精品解析：河南省安阳市滑县2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

九年级数学拓展训练三 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】 解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点坐标是，根据横纵坐标的符号关系求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是． 故选：C． 3. 下列结论不正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 正方形都相似 C. 等腰直角三角形都相似 D. 正八边形都相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似判定．根据题意利用相似知识逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵相似图形形状完全相同，大小不一定相同， ∴A选项，矩形的角都是直角，但矩形的长宽不一定相等，故A选项符合题意， ∴B选项，正方形四边相等，四个角都是直角，故都相似，B选项不符合题意， ∴C选项等腰直角三角形两腰相等，都是直角，故都相似，C选项不符合题意， ∴D选项正八边形的八边相等，角都相等，故都相似，D选项不符合题意， 故选：A． 4. 悬铃木一般是指法国梧桐，落叶乔木，号称世界行道树之王，能给人们带来很好的遮阴效果，下表是悬铃木幼苗移植过程中的统计结果： 幼苗移植棵数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 成活的棵数 840 1712 2550 3408 4245 5106 成活的频率 0.840 0.856 0.850 0.852 0.84 90.851 则估计悬铃木幼苗在此条件下移植成活的概率是（ ）（结果精确到0.01） A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.850 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解决此题的关键．概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，据此解答即可． 【详解】解：∵概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率 ， ∴这种幼树移植成活率的概率约为． 故选：B． 5. 已知蓄电池的电压为定值，工作状态下电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的关系如下表所示，则“▲”表示的数字为（ ） 电阻R（单位：Ω） … 8 4 … 电流I（单位：A） … 3 ▲ … A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解决此题的关键．由电流I与电阻R之间的函数解析式为，用待定系数法求出解析式，进而即可得解． 【详解】解：∵，当时，， ， ， ， 故选：． 6. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若面积为18，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质：面积之比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， 面积为18， 的面积为8， 故选：． 7. 如图，点A、C是反比例函数图象上任意两点，且轴于点B，轴于点D，和面积之和为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，用含k的式子表示出和面积之和，即可求解． 【详解】解：点A、是反比例函数图象上任意两点， 设，， 轴于点，轴于点D， ，，，， 和面积之和为3， ， ， 故选：C． 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能根据题意得出且是解此题的关键． 根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出且，再找出选项即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 和都不符合，只有1符合， 故选：A． 9. 如图，正五边形内接于，点F为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，熟练掌握正多边形和圆、圆周角定理是解决此题的关键．连接求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 多边形是正五边形， ， ， 故选：． 10. 已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键． 根据题意得到当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，然后分，和三种情况讨论，然后分别根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴①若，时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最小值7， 可得：， 解得：或（舍）； ③若时，当时，取得最小值为，不是7， ∴此种情况不符合题意，舍去． 综上，的值为或6， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若双曲线位于第一、三象限，则任意写出一个符合要求的a的值______． 【答案】2（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限；根据反比例函数的图象和性质可得，即可得解． 【详解】解：双曲线位于第一、三象限， ， ， 故答案为：2（不唯一）． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴所得到的抛物线的函数表达式为， 故答案为： ． 13. 圆锥的底面半径和高数据如图，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______． 【答案】##216度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥、勾股定理、弧长公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆锥、圆锥侧面展开扇形图、弧长公式的计算，从而完成求解．先由半径求得圆锥底面周长，然后利用勾股定理求出圆锥的母线长，再由扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，圆锥的底面周长为， 由勾股定理得，圆锥的母线长， 设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数为n， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线，构造相似三角形是解决问题的关键，首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度即可． 【详解】如图，过点作水平线,过点作于点,过点作于点, ,， , , , , ，， ， ， 故答案为：. 15. 如图，将矩形 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形．若 ，，当点G落在直线 上时，线段 的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，矩形的性质，先根据矩形的性质得到，，然后根据勾股定理得到，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况分别计算长，再利用勾股定理解题即可． 【详解】当点G在线段上时， ∵ 是矩形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 当点G在线段的延长线上时， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）如图，，求的长． 【答案】（1）； （2）12.5． 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解； （2）根据平行线分线段成比例，即可求解． 本题考查了公式法解一元二次方程，平行线分线段成比例，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 原方程的解是； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ． 17. 某校社团将文学名著中的四位英雄人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小河先从中随机抽取一张，再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放好，小南从剩下的三张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小河胜，否则由小南胜． （1）小河抽到的卡片上的人物为关羽的概率是______； （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 【答案】（1）； （2） 这个游戏公平， 理由：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能的结果， 其中、、出自同一本名著， 取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著的有6种结果：、、、、、， ∴取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著的概率为， ∴这个游戏公平． 【解析】 【分析】（1）根据题意，可以直接写出小河抽到的卡片上的人物为关羽的概率； （2）先判断，然后画出相应的树状图，再求出相应的概率即可． 本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是：熟练掌握树状图法求概率． 【小问1详解】 解：根据题意可得：小河抽到的卡片上的人物为关羽的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，又因位于旧彰德府文庙东北方，作为代表当地“文风”的象征，故又称文峰塔．