精品解析：辽宁省鞍山市海城市东部集团2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

海城市东部集团九年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不中心对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 2. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】把代入，转化为m的方程求解即可． 本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 故选：A． 3. 若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及二次函数的性质，解题的关键是：利用根的判别式以及二次项系数非零求出m的取值范围． 抛物线与x轴有两个交点，可得出关于x的方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式结合二次项系数非零，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围； 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个公共点， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． 故选：C． 4. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，掌握概率的计算公式以及树状图或列表法是解题关键．画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 一共有种等可能的情况，小灯泡发光的情况有种， ∴小灯泡发光的概率是：， 故选：C 5. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 由平行易证，由面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴ ∵ ∴与周长之比为， 故选：C． 6. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】 解：以AB所在的直线为x轴，向右为正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，向上为正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，代入A点坐标（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2， 把y=-2代入抛物线解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2， 所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4-4）米， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 7. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的几何应用，动点的面积问题，根据题意表示出线段长度，由题意列出方程求解即可，熟练表示出对应线段的长度和准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设t秒后，的面积等于4 由题意得：，，则 整理得： 解得：，（不合题意，舍去）， 即1秒后，的面积等于4， 故选：A． 8. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，得到，，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转后，得到， ，，， 为等边三角形， ，， 在中， ∵，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：A． 9. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点与圆心的距离与半径的大小关系即可确定点P与⊙O的位置关系． 【详解】解：的半径分别是3，点P到圆心O的距离为4， ， 点P与的位置关系是：点在圆外． 故选：A． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系．注意若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 10. 如图，正五边形ABCDE内接于，点F为上一点，则∠EFC的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】连接EC，根据圆内接四边形性质定理可知，再利用五边形ABCDE是正五边形，求解即可． 【详解】解：如图所示，连接EC， ∵CDEF是圆内接四边形， ∴， ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形性质定理，正多边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义求解．把x=0代入一元二次方程即可得． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0一个根为0， ∴m-1≠0，且m2-1=0， 解之得，m=-1， 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．同时，考查了一元二次方程的概念． 12. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标特征，求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 13. 用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____． 【答案】5 【解析】 【分析】先计算出扇形的弧长，再利用圆的周长和圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解即可. 【详解】扇形的弧长=， 设圆锥的底面半径为R，则，解得． 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解、扇形的半径和圆锥母线等长. 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 15. 如图，在中，点是的内心，若，则________． 【答案】##115度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．利用角平分线的性质和三角形内角和得到，即可求解． 【详解】解：点是的内心， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． （1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可； （2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解一次方程即可． 【小问1详解】 解：方程化为一般式为， ， 或， 所以，； 【小问2详解】 解：． ， ， 或， 所以． 17. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】计算根的判别式△， 由题意得到关于的不等式， 求解即可 ． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △ 即， ． 【点睛】本题考查根判别式， 题目比较简单 ． 根的判别式△=b2-4ac． 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，销售量为件，再根据总盈利为1200元列出方程求解即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件衬衫应降价20元． 19. 如图，在网格中有一个四边形图案， （1）请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点的对应点依次为，求四边形的面积； （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 【答案】（1）画图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理的综合，掌握旋转的性质，勾股定理与图形面积的计算方法是解题的关键． （1）将此图案的各顶点绕点按顺时针方向旋转后找到它们的对应点，顺次连接得到的图案，就是所要求画的图案． （2）观察画出的图形，可发现依次代入求值． （3）这个图案就是我们几何中的勾股定理． 