精品解析：河南省周口市商水县2024-2025学年高三上学期期末数学试题

2024-2025学年度综合能力调研检测 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先得到，利用交集概念得到，得到答案. 【详解】，， 故，元素个数为3. 故选：B 2. 如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出椭圆方程，根据题意得到，进而利用之间的关系求出离心率. 【详解】由已知得，设椭圆方程为， 则，， 所以该椭圆离心率为. 故选：C 3. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 12 C. 15 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得为等差数列，利用等差数列的性质求解. 【详解】由，即， 所以数列为等差数列， 又，即，则， . 故选：A. 4. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面与平面不垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面平行判定定理判断A，应用线面垂直判断B，C，应用面面垂直的判定定理判断D. 【详解】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误. 故选：ABC. 5. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 【答案】C 【解析】 【分析】由间接法，求得恰有3对和4对的情况，即可求解； 【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有：, 有4对相同的字母相邻的排法有：, 8个字母的全排列为：, 所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：， 故选：C 6. 已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得直线过定点，注意到在圆上，结合满足，可得为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得轨迹方程. 【详解】，则. ，则直线过定点， 注意到在圆上，设为点M，则，因， 则为中点，如图取CM中点为F，连接PF，由中位线定理可得： ，，则点的轨迹方程为以为圆心， 半径为1的圆去掉点M，即. 故选：B 7. 当，时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与的其中一条渐近线垂直，垂足为，延长分别交轴及另一条渐近线于点，，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，由射影定理可得，然后联立与另一条渐近线方程，可得点Q纵坐标，最后利用两种方式表示面积可得关于的齐次式，即可得答案. 【详解】由题可得双曲线两条渐近线方程为：，， 因与的其中一条渐近线垂直，则，.又因为直角三角形，由题可得， 则由射影定理可得. 设方程为：，与联立可得 ，则 ，则渐近线方程为：，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：对于求解离心率或渐近线斜率，常利用题目条件构造关于的齐次式；本题出现垂直条件，故想到利用射影定理，然后利用“算两次”思想构造齐次式求解. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设，由共轭复数定义可判断选项正误； 对于B，由复数的向量定义结合三角形三边关系可判断各选项正误； 对于C，通过举特例可判断选项正误； 对于D，由复数模长定义可判断选项正误. 【详解】对于A，设. 则， ，则，故A正确； 对于B，平移向量，，使两复数在复平面对应向量起点相同， 则对应向量为由对应向量终点指向对应向量终点所形成的向量， 若对应的向量不共线，则向量，，对应图形可组成三角形， 由三角形三边关系可得：， 若对应的向量共线，且方向相反，则， 若对应的向量共线同向，则, 综上，，故B正确； 对于C，令，，则， 但，，，故C错误； 对于D，因，， 则. 故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正切函数的定义域性质判断A，利用整体代入法求解对称中心判断B，利用整体代入法求解单调递减区间判断C，利用函数平移的性质判断D即可. 【详解】对于A，由正切函数性质得， 令，解得， 则的定义域不为，故A错误， 对于B，令，解得， 则图象的对称中心为，故B正确， 对于C，令， 解得， 则的单调递减区间为，故C正确， 对于D，， 则的图象向左平移个单位后得不到函数的图象，故D错误. 故选：BC 11. 已知函数满足：①对，，且；②；③为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由，得，则有，进而可得出函数的周期，再根据为偶函数，得出函数的对称性，进而可求出函数值，即可得出答案. 【详解】由，得， 则，即，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 所以，， 故A错误，C正确； 因为为偶函数，所以，即， 所以函数关于对称， 所以， 由，得，则， 又，所以，故B正确； 由，得， 则， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知识竞赛，其中高一年级某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别为：88，92，91，91，94，95，89，96，则这8名学生成绩的方差为________________. 【答案】7 【解析】 【分析】由方差计算公式可得答案. 【详解】由题可得数据平均数为：. 则方差为：. 故答案为：7 13. 已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为______________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据上下底面积求出，再根据体积计算求出，最后求出正六棱台的斜高后根据侧面积公式计算． 【详解】如图，分别是上,下底面中心，分别是棱中点，由正棱台性质知，，，所以， 因为体积为,所以， 是斜高，，， ∵，∴，， 在直角梯形中，， ∴侧面积为． 故答案为：． 14. 若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为____________.（结果用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式的解，再分，，三种情况讨论，再根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，进而可得出答案. 【详解】由，解得或， 当，即时，， 此时原不等式组不可能有个不等的实数解， 当，即时，， 此时原不等式组无解， 当，即时， 原不等式组的解集为， 因为原不等式组恰有50个不等的实数解，且区间内有个整数， 所以在区间内有个整数， 则区间的长度应满足，解得， 所以， 则在区间内只有两个整数， 所以区间内有个整数， 所以，解得， 综上，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据区间内有个整数，得到区间的长度应满足的条件，是解决本题的关键. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值. （2）证明：在区间内恰有一个极大值点. 【答案】（1） （2）由上问得，定义域为， 则，故， 令，易得， ， 而，当时，，， 故，即在区间上单调递减， 而，由零点存在性定理得在区间上存在一个零点， 即在区间上存在一个零点，令， 由已证得在区间上单调递减，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则在区间内恰有一个极大值点. 【解析】 【分析】（1）利用相互垂直直线的性质结合导数的几何意义建立方程，求解参数即可. （2）利用导数判断原函数的单调性，再结合零点存在性定理证明导函数存在零点，进而证明原函数存在唯一极大值点即可. 【小问1详解】 因为，所以， 则的斜率为，而与垂直，则， 因为，所以， 由导数的几何意义得，解得， 故的值为. 【小问2详解】 略 16. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为购买AI手机与顾客的性别有关； （2）的分布列为 的期望.【解析】 【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可； （2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、 、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可. 