如图，王林欲测量文峰塔的高度，他站在距离塔底A点处的D点．测得自己的影长为，此时该塔的影子为，他测得点D与点C的距离为，已知王林的身高为，求文峰塔的高．（图中各点都在同一平面内．点A，C，D，E在同一直线上） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，根据已知易得：，再根据题意可得：，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， 由题意得：， ， 由题意得：， ， ， ， ， 解得：， ∴文峰塔的高度为． 19. 如图，在中，，，，是边上的一点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规“在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长． 【答案】（1） 解：如图，过点作的垂线，交于点，点即为所求． ，， ； ； （2） 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； （1）过点作的垂线即可求解； （2）根据相似三角形的判定和性质求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，，， ， ， ， 即， ． 20. 如图，，垂足为C，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，． （1）求的面积； （2）求线段的长度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可求，根据含角直角三角形的性质求出的长度，即可求解， （2）由勾股定理和直角三角形的性质可求的长． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，勾股定理，熟练运用旋转的性质是本题的关键． 【小问1详解】 解：由旋转得，， 是等边三角形， 过点D作于点E， ， ， 在， ； 【小问2详解】 解：由题意得：，， 在中，． 21. 如图，点A在第二象限内，轴于点B，连接可得为等腰直角三角形，反比例函数的图象分别交，于点C，D，已知． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）6． 【解析】 【分析】（1）作轴，求出点C坐标，即可求解， （2）求点D坐标，进而求出长度，即可求解， 本题考查了反比例函数，解题的关键是：熟练掌握反比例函数． 【小问1详解】 解：过点C作轴于点E， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∴点C的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ，解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴点D的纵坐标为1， ∵点D在反比例函数的图象上， ，解得， 即点D的坐标为； ， ． 22. 如图，D为上一点，点C是直径延长线上的一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的直径，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ，即， ， ， 又， ，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）2． 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质，得出,即即可得出结论； （2）利用切线的性质得出，再利用勾股定理列方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的直径， ， ∵CD是的切线， ， ， ， 解得（负值已舍） 【点睛】本题考查圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，切线的的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握其性质并能准确添加辅助线是解决此题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有一斜坡OM，将“智能小球”从斜坡处抛出后，落在点处，斜坡可以用一次函数刻画．“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分． （1）求抛物线的表达式； （2）斜坡上点N处有一棵树，小球恰好越过树的顶端A，求这棵树离点M的水平距离． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出点M的坐标，然后把点M的坐标代入求出函数解析式即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式，求出点A的横坐标，用点M的横坐标减去点A的横坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵点是一次函数图象上的点， ，∴点M的坐标为， ∵点是抛物线上的点， ，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，即，整理得，， 解得（不符合题意，舍去）， ∴这棵树离点M的水平距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学拓展训练三 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列结论不正确的是（ ） A. 矩形都相似 B. 正方形都相似 C. 等腰直角三角形都相似 D. 正八边形都相似 4. 悬铃木一般是指法国梧桐，落叶乔木，号称世界行道树之王，能给人们带来很好的遮阴效果，下表是悬铃木幼苗移植过程中的统计结果： 幼苗移植棵数 1000 2000 3000 4000 5000 6000 成活的棵数 840 1712 2550 3408 4245 5106 成活的频率 0.840 0.856 0.850 0.852 0.84 90.851 则估计悬铃木幼苗在此条件下移植成活的概率是（ ）（结果精确到0.01） A. 0.84 B. 0.85 C. 0.86 D. 0.850 5. 已知蓄电池的电压为定值，工作状态下电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它们的关系如下表所示，则“▲”表示的数字为（ ） 电阻R（单位：Ω） … 8 4 … 电流I（单位：A） … 3 ▲ … A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若面积为18，则的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 14 7. 如图，点A、C是反比例函数图象上任意两点，且轴于点B，轴于点D，和面积之和为3，则k的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 8. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 9. 如图，正五边形内接于，点F为劣弧上一点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（m为常数），当时，其对应的函数值最小为7，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 或4 D. 或6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若双曲线位于第一、三象限，则任意写出一个符合要求的a的值______． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式为______． 13. 圆锥的底面半径和高数据如图，则圆锥的侧面展开图的圆心角度数为______． 14. 如图，在杠杆的端点A处焊接一圆球，已知，则要使该圆球向上抬升（竖直高度），杠杆的另一端点B需要向下压的竖直距离是______． 15. 如图，将矩形 绕点 A 顺时针旋转，得到矩形．若 ，，当点G落在直线 上时，线段 的长为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解决下列问题： （1）解方程：； （2）如图，，求的长． 17. 某校社团将文学名著中的四位英雄人物的肖像制成四张卡片A、B、C、D（除编号和人物肖像外其余完全相同）．游戏规则如下：将四张卡片背面朝上，洗匀放好，小河先从中随机抽取一张，再把剩下的三张卡片洗匀后，背面向上放好，小南从剩下的三张卡片中随机抽取一张，若他们取出的两张卡片上对应的人物均出自同一本名著，则小河胜，否则由小南胜． （1）小河抽到的卡片上的人物为关羽的概率是______； （2）你认为这个游戏是否公平？请说明理由． 18. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，又因位于旧彰德府文庙东北方，作为代表当地“文风”的象征，故又称文峰塔．如图，王林欲测量文峰塔的高度，他站在距离塔底A点处的D点．测得自己的影长为，此时该塔的影子为，他测得点D与点C的距离为，已知王林的身高为，求文峰塔的高．（图中各点都在同一平面内．点A，C，D，E在同一直线上） 19. 如图，在中，，，，是边上的一点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规“在边上求作一点，使；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求的长． 20. 如图，，垂足为C，，将线段绕点C按顺时针方向旋转得到线段，连接，． （1）求的面积； （2）求线段的长度． 21. 如图，点A在第二象限内，轴于点B，连接可得为等腰直角三角形，反比例函数的图象分别交，于点C，D，已知． （1）求反比例函数解析式； （2）连接，求的面积． 22. 如图，D为上一点，点C是直径延长线上的一点，连接，且． （1）求证：是的切线； （2）若的直径，求的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，有一斜坡OM，将“智能小球”从斜坡处抛出后，落在点处，斜坡可以用一次函数刻画．“智能小球”的运动轨迹可看作抛物线的一部分． （1）求抛物线的表达式； （2）斜坡上点N处有一棵树，小球恰好越过树的顶端A，求这棵树离点M的水平距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $