精品解析：河南省南阳市镇平县2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024年秋期八年级数学作业训练 2024.12 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，熟悉算术平方根定义是解决问题的关键． 根据算术平方根定义直接求解即可得到答案． 【详解】解：5的算术平方根等于， 故选：B． 2. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，．则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形的判定方法并确定出全等的条件是解题的关键．根据两直线平行，同位角相等可得，，再求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形性进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． ， 故选项D错误， 故选：D 3. 公元前500年，毕达哥拉斯学派中的成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词——“面”．“面”就是无理数．无理数里最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ） A. 可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B. 它是面积为2的正方形的边长 C. 可以用两个整数的比表示 D. 它是无限不循环小数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是无理数的概念、实数与数轴，掌握无理数的概念、反证法的一般步骤是解题的关键．根据实数与数轴、无理数的概念判断即可． 【详解】解：A、可以在数轴上找到唯一点与对应，本选项说法正确，不符合题意； B、面积为2的正方形的边长为，本选项说法正确，不符合题意； C、是无理数，不可以用两个整数的比表示，本选项说法错误，符合题意； D、是无理数，即是无限不循环小数，本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据定理证明即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂和积的乘方、单项式除以单项式，乘法公式，熟练掌握运算性质是解题的关键． 分别根据幂和积的乘方、单项式除以单项式、完全平方公式对各选项计算后即可得解． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原写法错误，不符合题意； C、，原写法错误，不符合题意； D、，原写法错误，不符合题意， 故选：A． 6. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的构成条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形中倍长中线模型的应用．由，得，由是边的中点，得，从而可得，即得，，，在中，，即得即，，即可求解． 【详解】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 7. 已知a，b表示下表中两个相邻的数，且，则（ ） x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 A. 17.3 B. 17.4 C. 17.5 D. 17.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义．根据表中的数据进行解答即可． 【详解】解：是表中两个相邻的数，， 故选：A 8. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数，再利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故选：C． 9. 已知长方形P的长为，宽为，面积为，长方形Q的长为，宽为，面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由a的值确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法与几何图形的面积．利用多项式的乘法用的代数式表示出与，作差即可比较大小． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， ∴． 故选：A． 10. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点． 在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【详解】①BP是等腰三角形一腰长时，符合点E的位置有2个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点即是点P； ②BP为底边时，C为顶点时，符合点E的位置有2个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点即是点P； ③以PC为底边，B为顶点时，这样的等腰三角形不存在，因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点． 故选C． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法与幂的乘方，进行正确的变形是解题的关键．根据同底数幂的乘法得到，再根据幂的乘方变形，然后代入即可． 【详解】解：， ， 故答案为：4． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【解析】 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 13. 如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为________． 【答案】490 【解析】 【分析】利用面积公式得到，由周长公式得到，所以将原式因式分解得出．将其代入求值即可． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10， ∴， ∴． 故答案为：490 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟记公式结构正确将原式分解因式是解题的关键． 14. 如图，在中，平分，于点G且平分，于点E，交的延长线于点F，若，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．连接，由点是边的中点，，得，由是的平分线，得，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，则，再证明，得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 点是边的中点，， ， 于点，，交的延长线于点， ， 是的平分线， ， 在和中， ， ， , , 在和中， ， ， ， ． 故答案为：5 15. 如图，中，，D点在边上运动（D与A、B不重合），设∠ACD=°，将沿翻折至处，与边相交于点E，若是等腰三角形，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】当为等腰三角形时，分别讨论腰的情况. 【详解】为等腰三角形时，根据折叠变换的性质可得, , ①当时, , 如图, ∴, 显然不符合题意； ②当时, , 如图, ， ∴, ∴； ③当时, , 如图, ∴, ∴, ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形外角定理，解题关键是分类讨论求解. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根及绝对值，再相加减可得到答案； （2）利用单项式乘多项式及完全平方公式运算法则进行计算，再加减即可得到答案． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式 17. 因式分解．小梅因式分解后，在代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下表是她的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务： 小梅的解法： ① ② ③ 小梅的检验：当，时， ， 因式分解错误． （1）小梅的解答是从第______步开始出错的（填序号），错误的原因是：________． （2）请尝试写出正确的因式分解过程，并用适当的方法检验． 【答案】（1）①；去负括号时，括号里的第二项没有变号 （2） ， ， ， ， 检验：当，时，，， ， 因式分解正确． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据去括号法则进行判断； （2）根据平方差公式与提公因式法因式分解即可求解． 【小问1详解】 解：小梅的解答是从第①步开始出错的，错误的原因是去负括号时，括号里的第二项没有变号； 故答案为：①，去负括号时，括号里的第二项没有变号； 【小问2详解】 略 18. 如图1，已知直线l及直线l外一点P，求作过点P与直线l平行的直线． （1）小东设计的尺规作图过程如下（作图痕迹如图2）： ①在直线l上取一点A，连接； ②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B，交于点O； ③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与l平行？请说明理由 （2）小明设计的尺规作图过程如下（部分作图痕迹如图3）： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线l于点A、B，连接，并延长至点C； ②作的角平分线．则所在的直线就是所求作的直线 请你在图3中将小明的尺规作图补充完整 【答案】（1）平行，理由： 由题意可知：直线是线段的垂直平分线， ， ， ， ， ； （2）如图所示： 【解析】 【分析】（1）利用判断出，得出，即可得出结论； （2）按照角平分线的尺规作图的步骤作图，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如下图，以P为圆心，以任意长为半径画弧，交边为E，F两点，分别以E，F为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点Q，连接P，Q，所在的直线即为所求， 由题意可知：， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的尺规作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图． 19. 【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 【答案】（），；（）；（）；；（）． 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的应用是解题的关键． （）利用两个面积相等列式即可； （）利用探究中的公式计算即可； （）利用探究中的公式计算即可； 利用探究中的公式计算即可； （）算式乘以，再利用探究中的公式计算即可． 【详解】解：（）图中，图中， 故答案为：，； （）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：， 故答案为：； （）由， ∵，， ∴原式， 故答案为：； ； （）解： ． 故答案为：． 20. 已知在中，，，D为的中点． （1）如图1，当E，F分别是边上的点，时，连接，易证______（填三角形的名称），进而可判断的形状为________三角形； （2）如图2，当E，F分别为延长线上的点，，其他条件不变，请判断的形状并证明你的结论． 【答案】（1），等腰直角 （2） 解：仍为等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图2所示： ，，为中点， ，，平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，易证，，，由证得，得出，，即可得出结论； （2）连接，同（1）由证得，得出，，即可得出结果． 【小问1详解】 证明：连接，如图1所示： ，，为中点， ，，平分，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 为等腰直角三角形， 故答案为：，等腰直角； 【小问2详解】 略 21. 【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题： 已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方， ∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x•1＝±4x； 当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方， ∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，∴M＝4x4． 综上述，M为4x或﹣4x或4x4． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：4x2±4x+1＝（2x+1）2；4x4+4x2+1＝（2x2+1）2 观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2＝4×4×1． ②结合多项式的因式分解又如： 16x2+24x+9＝（4x+3）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2， 发现这两个多项式的系数规律：242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4． ③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． （1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：　 　； 【解决问题】 （2）若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N； （3）若关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）观察例题找到多项式的系数的规律求解即可； （2）根据例题，根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：当为含字母y的一次单项式时，原式可以表示为关于y的二项式的平方，当为含字母y的四次单项式时，原式可以表示为关于y2的二项式的平方，进而求解即可； （3）根据题意，由多项式的系数的规律列出方程求解即可． 