精品解析：湖南省长沙市怡海中学2024-2025学年九年级下学期入学考试数学试卷

2024-2025：怡海中学九年级下学期数学寒假作业反馈练习 时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A. 摸到黑球是不可能事件 B. 摸到白球是必然事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 4. 下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ） A. B. C D. 5. 如图，直线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列叙述错误的是（ ） A. 菱形的四条边都相等 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 一个角是直角的四边形是矩形 7. 如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 8. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 小明吃早餐用了 B. 小明读报用了 C. 食堂到图书馆的距离为 D. 小明从图书馆回家的速度为 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是________． 12. 圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面面积为________． 13. 在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为________． 14. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是________． 15. 如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是________． 16. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分） 17 计算：． 18. 先化简再求值：，其中． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕原点逆时针旋转得到；并写出点的坐标； （2）请画出以原点为位似中心，将扩大（且对应点位于位似中心两侧），使变换后得到的与对应边的比为，并写出点的坐标． 20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；短道速滑所在扇形圆心角度数为______． （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率． 21. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为中点，的延长线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为24，，，求的长． 22. 2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序．中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律．如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 23. 如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求弓形阴影部分的面积． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点的距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________； （2）如图2，已知抛物线焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式； （3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值． 25. 如图所示，在半径为2的扇形中，，点是劣弧上的一个动点，，，垂足分别为、． （1）在中是否存在长度保持不变边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （2）当点沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度； （3）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025：怡海中学九年级下学期数学寒假作业反馈练习 时长：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列数是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数．熟练掌握有理数与无理数的定义是解本题的关键． 利用有理数定义判断即可． 【详解】A. 是有理数； B. 不是有理数； C. 不是有理数； D. 不是有理数． 故选：A． 2. 下列关于体育运动的图标，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 3. 一个不透明的盒子中装有个红球和个白球，它们除颜色不同外其它都相同．若从中随机摸出一个球，则下列叙述正确的是（ ） A. 摸到黑球是不可能事件 B. 摸到白球是必然事件 C. 摸到红球与摸到白球的可能性相等 D. 摸到红球比摸到白球的可能性大 【答案】A 【解析】 【分析】不可能事件是概率论中把在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，人们通常用来表示不可能事件发生的可能性；必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件，必然事件发生的概率为，但概率为的事件不一定为必然事件，根据随机事件的分类及概率的计算即可求解． 【详解】解：选项，装有个红球和个白球，不可能摸到黑球，是不可能事件，符合题意； 选项，装有个红球和个白球，可能摸到白球，也可能摸到红球，是随机事件，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率是，摸到白球的概率是，概率不同，不符合题意； 选项，装有个红球和个白球，摸到红球的概率小于摸到白球的概率，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查随机事件及概率，理解随机事件的分类，概率的计算方法是解题的关键． 4. 下面从左到右的变形中，是因式分解且分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 根据因式分解的定义及方法逐项分析即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，从左到右的变形属于因式分解； C、，故本选项不符合题意； D、，是整式的乘法，故本选项不符合题意． 故选：B． 5. 如图，直线，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质得到，由此即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6. 下列叙述错误的是（ ） A. 菱形的四条边都相等 B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线相等 D. 一个角是直角的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质与判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 菱形的四条边都相等，故该选项正确，不符合题意； B. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确，不符合题意； C. 矩形的对角线相等，故该选项正确，不符合题意； D. 一个角是直角的平行四边形是矩形，故该选项不正确，符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定定理，矩形的性质与判定定理，掌握以上性质定理是解题的关键． 7. 如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ） A. 35° B. 55° C. 65° D. 70° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】∵为的直径， ∴， ∵，∴， ∴. 故选B. 【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角的性质. 8. 小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图反映了这个过程中，小明离家的距离与时间之间的对应关系．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 小明吃早餐用了 B. 小明读报用了 C. 食堂到图书馆的距离为 D. 小明从图书馆回家的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是函数图象．熟练掌握函数图象的性质，图象上的数据，函数的类型，结合题意正确计算，是解题的关键． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、小明吃早餐用了，A正确； B、小明读报用了，B正确； C、食堂到图书馆的距离为，C正确； D、小明从图书馆回家的速度为，D错误； 故选D． 9. 公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两队合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时， 依题意得， 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中有菱形，点A的坐标为，对角线、相交于点，，双曲线经过的中点，交于点，下列四个结论：①；②；③点的坐标是；④连接、，则，则正确的结论有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设，则，结合勾股定理可求出x的值，进而可分别求出，，故可判断①②；由菱形的性质可求得的长度，结合勾股定理可求得，结合三角形相似的判定和性质可以得到点的坐标，则可求得双曲线解析式．设，将其代入反比例函数解析式即求得点的横坐标，由此可判断③；由菱形的性质可知，的面积等于菱形的面积的一半，即可判断④． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ， ． 设，则． ∵四边形为菱形， ∴， ，即， ， ，， ，故①正确； ，故②错误； ∵， ． 在中，，，由勾股定理可得， ． ∵轴，， ∴， ∴， ∴． 为中点，即， ，， ， ． 双曲线过点， ， 双曲线解析式为． 由上可知，，故可设， 将其代入双曲线，得， ， ，故③正确； ， ，故④正确． 综上所述，正确的结论有3个．　 故选C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，勾股定理，菱形的性质，三角形相似的判定和性质，坐标与图形．正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义，分母不为0；二次根式有意义，被开方数是非负数．熟练掌握是解题的关键． 根据二次根式有意义和分式有意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，即可求解． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算．利用圆锥的母线长和圆锥的高求得圆锥的底面半径，然后求出侧面积即可，熟练掌握侧面积的计算方法是解题关键． 【详解】∵圆锥母线长为10，高为6， ∴圆锥底面半径为， ∴圆锥侧面积为． 故答案为：． 13. 在函数的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数值的大小．熟练掌握二次函数的图象和性质，对称性和增减性，是解题关键． 先根据二次函数的对称性知点与点对称，根据二次函数的增减性得，即得答案． 【详解】解：∵函数的图象的对称轴为直线， ∴点与点对称， ∴， ∵函数图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系求代数式值．熟练掌握根与系数的关系，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程的两根分别为，，得，，变形，代入即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形，内部形成一个小正方形．如果正方形的面积是正方形面积的一半，那么．的正切值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设，，则，根据面积可列出，整理得，求得，即可解得答案． 【详解】解：设，，则， ∴，， ∵， 即 整理得：， 变形得：， 令，则， ∴原始， 解得，， ∴， ∴（舍去）， ∴． 16. 如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，垂线段最短，添加辅助线，是解题的关键． 过点D作于H，过点C作于M，首先通过勾股定理及求出的长度，然后根据等腰三角形两腰上的高相等得出，然后通过锐角三角函数得出，进而可得出，最后利用即可求值． 【详解】解：如图，过点D作于H，过点C作于M．    ∵， ∴， ∵， 设，， ∵， ∴， ∴或（舍弃）， ∴， ∵，，， ∴（等腰三角形两腰上的高相等）， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，其中第17、18、19题各6分，第20、21题各8分，第22、23题各9分，第24、25题各10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值，二次根式性质，是解题的关键 先化简负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值的的余弦值，二次根式，绝对值，再计算乘法与加减法即可． 【详解】解： ． 18. 先化简再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再解一元二次方程，选择合适的值，代入化简后的式子进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则以及解一元二次方程的方法是解此题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得：，， ∵， ∴， ∴原式． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出绕原点逆时针旋转得到；并写出点的坐标； （2）请画出以原点为位似中心，将扩大（且对应点位于位似中心两侧），使变换后得到的与对应边的比为，并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了网络作图．熟练掌握旋转性质，位似性质，是解题的关键． （1）把，，绕原点逆时针旋转得到，首尾连接即得： （2）以原点为位似中心，对应点位于位似中心两侧，使变换后得到的与对应边的比为，根据，，得到，首尾连接即得． 【小问1详解】 解：绕原点逆时针旋转得到，如图， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：以原点为位似中心，将扩大（且对应点位于位似中心两侧），使变换后得到的与对应边的比为，如图， ∵， ∴． 20. 北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣．某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选1项），制作了如下统计图（部分信息未给出）． 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了______名学生；若该校共有名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有______人；短道速滑所在扇形圆心角度数为______． （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为、花样滑冰记为、自由式滑雪记为、单板滑雪记为，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪的概率． 【答案】（1）；；； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查画用树状图或列表的方法求等可能事件的概率，条形统计图和扇形统计图综合应用． （1）利用花样滑冰的人数为人，又其所占的百分比，可求得调查总人数，对于用样本估计总体，即是用总体乘以样本所占百分比，求扇形统计图的圆心角度数，即是用乘以该项所占比，即可解题． （2）利用扇形统计图中单板滑雪所占百分比，求得其人数，再结合题干中的其它数据算出自由式滑雪的人数，画图即可． （3）列表求出12种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪C的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图知花样滑冰人数为人，所占百分比为，所以有（人）， 该校共有名学生，则爱好花样滑冰运动的学生有（人）， 短道速滑人数人，所占比为， 则短道速滑所在扇形圆心角度数为． 故答案为：，，． 【小问2详解】 解：由扇形统计图中单板滑雪所占百分比为， 所以单板滑雪人数为（人）， 自由式滑雪的人数为（人），可画图如下： 【小问3详解】 解：由题可列表如下： 由表可知，总的可能性有种，其中恰有一项为自由式滑雪的有种， 其中恰有一项为自由式滑雪的概率为． 21. 如图，在平行四边形中，点在边上，，连接，点为的中点，的延长线交边于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平行四边形的周长为24，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． （1）由平行四边形性质得，得，可证明，得出，可得四边形是平行四边形，由即得是菱形： （2）求出菱形的周长为20，得出，再证明是等边三角形，即得． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平行四边形的周长为24， ∴菱形的周长为：， ∴， ∵， ∴， 又 ， ∴是等边三角形， ∴． 22. 2025年春节期间，中国海警在黄岩岛海域的巡航活动是例行任务的一部分，旨在维护国家主权和海洋权益，确保海上安全与秩序．中国对黄岩岛及其周边海域拥有无可争辩的主权，海警的行动严格遵守国际法和中国国内法律．如图，正在执行巡航任务的海警船以每小时50海里的速度向正东方航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行1小时到达处，此时测得灯塔在北偏东方向上． （1）求的度数； （2）已知在灯塔的周围25海里内有暗礁，问海警船继续向正东方向航行是否安全？ 【答案】（1）的度数为 （2）海监船继续向正东方向航行是安全的． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解题意是解题的关键： （1）过点作于点，利用三角形的外角性质得出，进而可解决问题； （2）由（1）可知，先求出 海里，在中，， 再比较即可判定． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 由题意得，，， ， 故的度数为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， （海里） 在中，（海里）， ， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 23. 如图所示，的顶点A，在上，顶点在外，边与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：直线是的切线． （2）若线段与线段相交于点，连接． ①求证：； ②若，求弓形阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，可得，根据平行线的性质即可求解； （2）①是等腰直角三角形，根据相似三角形的判定即可求证；②根据相似三角形的性质，可得，根据是等腰直角三角形，得，根据扇形面积与三角形面积可得弓形阴影的面积． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴直线是的切线． 【小问2详解】 解：①证明： 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合．熟练掌握圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，扇形面积公式，三角形面积公式，是解题的关键． 24. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点到定点距离，始终等于它到定直线的距离（该结论不需要证明）．他们称：定点为图象的焦点，定直线为图象的准线，叫做抛物线的准线方程．准线与轴的交点为．其中原点为的中点，．例如，抛物线，其焦点坐标为，准线方程为，其中，． （1）请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线的方程：________，________； （2）如图2，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于点A，点，当时，求直线的解析式； （3）如图3，已知抛物线的焦点为，准线方程为．直线交轴于点，抛物线上动点到轴的距离为，到直线的距离为，请直接写出的最小值． 【答案】（1）焦点坐标为，准线的方程为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中，， 得， 得焦点坐标为，准线的方程； （2）设过点的直线解析式为，，联立，得，则，设直线与x轴的交点为M，得，得，根据已知得，即，解得，即得或； （3）过点P作交于点E，作交于点G，设直线m交x轴于点H，可知，，当F，P，E三点共线时，，的值最小； 由求出，得，，证明，得，结合，得，即得的最小值为． 【小问1详解】 解：∵的焦点为，准线方程为， 而中，， ∴， ∴的焦点坐标为，准线的方程； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知，的焦点坐标为， 设过点的直线解析式为，， 联立， ∴， ∴， ∴， 设直线与x轴的交点为M， 令， 解得， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴或 【小问3详解】 解：过点P作交于点E，作交于点G，设直线m交x轴于点H， 由（1）结论可知，，如图． 若使得取最小值，即的值最小， 故当F，P，E三点共线时，，即此刻值最小； 中，令，则；令，则，解得． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义——抛物线的焦点与准线．熟练掌握焦点与准线性质，二次函数的图象与性质，一次函数图象和性质，一元二次方程根与系数关系，三角形面积公式，相似三角形判定和性质，是解题的关键． 25. 如图所示，在半径为2的扇形中，，点是劣弧上的一个动点，，，垂足分别为、． （1）在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （2）当点沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点时，求的外心所经过的路径的长度； （3）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（１）连接，得．根据，，可得； （2）连接，证明点P在上，得，即得所经过的路径的长度为； （3）求出．过D作，垂足为点F．根据．得．根据，得，得． 得，即得． 【小问1详解】 解：存在，不变． 如图，连接， 则． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：连接，如图； ∵，， ∴， ∴是和外接圆直径， ∴也是外接圆直径， ∴点P在上， ∴， 当点沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点时，点P从上运动到上， ∴所经过的路径的长度为：． 【小问3详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． 如图，过D作，垂足为点F． ∴．， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握垂径定理，三角形中位线性质，圆周角定理推论，弧长公式，等腰直角三角形性质，相似三角形判定和性质，三角形面积公式，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$