第01讲 相交线（6个知识清单+8类热点题型讲练+分层练习）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

第01讲 相交线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01对顶角的定义......................................................................................................................................................................3 题型02对顶角相等.........................................................................................................................................................................5 题型03邻补角的定义理解.............................................................................................................................................................7 题型04找邻补角.............................................................................................................................................................................9 题型05利用邻补角互补求角度...................................................................................................................................................11 题型06垂线的定义理解...............................................................................................................................................................13 题型07画垂线...............................................................................................................................................................................15 题型08同位角、内错角、同旁内角...........................................................................................................................................17 分层练习.........................................................................................................................................................................................19 夯实基础.........................................................................................................................................................................................19 能力提升.........................................................................................................................................................................................37 知识点1．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点2．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点3．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点4．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 知识点5．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点6．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 题型01对顶角的定义 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角的定义判断解答即可． 本题考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是对顶角的是： 故选：C． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 【答案】 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意可得有两条直线，共有2对对顶角，而；有三条直线，共有6对对顶角，而；有四条直线，共有12对对顶角，而；……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：有两条直线，共有2对对顶角，而； 有三条直线，共有6对对顶角，而； 有四条直线，共有12对对顶角，而； ……； 当有n条直线相交于一点时，共有对对顶角； 故答案为：． 3．（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角，邻补角及对顶角． 【答案】∠BOC的补角有两个∠BOD和∠AOC；∠BOC的邻补角为∠AOC；∠BOC没有对顶角. 【知识点】对顶角的定义、找邻补角 【分析】由题意直接根据补角，邻补角及对顶角的定义进行分析即可找出. 【详解】解：因为∠BOC＋∠AOC=180º(平角定义）， 所以∠AOC是∠BOC的补角, ∠AOD=∠BOC（已知）， 所以∠BOC＋∠BOD=180º. 所以∠BOD是∠BOC的补角． 所以∠BOC的补角有两个：∠BOD和∠AOC. 因为∠AOC和∠BOC相邻， 所以∠BOC的邻补角为：∠AOC. ∠BOC没有对顶角. 【点睛】本题考查补角，邻补角及对顶角的定义，熟练掌握补角，邻补角及对顶角的定义是解题的关键. 题型02对顶角相等 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，把三个角转化为一个平角是解题的关键．根据对顶角相等求出，再根据平角的定义解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴． 故选：C． 6．（22-23七年级下·广西河池·期末）如图，直线a、b相交，，则 度． 【答案】140 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，掌握对顶角相等成为解题的关键． 先根据对顶角相等和已知条件求得，再根据平角的性质列式计算即可． 【详解】解：∵，（对顶角相等）， ， ． 故答案为：140． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的概念，解题的关键掌握对顶角相等的概念． 【详解】解：由题图可知与互为对顶角，所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：． 题型03邻补角的定义理解 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】找邻补角、邻补角的定义理解 【分析】此题考查了邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．根据邻补角的定义求解判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不是邻补角，故此选项不符合题意； B、和不是邻补角，故此选项不符合题意； C、和是邻补角，故此选项符合题意； D、和不是邻补角，故此选项不符合题意． 故选：C． 8．（21-22七年级下·全国·课前预习）如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为 ，那么这两个角互为邻补角．图中∠1的邻补角有 ． 【答案】 反向延长线 ∠2，∠3 【知识点】邻补角的定义理解 【解析】略 9．（七年级下·全国·课后作业）如图，有一块弯折的屏风，要测量在地面上所形成的∠AOB的度数，你有几种不同方法，请写出来和大家交流． 【答案】详见解析. 【知识点】邻补角的定义理解 【分析】延长AO、BO，利用互为邻补角的两个角的和等于180°或对顶角相等解答． 【详解】如图，延长AO、BO， 可以利用∠AOB＝180°－∠BOC， 或∠AOB＝∠COD两种方法测量出∠AOB. 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，互为邻补角的两个角的和等于180°，熟记概念与性质是解题的关键． 题型04找邻补角 10．（21-22七年级下·北京朝阳·期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】找邻补角 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意； B．与是邻补角，故选项符合题意； C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意； D．与是同旁内角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 11．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 【答案】和 【知识点】找邻补角 【分析】本题考查了邻补角的定义“两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角”，熟记定义是解题关键．根据邻补角的定义求解即可得． 【详解】解：的邻补角为和， 故答案为：和． 12．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，在所标注的角中． (1)对顶角有_________对，邻补角有_________对； (2)若，，求与的度数． 【答案】(1)2，6 (2)， 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度、对顶角的定义、找邻补角 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义结合图形进行判断即可； （2）利用角的和差关系，邻补角的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：图中的对顶角有∠5与∠7，∠6与∠8共2对， 邻补角有：∠1与∠2，∠3与∠4，∠5与∠6，∠6与∠7，∠7与∠8，∠8与∠5，共6对． 故答案为：2；6． （2）∵与是邻补角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴． 【点睛】本题考查对顶角、邻补角，掌握对顶角相等以及邻补角互补是正确解答的前提． 题型05利用邻补角互补求角度 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的度数等于（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题主要考查了邻补角，熟练掌握邻补角的和为．根据邻补角之和为计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．先根据邻补角的性质求出的度数，再结合求出的度数． 【详解】因为与是邻补角，邻补角的和为，已知， 所以 已知， 把代入可得： ． 故答案为： 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，相交于点O． (1)如果，那么__________，__________； (2)如果，，，求x，y的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了对顶角相等，邻补角互补．应用方程思想是解题关键． （1）结合已知条件，利用邻补角互补计算； （2）根据对顶角相等和邻补角互补的性质来列方程计算． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， 故答案为：， （2）由，， 得， 解得． ∵， ∴， ∴． 题型06垂线的定义理解 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案，掌握垂线的定义是解题的关键． 【详解】解：在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：． 17．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则 ． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂线的定义，角的和差．依据，可得，再根据，即可得到的度数． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，A，D，B三点在同一条直线上，若，，请你写出图中互相垂直的线段，并说明理由． 【答案】，，，理由见解析 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题主要考查垂直的定义，找出图形中的直角即可得到答案． 【详解】解：，，，． 理由如下：因为， 所以． 因为，， 所以， 所以，，． 题型07画垂线 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【知识点】画垂线 【分析】本题考查的是过一点画已知直线的垂线，根据利用三角板或量角器画垂直的方法进行判断即可． 【详解】解：过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是①③； 故选：B． 20．（22-23七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画垂线 【分析】根据垂线的定义作图，然后求解即可． 【详解】如图所示，过点A作的垂线段，垂足为D， ∴点D的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查垂线段的概念，坐标系中点的坐标，解题的关键是正确找到垂足． 21．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了本题考查了学生利用直尺和三角板作垂线的能力．用三角板的一条直角边与重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P点沿直角边向画直线即可． 【详解】解∶如图，直线l即为所求． 题型08同位角、内错角、同旁内角 22．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查三线八角，理解图示，掌握三线八角的定义，数形结合分析是解题的关键． 利用内错角定义可得答案． 【详解】解：A、的内错角是，故此选项符合题意； B、与是同旁内角，故此选项不合题意； C、与是同位角，故此选项不合题意； D、与不是内错角，故此选项不合题意； 故选：A． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成形，内错角的边构成形，同旁内角的边构成形．利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可． 【详解】解：的同位角是； 的内错角是； 的同旁内角是． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，试判断下列各对角的位置关系：与，与，与，与，与． 【答案】与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，内错角和同旁内角的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据同位角，内错角和同旁内角的概念，进行作答，即可求解； 【详解】解：同位角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线同一方，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同位角； 内错角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的不同侧的两个角，称为内错角； 同旁内角定义：两条直线被第三条直线所截，位于这两条被截直线之间，并且在第三条直线的同一侧的两个角，称为同旁内角； 结合同位角，内错角和同旁内角的概念，可得：与是同位角；与，与，与是同旁内角；与是内错角 一、单选题 1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】对顶角的定义 【分析】对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，根据定义逐一判断即可. 【详解】解：第一个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线， 第二个图的两个角不满足有公共的顶点， 第三个图满足两个条件，是对顶角， 第四个图的两个角不满足角的两边互为反向延长线， 故选A. 【点睛】本题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解题的关键. 2．如图，下列两个角是同旁内角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角的概念求解即可． 【详解】解：由图可知，∠1与∠3是同旁内角， ∠1与∠2是内错角， ∠4与∠2是同位角， 故选：B． 【点睛】本题考查了同旁内角的概念，属于基础题，熟练掌握同位角，同旁内角，内错角的概念是解决本题的关键． 3．平面内三条直线两两相交，对顶角有（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．1对或3对 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查对顶角，掌握每两条直线相交有2对对顶角是解题的关键． 根据：每两条直线相交有2对对顶角，三条直线两两相交，共有3组相交线，即可求解． 【详解】解：每两条直线相交有2对对顶角，三条直线两两相交，共有3组相交线，故对顶角共有6对． 故选：C． 4．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质求解、垂线段最短 【分析】根据四边形APCQ是平行四边形得到AQ＝PC，再由垂线段最短得到：当PC⊥AB时AQ的值最小，根据面积求PC即可； 【详解】解：∵四边形APCQ是平行四边形， ∴AQ＝PC， 由垂线段最短可得，当PC⊥AB时，AQ值最小， ∵AB＝10，△ABC的面积是25， ∴PC＝5， ∴AQ＝5， 故选：C． 【点睛】此题利用三角形面积考查平行四边形相关知识点，难度一般，灵活运用是关键． 5．如图，已知，则的度数为（    ） A．55° B．75° C．125° D．130° 【答案】C 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】先根据对顶角相等求出，再由邻补角的意义可求出的度数． 【详解】解：∵，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了对顶角、邻补角，熟练掌握对顶角相等是解答本题的关键． 6．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、同位角、内错角、同旁内角、对顶角相等、判断是否是命题 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意； 故选：C． 7．有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、对顶角相等 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的性质、平行线公理，点到直线的距离，解题关键是准确掌握相关性质和概念，正确进行判断．根据平行线公理，点到直线的距离、垂线的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：（1）对顶角相等，正确； （2）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误； （3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原说法错误； （4）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； 故选：A． 8．如图，AD ⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（    ） A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不能确定 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】先根据垂直的定义可得，再根据平行线的性质可得，然后根据余角的定义即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， 则与的关系是互为余角， 故选：A． 【点睛】本题考查了垂直、平行线的性质、余角，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 二、填空题 9．如图所标的5个角中，与 是同位角，与 是同旁内角． 【答案】 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角与同旁内角的特点，结合图形判断即可． 【详解】解：如图所标的5个角中， 与是同位角， 与是同旁内角． 故答案为：①，②． 【点睛】题目主要考查同位角及同旁内角的特点，熟练掌握相交形成的同位角及同旁内角的特点是解题关键． 10．（1）如图1，若直线a、b相交于点O，∠1＝90°，则a b； （2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD ＝ ； （3）如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶3，那么∠COA＝ ，∠BOC的补角为 ． 【答案】 ⊥ 90° 60° 150° 【知识点】垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【解析】略 11．（1）在中，，，则 ； （2）在中，，，则 ； （3）中，若，则 ； （4）中，若，则 ， ， ，则它们的相应邻补角的比为 ； （5）在中，若，，则 ， ， ． 【答案】 70° 50° 45° 30° 60° 90° 30° 45° 105° 【知识点】利用邻补角互补求角度、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和为180度进行求解即可； （2）根据三角形内角和为180度进行求解即可； （3）根据三角形内角和为180度进行求解即可； （4）先由，得到，，再由三角形内角和定理和邻补角的定义进行求解即可； （5）由题意可得，，再由三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴； （2）在中，，， ∴； （3）∵中，若，， ∴， ∴∠B=45°； （4）∵中，若， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴∠A的邻补角为150°，∠B的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°， ∴它们的邻补角之比为； （5）在中，若，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∠A=30°， ∴∠B=45°，∠C=105°， 故答案为：；；；，，，；，，． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，邻补角的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12．如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，OD是OC的反射向延长线，OF平分∠AOD，∠COE=20°，则∠COF的度数为 ． 【答案】125°/125度 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】先求出∠AOC，再根据邻补角的定义求出∠AOD，然后根据角平分线的定义求出∠AOF即可求解． 【详解】解：∵OE⊥AB于点O， ∴∠AOE=90°， ∵∠COE=20°， ∴∠AOC=90°-20°=70°， ∴∠AOD=180°-70°=110°， ∵OF平分∠AOD， ∴∠AOF=∠AOD=55°， ∴∠COF=∠AOC+∠AOF=70°+55°=125°， 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了垂线的定义，角的和差，角平分线的定义，数形结合是解答本题的关键． 13．如图,点D是BC上一点，图中与∠C构成同旁内角的角有 个 ． 【答案】4 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一组角叫做同旁内角可得答案． 【详解】解：根据同旁内角的定义可得，与∠C构成同旁内角的角是∠ADC，∠DAC，∠BAC，∠ABC，故答案为4. 【点睛】此题主要考查了同旁内角的定义，准确识图是解题的关键． 14．如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个． 【答案】 AB AC DE 内错 3 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据内错角和同旁内角的定义得出即可． 【详解】解：∠1和∠3是直线AB和AC被直线DE所截而成的内错角；图中与∠2 是同旁内角的角有∠6、∠5、∠7，共3个. 故答案为AB；AC；DE；内错；3． 【点睛】此题考查同位角、内错角、同旁内角等知识点，能根据图形找出各对角是解题的关键. 根据内错角和同旁内角的定义得出即可. 三、解答题 15．已知：如图，直线a，b被直线c所截，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据对顶角相等得到，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由对顶角相等可得： ∵ ∴（两直线平行同旁内角互补） ∴ 【点睛】此题考查了对顶角的性质和平行线的性质，掌握相关基本性质是解题的关键． 16．如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 【答案】(1)8； 6 (2)图见解析；点C到的距离是 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线的距离的概念及等面积法是解题的关键， （1）根据点到直线的距离的概念进行求解即可得到答案； （2）过点作，则线段表示点C到的距离，再利用等面积法即可求得线段的长． 【详解】（1）解：∵三角形为直角三角形，，， ∵， ∴点B到的距离是的长度为8， ∵ ∴点A到的距离是的长度为6． 故答案为：8；6． （2）解：过点作，如图，线段即为所求． ，即， ， ∴点C到的距离是． 17．如图，直线a，b被直线c所截，请利用，，，，，这6个角，写出能够证明的条件（能写出几个就写几个）． 【答案】见解析 【知识点】对顶角相等、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理分析即可． 【详解】符合要求的条件很多，如下列任何一个条件都符合要求：，，，，，，， 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 18．如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 【答案】，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、利用邻补角互补求角度、同位角相等两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定，根据同角的补角相等得到，等量代换得到，则． 【详解】解：将的邻补角记作，则 （邻补角的定义） 因为（已知） 所以（同角的补角相等） 因为（已知） 所以（等量代换） 所以（同位角相等，两直线平行） 故答案为：，邻补角的定义，已知，同角的补角相等，，已知，同位角相等，两直线平行 19．如图，直线相交于点平分． (1)图中的余角是______________； (2)如果，那么的大小为______________，理由是______________； (3)如果，求和的大小． 【答案】(1) (2)，对顶角相等 (3)，． 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、对顶角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角相等的性质、互为余角关系 （1）由垂线的定义和角的互余关系即可得出结果； （2）由对顶角相等即可得出结果； （3）由角平分线的定义求出，由对顶角相等得出的度数，再由角的互余关系即可求出∠3的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是． 故答案为：； （2）∵， ∴．理由是：对顶角相等； 故答案为：，对顶角相等； （3）∵平分， ∴， ∴， ∴． 20．如图，三角形的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，点是三角形内任意一点，．将三角形先向右平移四个单位长度得到三角形，再向下平移三个单位长度后得到三角形． (1)画出平移后的三角形和三角形． (2)连接， ①与形成的是__________ A．同位角    B．内错角    C．同旁内角 ②若点随的平移而平移，经过两次平移后，的对应点为，如果，则的长为__________； ③如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①C；②5；③ 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线的性质求角的度数、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质； （1）根据平移找到对应点，顺次连接对应点即可求解； （2）①根据与的位置关系进行加判断，即可求解； ②根据平移的性质，即可求解； ③根据平移的性质可得，，进而根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，三角形和三角形即为所求； （2）①根据图形可得与是同旁内角， 故选：C． ②根据平移的性质可得，， 故答案为：． ③根据平移的性质可得，， 又∵， ∴ ∴ 能力提升 一、单选题 1．下列图形中，和的位置关系不属于同位角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：A．根据根据同位角的特征得，∠1和∠2是同位角． B．根据根据同位角的特征得，∠1和∠2是同位角． C．根据根据同位角的特征得，∠1和∠2是同位角． D．由图可得，∠1和∠2不是同位角． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同位角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 2．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离以及同位角、内错角、同旁内角的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∠A和∠BDC是直线AB、直线BD，被直线AC所截，得到的同位角，因此选项A不符合题意； B．∠ABD和∠BDC是直线、直线AC被直线BD所截，得到的内错角，因此选项B不符合题意； C．点A到BC的距离是线段AB的长度，因此选项C符合题意； D．线段BD的长是点B到直线AC的距离，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离，理解同位角、内错角、同旁内角以及点到直线的距离的定义是正确判断的前提． 二、填空题 3．如图所示的图形中，同位角有 对 【答案】4 【分析】如果两条直线被第三条直线所截，则位于两条被截直线的同旁，截线同侧的两个角一定是同位角．根据同位角的定义求解． 【详解】解：AB、GD被AF所截，∠BAG与∠DGF是同位角； AC、GE被AF所截，∠CAG与∠EGF是同位角． AB、GE被AF所截，∠BAG与∠EGF是同位角． AC、GD被AF所截，∠CAG与∠DGF是同位角． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了同位角的概念．解题的关键是掌握同位角的概念，注意有以下几个要点：1、分清截线与被截直线；2、两个相同，在截线同旁，在被截直线同侧． 4．如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查对顶角，补角，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．分两种情况进行讨论：①是之间；②在之间，再结合角的和差进行求解即可． 【详解】解：①当是之间时，如图， 直线、相交于点，， ， ， ， ， ， ， 即； ②当在之间时，如图， 直线、相交于点，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：82.5或202.5． 三、解答题 5．如图，直线AB，CD被直线EF所截，点G，H为它们的交点，∠AGE与它的同位角相等，HP平分∠GHD,∠AGH∶∠BGH＝2∶7，试求∠CHG和∠PHD的度数． 【答案】140°，20°. 【分析】根据已知条件得到∠BGH＝=140°，由∠AGE与它的同位角相等，得到∠CHG＝∠AGE＝∠BGH＝140°，∠GHD＝180°－∠CHG＝40°，，然后根据角平分线的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠AGE的同位角是∠CHG，且∠CHG＝∠AGE.∵∠AGH∶∠BGH＝2∶7，∴∠BGH＝180°×＝140°，∴∠CHG＝∠AGE＝∠BGH＝140°，∴∠GHD＝180°－∠CHG＝40°，又∵HP平分∠GHD，∴∠PHD＝∠GHD＝20°. 【点睛】本题考查同位角概念和角平分线的性质. 6．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； (2)【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)100° 【分析】（1）先证明△AOE和△COD是对顶三角形，得到∠OAE+∠OEA=∠C+∠D，再由∠EAO=∠C，∠D=2∠B，推出∠OEA=2∠B，即可利用三角形外角的性质证明∠B=∠BAE； （2）由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC，则∠BDO-∠OEC=20°，证明∠A+∠DOE=180°，如图所示，连接AO，推出∠ADO+∠AEO=180°，进而证明∠BDO=∠AEO，推出∠BDO+∠OEC=180°，即可求出∠BDO=100°． 【详解】（1）证：∵△AOB和△COD是对顶三角形， ∴∠AOB=∠COD， ∴△AOE和△COD是对顶三角形， ∴∠OAE+∠OEA=∠C+∠D， ∵∠EAO=∠C， ∴∠D=∠OEA， ∵∠D=2∠B， ∴∠OEA=2∠B， 又∵∠OEA=∠B+∠BAE， ∴∠B=∠BAE； （2）解：由题意得：∠ECD-∠BDE=20°， 由（1）得∠DBE+∠BDO=∠ECD+∠OEC， ∴∠BDO-∠OEC=∠ECD-∠DBE=20°， ∵∠BOD=∠A，∠BOD+∠DOE=180°， ∴∠A+∠DOE=180°， 如图所示，连接AO， ∴∠ADO+∠AOD+∠DAO=180°，∠AOE+∠AEO+∠EAO=180°， ∴∠A+∠DOE+∠ADO+∠AEO=360°， ∴∠ADO+∠AEO=180°， ∵∠AEO+∠OEC=∠BDO+∠ADO=180°， ∴∠BDO=∠AEO， ∴∠BDO+∠OEC=180°， ∵∠BDO-∠OEC=20°， ∴∠BDO=100°． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确理解题意掌握三角形内角和定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 相交线 目 录 题型归纳...........................................................................................................................................................................................1 题型01对顶角的定义......................................................................................................................................................................3 题型02对顶角相等.........................................................................................................................................................................5 题型03邻补角的定义理解.............................................................................................................................................................7 题型04找邻补角.............................................................................................................................................................................9 题型05利用邻补角互补求角度...................................................................................................................................................11 题型06垂线的定义理解...............................................................................................................................................................13 题型07画垂线...............................................................................................................................................................................15 题型08同位角、内错角、同旁内角...........................................................................................................................................17 分层练习.........................................................................................................................................................................................19 夯实基础.........................................................................................................................................................................................19 能力提升.........................................................................................................................................................................................37 知识点1．相交线 （1）相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2）两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类． （3）在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 知识点2．对顶角、邻补角 （1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （3）对顶角的性质：对顶角相等． （4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 知识点3．垂线 （1）垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2）垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 知识点4．垂线段最短 （1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段． （2）垂线段的性质：垂线段最短． 正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． （3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 知识点5．点到直线的距离 （1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． （2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 知识点6．同位角、内错角、同旁内角 （1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． （2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 题型01对顶角的定义 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列图形中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级·全国·竞赛）已知条直线相交于一点，设表示这条直线构成的所有对顶角的对数．我们从特殊到一般地研究问题：，由此可推出： ． 3．（2021七年级下·全国·专题练习）如图所示，已知∠AOD=∠BOC，请在图中找出∠BOC的补角，邻补角及对顶角． 题型02对顶角相等 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·广西河池·期末）如图，直线a、b相交，，则 度． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，直线a，b相交，，求的度数． 题型03邻补角的定义理解 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，下列各组角中，是邻补角的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 8．（21-22七年级下·全国·课前预习）如果两个角有一条公共边，它们的另一边互为 ，那么这两个角互为邻补角．图中∠1的邻补角有 ． 9．（七年级下·全国·课后作业）如图，有一块弯折的屏风，要测量在地面上所形成的∠AOB的度数，你有几种不同方法，请写出来和大家交流． 题型04找邻补角 10．（21-22七年级下·北京朝阳·期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．   D．   11．（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图，直线、、相交于点O，则的邻补角为 ． 12．（22-23七年级下·全国·假期作业）如图，在所标注的角中． (1)对顶角有_________对，邻补角有_________对； (2)若，，求与的度数． 题型05利用邻补角互补求角度 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的度数等于（   ）    A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线相交于点，则的度数是 ． 15．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，相交于点O． (1)如果，那么__________，__________； (2)如果，，，求x，y的值． 题型06垂线的定义理解 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在同一平面内，，，垂足为，则直线和直线重合的理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．已知直线的垂线只有一条 C．垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 17．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为，，则 ． 18．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，A，D，B三点在同一条直线上，若，，请你写出图中互相垂直的线段，并说明理由． 题型07画垂线 19．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各图中，过点P画直线l的垂线，用三角尺或量角器操作正确的是（   ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 20．（22-23七年级下·北京海淀·阶段练习）如图，过点A作的垂线段，垂足坐标是 ． 21．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，用三角尺过点P作直线的垂线． 题型08同位角、内错角、同旁内角 22．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，的内错角是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的同位角是 ；的内错角是 ；的同旁内角是 ． 24．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，试判断下列各对角的位置关系：与，与，与，与，与． 一、单选题 1．如图所示，∠1和∠2是对顶角的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，下列两个角是同旁内角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．平面内三条直线两两相交，对顶角有（　　） A．2对 B．4对 C．6对 D．1对或3对 4．如图，△ABC中，AB＝10，△ABC的面积是25，P是AB边上的一个动点，连接PC，以PA和PC为一组邻边作平行四边形APCQ，则线段AQ的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，已知，则的度数为（    ） A．55° B．75° C．125° D．130° 6．下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 7．有下列说法：其中正确的说法的个数是（    ） （1）对顶角相等；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； （4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，AD ⊥BC，，则∠CDE与∠BAD的关系是（    ） A．互为余角 B．互为补角 C．相等 D．不能确定 二、填空题 9．如图所标的5个角中，与 是同位角，与 是同旁内角． 10．（1）如图1，若直线a、b相交于点O，∠1＝90°，则a b； （2）若直线AB、CD相交于点O，且AB⊥CD，则∠BOD ＝ ； （3）如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比为1∶3，那么∠COA＝ ，∠BOC的补角为 ． 11．（1）在中，，，则 ； （2）在中，，，则 ； （3）中，若，则 ； （4）中，若，则 ， ， ，则它们的相应邻补角的比为 ； （5）在中，若，，则 ， ， ． 12．如图，OE⊥AB于点O，OC为∠AOE内的一条射线，OD是OC的反射向延长线，OF平分∠AOD，∠COE=20°，则∠COF的度数为 ． 13．如图,点D是BC上一点，图中与∠C构成同旁内角的角有 个 ． 14．如图，∠1和∠3是直线 和 被直线 所截而成的 角；图中与∠2是同旁内角的角有 个． 三、解答题 15．已知：如图，直线a，b被直线c所截，．求证：． 16．如图，在直角三角形中，，． (1)点B到的距离是_____________；点A到的距离是_____________． (2)画出表示点C到的距离的线段，并求出这个距离． 17．如图，直线a，b被直线c所截，请利用，，，，，这6个角，写出能够证明的条件（能写出几个就写几个）． 18．如图，已知，请说明与平行的理由． 解：将的邻补角记作，则 　　　　　°（                ） 因为（              ） 所以（             ） 因为　　　　　（            ） 所以（等量代换） 所以（                ） 19．如图，直线相交于点平分． (1)图中的余角是______________； (2)如果，那么的大小为______________，理由是______________； (3)如果，求和的大小． 20．如图，三角形的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，点是三角形内任意一点，．将三角形先向右平移四个单位长度得到三角形，再向下平移三个单位长度后得到三角形． (1)画出平移后的三角形和三角形． (2)连接， ①与形成的是__________ A．同位角    B．内错角    C．同旁内角 ②若点随的平移而平移，经过两次平移后，的对应点为，如果，则的长为__________； ③如果，求的度数． 能力提升 一、单选题 21．下列图形中，和的位置关系不属于同位角的是（  ） A． B． C． D． 22．如图，下列说法不正确的是（　　） A．∠A和∠BDC是同位角 B．∠ABD和∠BDC是内错角 C．点A到BC的距离是线段AC的长度 D．点B到AC的距离是线段BD的长度 二、填空题 23．如图所示的图形中，同位角有 对 24．如图，直线相交于点O．已知平分，将射线绕点O逆时针旋转到．当时，是 ． 三、解答题 25．如图，直线AB，CD被直线EF所截，点G，H为它们的交点，∠AGE与它的同位角相等，HP平分∠GHD,∠AGH∶∠BGH＝2∶7，试求∠CHG和∠PHD的度数． 26．我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，的内角与的内角互为对顶角，则与为对顶三角形，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：． (1)【性质理解】如图2，在“对顶三角形”与中，，，求证：； (2)【性质应用】如图3，在中，点D、E分别是边、上的点，，若比大20°，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$