【小问1详解】 解：根据题意作图如下， 【小问2详解】 解： ， ∴四边形的面积是． 【小问3详解】 解：由图可知： ， 整理得：，即：，即勾股定理． 20. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再由，得，，则四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，再由面积法求出，然后由矩形的性质得，，最后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴， ，， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，， ， ，， ， 是直角三角形，， 的面积， ， 由（1）得：四边形是矩形， ，， ． 21. 如图，的半径与直径垂直，点P在上，的延长线交于点D，在的延长线上取点E，使． （1）求证：是的切线； （2）当时，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）线段的长为8 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）首先连接，易证得，又由的半径与直径垂直，可证得，即可判定是的切线； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是圆的半径， ∴． ∴． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵是的半径， ∴是圆的切线； 【小问2详解】 解：， ∴， 设的长为x， ∵， ∴， ∴， 答：线段的长为8． 22. 如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，． （1）求的长； （2）求证：平分的外角． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，弧长计算公式即可求解； （2）根据，可得，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，运用等量代换即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵，的半径为， ∴， 根据弧长公式得，． 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴， 在中，， ∵，且， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴平分的外角． 【点睛】本题主要考查圆与四边形，等腰三角形的综合，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，等量代换的方法是解题的关键． 23. 定义：已知一次函数和一次函数若函数，则称函数是一次函数、的累积函数．已知函数是一次函数与一次函数的累积函数． （1）若函数的图象恰好经过，求函数的解析式； （2）若函数的图象顶点为，当点的纵坐标最小时，求此时顶点的坐标； （3）若一次函数，图象与函数的图象的公共点有且只有三个时，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数交点问题； （1）根据新定义列出函数关系式，将代入，即可求解； （2）根据顶点坐标公式求得坐标，进而根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据题意，直线，的交点在函数上，先求得两直线交点坐标，代入二次函数解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，函数解析式为， ∵函数的图象恰好经过， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴对称轴为，顶点纵坐标为：， ∴当时，取得最小值，最小值，则横坐标为， ∴当点的纵坐标最小时，此时顶点的坐标为； 【小问3详解】 解：依题意，直线，的交点在函数上， 联立， 解得：， 代入，得， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 海城市东部集团九年级（上）第三次质量监测 数学试卷 （试卷满分120分，答题时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在本试题卷规定位置填写自己的姓名、准考证号； 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试题卷上作答，答在本试题卷上无效； 3．考试结束，将答题卡交回，进行统一评卷； 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C D. 2. 关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若关于的二次函数的图象与轴有两个公共点，则满足条件的的值可以是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 4. 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是边边上的两点，且，若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2m，则水面宽度增加（ ） A B. C. D. 7. 如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则（　　）秒后，的面积等于4． A. 1 B. 2 C. 4 D. 1或4 8. 如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 10. 如图，正五边形ABCDE内接于，点F为上一点，则∠EFC的度数为（ ） A. 36° B. 45° C. 60° D. 72° 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如关于x的一元二次方程（m﹣1）x2＋5x＋m2﹣1＝0一个根为0，则m＝_____． 12. 平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则___________． 13. 用一个圆心角为150°，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____． 14. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 15. 如图，在中，点是的内心，若，则________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k-1)x+k2=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 18. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，那么商场平均每天可多售出2件，若商场想平均每天盈利达1200元，求每件衬衫应降价多少元？ 19. 如图，在网格中有一个四边形图案， （1）请你画出此图案绕点按顺时针方向旋转的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错； （2）若网格中每个小正方形的边长为，旋转后点的对应点依次为，求四边形的面积； （3）这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 20. 如图，在平行四边形中，于点，延长至点，使得，连接， （1）求证：四边形是矩形； （2）若求的长． 21. 如图，的半径与直径垂直，点P在上，的延长线交于点D，在的延长线上取点E，使． （1）求证：是的切线； （2）当时，求线段的长． 22. 如图，已知的半径为，四边形内接于，连结，，． （1）求的长； （2）求证：平分外角． 23. 定义：已知一次函数和一次函数若函数，则称函数是一次函数、的累积函数．已知函数是一次函数与一次函数的累积函数． （1）若函数的图象恰好经过，求函数的解析式； （2）若函数的图象顶点为，当点的纵坐标最小时，求此时顶点的坐标； （3）若一次函数，的图象与函数的图象的公共点有且只有三个时，求此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$