【小问1详解】 根据例题发现多项式的系数规律可知 故答案为： 【小问2详解】 当为含字母y的一次单项式时，原式可以表示为关于y的二项式的平方， ∵9y2+4+＝（3y）2++4＝（3 y±2）2， ∴＝±2×＝； 当为含字母y的四次单项式时，原式可以表示为关于y2的二项式的平方， ∵9y2+4+＝， 综上述，为或或． 【小问3详解】 x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m） 根据可得 解得 【点睛】本题考查了完全平方式，根据完全平方式变形求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 22. 演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答． （1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________． （2）请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________． 证明： （3）如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________． 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 （2）；； 证明：解：， 在和中 ． （3） 【解析】 【分析】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”． （1）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余即可解答． 【小问1详解】 解：直线是线段的垂直平分线， ， 在和中 ． 即线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： CD是线段AB的垂直平分线， ，． ． ， ． ， ． 23. 教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容． 做一做 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【操作发现】 （1）如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）． 【探究证明】 （2）阅读并补全证明 已知：如图2，在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使． ，________， ，，________， ，，， 又________，，． 【拓展应用】 （3）在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且，连结，与边所在的直线交于点F． ①当点D在线段上时，如图3所示，求证：． ②过点D作交直线于点H，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）不一定 （2）；； （3）①证明：如图，在取一点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ②4或8 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造等腰三角形和全等三角形是解题关键． （1）根据全等三角形的判定即可得； （2）先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据等量代换可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）①在取一点，使，先根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，则，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； ②分两种情况：（Ⅰ）当点在线段上时，（Ⅱ）当点在延长线上时，参照（3）①的方法，构造全等三角形和等腰三角形，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得的长，最后根据等腰三角形的三线合一求解即可得． 【详解】解：（1）由图1可知，与满足“边边角”对应相等， 但与不全等， 所以此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等． 故答案为：不一定． （2）证明：在上取一点，使． ， ∴， ，， ∴， ，， ， 又∵， ， ． 故答案为：；；． （3）①略 ②（Ⅰ）如图，当点在线段上时，在取一点，使， 由（3）①已证：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （Ⅱ）如图，当点在延长线上时，在直线上取一点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； 综上，的长为4或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋期八年级数学作业训练 2024.12 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 5的算术平方根等于（ ） A. B. C. D. 25 2. 已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，，，．则下列结论错误的是（） A. B. C. D. 3. 公元前500年，毕达哥拉斯学派中的成员西伯索斯发现了无理数，导致了第一次数学危机．事实上，我国古代发现并阐述无理数的概念比西方更早，但是没有系统的理论．《九章算术》开方术中指出了存在有开不尽的情形：“若开方不尽者，为不可开”．《九章算术》的作者们给这种“不尽根数”起了一个专门名词——“面”．“面”就是无理数．无理数里最具有代表性的数就是“”．下列关于的说法错误的是（ ） A. 可以在数轴上找到唯一一点与之对应 B. 它是面积为2的正方形的边长 C. 可以用两个整数的比表示 D. 它是无限不循环小数 4. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法．下述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 已知a，b表示下表中两个相邻的数，且，则（ ） x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324 A. 17.3 B. 17.4 C. 17.5 D. 17.6 8. 如图，是等边的边上的高，以点D为圆心，长为半径作弧交的延长线于点E，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知长方形P的长为，宽为，面积为，长方形Q的长为，宽为，面积为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 由a的值确定 10. 如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A－D－C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点． 在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 若，则________． 12. 定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 13. 如图，长与宽分别为、的长方形，它的周长为14，面积为10，则的值为________． 14. 如图，在中，平分，于点G且平分，于点E，交的延长线于点F，若，，则________． 15. 如图，中，，D点在边上运动（D与A、B不重合），设∠ACD=°，将沿翻折至处，与边相交于点E，若是等腰三角形，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 因式分解．小梅因式分解后，在代入特殊值检验时，发现左右两边的值不相等．下表是她的解答和检验过程，请认真阅读并完成相应的任务． 任务： 小梅的解法： ① ② ③ 小梅的检验：当，时， ， 因式分解错误． （1）小梅的解答是从第______步开始出错的（填序号），错误的原因是：________． （2）请尝试写出正确的因式分解过程，并用适当的方法检验． 18. 如图1，已知直线l及直线l外一点P，求作过点P与直线l平行的直线． （1）小东设计的尺规作图过程如下（作图痕迹如图2）： ①在直线l上取一点A，连接； ②分别以P、A为圆心，大于的长为半径画弧，分别交于M、N两点，作直线，交直线l于点B，交于点O； ③以O为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点Q，作直线．则就是所求作的直线． 你认为小东作的直线是否与l平行？请说明理由 （2）小明设计的尺规作图过程如下（部分作图痕迹如图3）： ①以点P为圆心，适当长为半径作弧，分别交直线l于点A、B，连接，并延长至点C； ②作的角平分线．则所在的直线就是所求作的直线 请你在图3中将小明的尺规作图补充完整 19. 【探究】如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图2所示的长方形． （1）请分别表示出这两个图形中阴影部分的面积： 图中________，图中________； （2）比较两个图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式为：________（用含字母，的式子表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （3）已知，，则的值为：________； 计算； 【拓展】计算 （4）的结果为________． 20. 已知在中，，，D为的中点． （1）如图1，当E，F分别是边上的点，时，连接，易证______（填三角形的名称），进而可判断的形状为________三角形； （2）如图2，当E，F分别为延长线上的点，，其他条件不变，请判断的形状并证明你的结论． 21. 【教材呈现】以下是华师大版教材第50页16题： 已知M是含字母x的单项式，要使多项式4x2+M+1是某个多项式的平方，求M． 【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况： 当M为含字母x的一次单项式时，原式可以表示为关于x的二项式的平方， ∵4x2+M+1＝（2x）2+M+12＝（2x±1）2，∴M＝±2×2x•1＝±4x； 当M为含字母x的四次单项式时，原式可以表示为关于x2的二项式的平方， ∵4x2+M+1＝M+2×2x2•1+12＝（2x2+1）2，∴M＝4x4． 综上述，M为4x或﹣4x或4x4． 【解后反思】 ①上述解答过程得到等式：4x2±4x+1＝（2x+1）2；4x4+4x2+1＝（2x2+1）2 观察等式左边多项式的系数发现：（±4）2＝4×4×1． ②结合多项式的因式分解又如： 16x2+24x+9＝（4x+3）2；9x2﹣12x+4＝（3x﹣2）2， 发现这两个多项式的系数规律：242＝4×16×9，（﹣12）2＝4×9×4． ③一般地：若关于x的二次三项式ax2+bx+c（a、b、c是常数）是某个含x的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系． （1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：　 　； 【解决问题】 （2）若多项式9y2+4加上一个含字母y的单项式N，就能表示为一个含y的二项式的平方，请直接写出所有满足条件的单项式N； （3）若关于x的多项式x2﹣2（m﹣3）x+（m2+3m）是一个含x的多项式的平方，求实数m的值． 22. 演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答． （1）如图1，直线是线段的垂直平分线，P是上任一点，连接、，将线段沿直线对折，我们发现与完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________． （2）请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程． 已知：如图1，于点C，________，点P是直线上的任意一点．求证：________． 证明： （3）如图2，CD是线段AB的垂直平分线，，，则________． 23. 教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容． 做一做 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【操作发现】 （1）如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形________全等（填“一定”或“不一定”）． 【探究证明】 （2）阅读并补全证明 已知：如图2，在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使． ，________， ，，________， ，，， 又________，，． 【拓展应用】 （3）在中，，点D在射线上，点E在的延长线上，且，连结，与边所在的直线交于点F． ①当点D在线段上时，如图3所示，求证：． ②过点D作交直线于点H，若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $