的产量分别占总产量的和，且四条流水线的产品不合格率分别为和，现从该厂的这一产品中任取一件. (1)问抽到不合格品的概率是多少? (2)在抽到这件产品不合格的条件下，它是第二条流水线生产的概率是多少? 11．（23-24高二下·广东云浮·期中）玻璃杯成箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为，和.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.求： (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率； (2)在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率. 12．（23-24高二下·广西·期中）2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%． (1)求用户对S型新能源汽车的满意率； (2)从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率． 13．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·河南·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知某学校高一年级成立了书法社团和吉他乐队社团．其中书法社团有男生4人，女生6人；吉他乐队社团有男生8人，女生4人．若从这两个社团中随机取一个社团，再从该社团中随机选取一人在高一年级新生入学大会上发言，则该同学是女生的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·广东广州·期中）某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）在某次流感疫情爆发期间，A，B，C三个地区均爆发了流感，经调查统计A，B，C地区分别有的人患过流感，且A，B，C三个地区的人数的比为．现从这三个地区中随机选取一人，则此人患过流感的概率为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·山东滨州·期中）一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是（    ） A．； B．； C．事件与事件相互独立； D．． 6．（23-24高二下·广东深圳·期中）在某班中，男生占40%，女生占60%，在男生中喜欢体育锻炼的学生占80%，在女生中喜欢体育锻炼的学生占60%，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（    ） A．抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为 B．抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为 C．若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为 D．若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为 三、填空题 7．（23-24高二下·北京·期中）三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件.则取到的是不合格品的概率是 ，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）为研究某新型番茄品种，科学家对大量该品种番茄果实的颜色进行了统计，发现果皮为黄色的番茄约占.果皮为黄色的番茄中，果肉为红色的约占；果肉不是红色的番茄中，果皮为黄色的约占.根据上述数据，估计该新型番茄果肉为红色的概率值为 . 9．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）“三门问题”出自八九十年代美国的有奖类电视节目.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.其后主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门，是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 四、解答题 10．（23-24高二下·江苏徐州·期中）设甲袋中有4个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球． (1)现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球．求从乙袋中取出的是2个红球的概率； (2)先随机取一只袋，在再从该袋中先后随机取2个球，求第一次取出的是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率． 11．（23-24高二下·山东临沂·期中）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析，运动员甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与出场时比赛获胜率如下表所示. 比赛位置 第一棒 第二棒 第三棒 第四棒 出场率 0.2 0.3 0.3 0.2 比赛胜率 0.6 0.8 0.7 0.7 (1)当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率； (2)当甲出场比赛时，在该运动队获胜的条件下，求甲跑第四棒的概率. 12．（22-23高二下·山东潍坊·期中）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT 发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.ChatGPT所用到的数学知识，开辟了人机自然交流的新纪元. ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于ChatGPT 中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子（如图），其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球. (1)求摸出的球是黑球的概率； (2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大. 13．（23-24高二下·浙江温州·期中）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数之比为5：6：9，现任取一个零件，求： (1)它是第1台机床生产的概率是多少? (2)它是次品的概率是多少． (3)若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大?用具体数据说明． 14．（23-24高二下·江苏常州·期中）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球. (1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率； (2)求第一次取出的是白球的概率； (3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$