【小问1详解】 ，所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关. 【小问2详解】 根据题意可能取值为： ； ； ； ； ； 的分布列为 的期望. 17. 如图，为圆锥的轴截面，，点为圆弧的中点，点为线段的中点，点在线段上，且，平面. （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （2）求出两平面的法向量，再求出法向量的夹角即可. 【小问1详解】 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 由，得， 则， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 因为平面， 所以， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得平面的法向量为， ， 设平面的法向量为， 则有，取，则， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的顶点为，焦点为，直线与相交于，两点，当时，. （1）求的方程. （2）若，试问是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. （3）若经过点，直线与相切于点，且，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）恒过； （3）. 【解析】 【分析】(1) 根据题意为通径，故; (2) 设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得，，由知，将韦达定理代入即可; (3) 由题可设直线的方程为，直线方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，再联立直线与抛物线方程，令，可得与的关系，即可用表示三角形的高，将表达式代入面积公式得到关于斜率的函数，对其求导，即可求最值. 【小问1详解】 当时，可知过焦点，且与抛物线对称轴垂直， 所以，所以， 所以的方程为：. 【小问2详解】 由题意，直线斜率可以不存在，但不能为， 故可设的方程为：，设， 联立，消去并整理得， 所以， 所以， 由得， 所以， 所以， 所以， 所以，解得 故，因此恒过． 【小问3详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，且切点为， 将代入中，解得，所以； 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，即， 联立，整理得， 则，， 故， 化简得， 因为且，所以设方程为， 联立得，， 因为直线与抛物线相切，所以令，解得， 因此直线与直线的距离， 则三角形的面积为 ， 当时，，求导得 ， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以当时，取得最小值. 当时，，求导得 ，所以单调递增，此时无最值. 综上， 面积的最小值为. 19. 若有穷数列满足，则称数列为“阶天枢”数列且. （1）若等比数列为“阶天枢”数列，试写出的前项； （2）数列是“阶天枢”数列，其前项和为. （ⅰ）是否存在正整数，使得？若存在，写出其中一个符合条件的“阶天枢”数列；若不存在，试说明理由； （ⅱ）证明：. 【答案】（1）、、、或、、、 （2） （i）假设存在正整数，使得． 若，则， ，， ， 与矛盾； 若则， ，， ， 与矛盾； 所以不成立， 因此，不存在正整数，使得； （ii）由已知可得：必有，也必有， 设、、、为中所有大于的数，、、、为中所有小于的数， 由已知得，， 所以， ， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）设出公比并讨论公比是否为，根据求和公式求解； （2）（i）利用反证法即可证明； （ii）设、、、为中所有大于的数，、、、为中所有小于的数，可得出，再结合放缩法可证得结论成立. 【小问1详解】 若等比数列为“阶天枢”数列， ；． 设等比数列的公比， 若，则，所以， 由得，则， 由得，所以，或， 所以，数列的前项为：、、、或、、、. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：数列不等式问题，常常需要进行放缩，放缩后变形为等差数列或等比数列，在结合公式进行证明，又或者放缩后可使用裂项相消法进行求和，常常使用作差法和数学归纳法，技巧性较强. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度综合能力调研检测 数学 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自于世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物馆.该盒的上底面为椭圆，盒长，宽，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 记数列的前项和为，，，则（ ） A. 0 B. 12 C. 15 D. 20 4. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面与平面不垂直 5. “City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ） A. 2124种 B. 2148种 C. 2352种 D. 2420种 6. 已知圆与直线相交于不同的两点，，点满足，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 当，时，，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 8. 已知双曲线的右焦点为，过点作直线与的其中一条渐近线垂直，垂足为，延长分别交轴及另一条渐近线于点，，若，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，是复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 图象的对称中心为 C. 的单调递减区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11. 已知函数满足：①对，，且；②；③为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 第33届夏季奥运会在巴黎顺利举行，某校为此举办了一次以巴黎奥运会为主题的知识竞赛，其中高一年级某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别为：88，92，91，91，94，95，89，96，则这8名学生成绩的方差为________________. 13. 已知一个正六棱台两底面的面积分别为，，体积为，则该棱台的侧面积为______________. 14. 若关于的不等式组恰有50个不等的实数解，则的取值范围为____________.（结果用区间表示） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象在点处的切线与直线垂直. （1）求的值. （2）证明：在区间内恰有一个极大值点. 16. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表： 购买AI手机 购买不带AI的手机 总计 男性顾客 40 70 110 女性顾客 60 30 90 总计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？ （2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.010 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，为圆锥的轴截面，，点为圆弧的中点，点为线段的中点，点在线段上，且，平面. （1）求的值； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知抛物线的顶点为，焦点为，直线与相交于，两点，当时，. （1）求的方程. （2）若，试问是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. （3）若经过点，直线与相切于点，且，求面积的最小值. 19. 若有穷数列满足，则称数列为“阶天枢”数列且. （1）若等比数列为“阶天枢”数列，试写出的前项； （2）数列是“阶天枢”数列，其前项和为. （ⅰ）是否存在正整数，使得？若存在，写出其中一个符合条件的“阶天枢”数列；若不存在，试说明理由； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $