精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第一中学2024-2025学年高一创新实验班上学期1月期末数学试题

2024-2025学年上学期高一创新实验班期末质量检测试题 数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 2. 复数的辐角的主值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，且．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 中，角，，的对边分别为．则下列命题中： ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③为所在平面内一点，且，则为的内心． ④已知，，，解有两解．正确的的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 8. 幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 函数．则下列结论正确的是（ ） A. 在其定义域内的值域为 B. 的单调递增区间为 C. 对定义域内任意，恒成立 D. 的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点 11. 已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 对，有 D. 若，则 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义在上的奇函数满足恒成立，则_____． 13. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数，人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型描述血氧饱和度随着给氧时间（单位：小时）的变化而变化的规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为_____小时．（精确到0.1，参考数据：，） 14. 若函数恰有两个零点，则实数的范围是________ 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，且是的必要不充分条件，求的取值范围． 16 梯形中，，，，． （1）求； （2）若的面积为8，求的长． 17. 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点． （1）求实数的取值范围； （2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域． 18. 已知关于的不等式． （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）若不等式对于恒成立，求取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 19. 在中，角，，对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年上学期高一创新实验班期末质量检测试题 数学卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则满足的集合C的个数为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，化简集合，再由集合中元素的情况求解. 【详解】依题意，， ， 因为， 所以集合为：，，，，，，， 所以集合C的个数为7. 故选：C 2. 复数的辐角的主值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 3. 已知实数，且．下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得，然后根据不等式性质，以及赋值法即可判断各项的正误. 【详解】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 4. 中，角，，的对边分别为．则下列命题中： ①若，则． ②若，则一定为等腰三角形． ③为所在平面内的一点，且，则为的内心． ④已知，，，解有两解．正确的的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，根据正弦定理可得边与角正弦值的等量关系，可得答案；对于②，根据正弦定理进行边化角，结合正弦函数性质以及三角形性质，可得答案；对于③，根据数量积的运算律，结合向量垂直以及三角形的性质，可得答案.对于④，根据余弦定理建立方程，结合一元二次方程解存在的判别，可得答案. 【详解】对于①，由正弦定理可得（），其中为外接圆半径， 则，，由，则，故①正确； 对于②，由，则，， 由，，则或或， 化简可得或或（舍去），所以为等腰三角形或直角三角形，故②错误； 对于③，由，则，所以， 同理可得，，所以点为的垂心，故③错误； 对于④，由余弦定理可得，则， 化简可得，由， 则方程存在两个实数解，设两个根为，可得，，则， 所以有两个解，故④正确. 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移个单位，所得函数图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出图象平移之后的函数解析式，利用函数图象关于轴对称可求的最小值. 【详解】将函数的图象向右平移个单位， 所得函数解析式为，即， ∵函数的图象关于轴对称， ∴函数为偶函数， ∴，故， ∵，∴当时，. 故选：D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将齐次化即可得出答案. 【详解】由题， 得， 则或， 因为，所以， . 故选：A 7. 是边长为2的正三角形，为所在平面内任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为的中点为E，则可表示为，进而可得答案. 【详解】设的中点为的中点为E， 则有 ， 则 ， 而 而 ，， 故当P与E重合时， 有最小值 ， 所以的最小值为， 故选：B 8. 幂函数过点，，是其图象上任意两点．则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，进而逐项判断即可； 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得：， 所以，定义域为， 对于A，设，定义域为，因为， 所以在上单调递增， 若，则有，即，故A正确； 对于B，设，定义域为，因为， 所以在上单调递减， 若，则有，即，故B正确； 对于CD，， 而，等号不成立， 所以， 又， 所以，C对，D错， 故选：D 【点睛】关键点点睛：判断CD的关键在于对进行平方，再由基本不等式比较大小. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正数，满足．则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用基杯不等式计算可判断A；利用基本不等式1的代换计算可判断B；两边平方利用放缩法可判断C；换元利用二次函数的性质计算可判断D. 【详解】因为，，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A错误； ， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 由，得，所以， 当且仅当时取等号，故C正确； 因为，，所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，故D正确. 故选：CD. 10. 函数．则下列结论正确的是（ ） A. 在其定义域内的值域为 B. 的单调递增区间为 C. 对定义域内任意，恒成立 D. 的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二次函数的值域结合对数函数的值域判断A；根据对数函数的单调性结合二次函数的单调性判断B；根据对数函数的定义域结合二次函数的对称性判断C；根据零点存在性定理判断D. 【详解】由可得或，则函数的定义域为或， 设，则当或时的值域是， 而的值域是，所以定义域内的值域为，A正确； 单调递减，在上递减， 所以的单调递增区间为，同理的单调递减区间为，B不正确； 当时；当时或，因为的图象关于对称， 所以对定义域内任意，， 所以对定义域内任意，恒成立，即恒成立，C正确； 的单调递增区间为，， 所以时，有唯一零点在内，且在第三象限，在第二象限； 因为的单调递减区间为，， 所以时，有唯一零点在内，且在第四象限，在第一象限； 综上，的图象在四个象限均有分布，并恰有两个零点，D正确. 故选：ACD. 11. 已知定义在上且不恒为0的函数，对任意，都有，则（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 对，有 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特殊值判断A，当时，令得到，再结合奇偶性判断B，结合B选项及特殊值判断C，推导出，即可判断D. 【详解】对于A，因为对任意，都有， 令，得 ，A正确． 对于B，当时，令，则有， ，， 又，，为奇函数，B正确． 对于C，由B知，不恒等于，即时，C错误． 对于D，， 由知，， ， ， ， ， ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是得到，D选项关键是推导出. 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 定义在上的奇函数满足恒成立，则_____． 【答案】0 【解析】 【分析】先判断是周期为5的周期函数，由函数的奇偶性可得，再利用周期性可得答案. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以， 令， 因为，所以， 所以是周期为5的周期函数， ， 故答案为： 13. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数，人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型描述血氧饱和度随着给氧时间（单位：小时）的变化而变化的规律，其中为初始血氧饱和度，为参数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80%．若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为_____小时．（精确到0.1，参考数据：，） 【答案】0.5 【解析】 【分析】依据题给条件列出关于时间的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数. 【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时， 由题意可得，，所以， 两边同时取自然对数得， ， 则， 则给氧时间至少还需要小时. 故答案为： 14. 若函数恰有两个零点，则实数的范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】分别设，分两种情况讨论，即可求出的范围. 【详解】解：设， 若在时，与轴有一个交点， 所以，并且当时，　，所以， 而函数有一个交点，所以，且， 所以， 若函数在时，与轴没有交点， 则函数有两个交点， 当时，与轴无交点，无交点，所以不满足题意（舍去）， 当时，即时，的两个交点满足，都是满足题意的， 综上所述的取值范围是，或. 故答案为：. 【点睛】本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，且是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，根据集合的基本运算可得结果. （2）问题转化为⫋，利用集合间的基本关系列不等式组计算可得结果. 【小问1详解】 当时，， ∵， ∴， ∴或. 【小问2详解】 当时，， ∵是的必要不充分条件，∴⫋， ∴，（其中等号不同时成立）， 解得，即的取值范围是． 16. 梯形中，，，，． （1）求； （2）若的面积为8，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理可求出结果； （2）由，进而可求，再利用的面积为8，求出，再根据余弦定理可求出结果. 【小问1详解】 ，，，中，由正弦定理，得 ，为锐角，． 【小问2详解】 ， ．， 由，． 在中，由余弦定理，得 ． 17. 已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点． （1）求实数的取值范围； （2）如果求在（1）的范围内取最小整数．令．求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数列不等式可求实数的取值范围； （2）令，则，利用，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由已知． 令，当时， 则在区间上的最值点个数等价于在上的最值点个数． 由，， 得．所以的取值范围是； 【小问2详解】 由题知：，令 当时，， 由得 所以，的值域为. 18. 已知关于的不等式． （1）是否存在实数，使不等式对任意恒成立； （2）若不等式对于恒成立，求的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）不存在实数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，分和两种情况，利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据条件得到，令，得到，再求出的最小值，即可求解； （3）设，将问题转化成时，恒成立，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 原不等式等价于． 当时，，解得，不满足题意， 当时，则，得到， 所以，不存在实数，使不等式对恒成立． 【小问2详解】 因为，所以，，则， 令，则，得到， 设，，显然在单调递增， 当时，，当时，，所以，则， 所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 设，当时，恒成立． 即成立，即， 由，得到， 由，得到或， 所以，所以实数的取值范围是． 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（3）问，构造一次函数，将问题转化成在区间上恒成立，从而得到，即可求解. 19. 在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． （1）若边，，的平分线交边于点．求的长； （2）若为边上任意一点，，．求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可得，，利用余弦定理得，根据等面积法可得结果. （2）利用向量的线性运算表示，进而得到，结合基本不等式中“1”的代换可得的最小值． 【小问1详解】 由得，，即， ∴，由得，， ∵，∴ 由余弦定理得，，即，得， ∵为的平分线，∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由已知得，，即， ∴，故， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的最小值为． 【点睛】关键点点睛：解决第（2）的关键是利用向量的数量积运算得到，利用“1”的代换结合基本不等式可求最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$