第六章 平面向量及其应用考试真题分类汇编-2024-2025学年高一数学考点剖析及精准练习（人教A版2019必修第二册）

2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第六章 平面向量及其应用考试真题分类汇编 题型01平面向量的线性运算及坐标运算 1．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）在中，点D在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·25高一下·福建厦门·期中）已知，，则点坐标为 ． 4．（2024·25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2023·24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 题型02平面向量的共线及其推论 6．（2023·24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 7．（2023·24高一下·浙江嘉兴·期中）（多选）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 10．（2023·24高一下·北京·阶段练习）已知平面向量，，均为非零向量，则“”是“向量，同向”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03平面向量的数量积 11．（2024·25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·25高三上·陕西渭南·期中）已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 13．（2024·25高三上·云南大理·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2023·24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 15．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）在中，已知，若，且，则 ． 题型04平面向量的夹角 16．（2024·25高三上·河南·期中）已知向量，，，则 . 17．（2024·25高三上·黑龙江·期末）若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 18．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 19．（2023·24高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 20．（2023·24高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 题型05向量的模与距离 21．（2024·25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 22．（2024·25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 23．（2023·24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 24．（2022·贵州毕节·三模）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（2023·24高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 题型06平面向量与三角函数的交汇 26．（2024·25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 27．（2024·25高一上·四川成都·期中）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 28．（2024·25高三上·湖北·期中）如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则 .    29．（2023·24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，. (1)当时，求及的值； (2)若函数，其中，求的值域． 30．（2023·24高一下·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A．-4 B．4 C．-8 D．8 题型07利用正(余)弦定理解三角形 31．（2023·24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 32．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 33．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 34．（2024·25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 35．（2024·25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 题型08正余弦的边角互化 36．（2023·24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 37．（2023·24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 38．（2023·24高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 39．（2024·25高三上·贵州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求. 40．（2024·25高三上·黑龙江大庆·期中）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 题型09多边形解三角形 41．（2023·24高一下·江苏南京·期末）如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 42．（2023·24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，. (1)若的面积为，求AC； (2)在（1）的条件下，若，求. 43．（2023·24高一下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求； (2)若，，求的周长． 44．（2023·24高一下·江苏镇江·期末）为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，.    (1)若时，求路线的长； (2)当时，求路线的长. 45．（2023·24高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，.    (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 题型10解三角形中的最值问题 46．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 47．（2023·24高一下·江西上饶·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为 ．    48．（2023·24高一下·天津河西·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是 . 50．（2024·25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 一、单选题 1．（2024·25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D． 2．（2024·25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·25高三上·河南周口·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 5．（2024·25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 6．（2023·24高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为分钟 7．（2023·24高一下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024·25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．与的夹角余弦值为 10．（2024·25高二上·山西晋城·期中）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 11．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 三、填空题 12．（2024·25高一上·北京西城·期末）已知正方形的边长为，点满足，则 ． 13．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 14．（2022·天津南开·模拟预测）在平行四边形中，，则 ；点是线段上的一个动点，当最小时， ． 四、解答题 15．（2024·25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 16．（2023·24高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 17．（2024·25高三上·北京房山·期中）在中，，，. (1)求，的值和的面积； (2)求的值. 18．（2024·25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 19．（2024·25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学考点剖析及分层精练（人教A版2019必修第二册） 第六章 平面向量及其应用考试真题分类汇编 题型01平面向量的线性运算及坐标运算 1．（2024·25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 2．（2024·25高三上·广东汕头·期中）在中，点D在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 3．（2024·25高一下·福建厦门·期中）已知，，则点坐标为 ． 【答案】/ 【详解】设，则 ，， 由，得解得故． 故答案为： 4．（2024·25高三上·安徽宣城·期末）在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 5．（2023·24高一下·广西南宁·期末）已知为内一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 即. 方法1：，即， 延长至点，令，即三点共线， 则. 方法2：由奔驰定理，，故. 故选B： 题型02平面向量的共线及其推论 6．（2023·24高一下·河北邯郸·阶段练习）已知向量不共线，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【详解】对于A，令，即，则有，无解， 因此不存在t，使得，即 三点不共线，A错误； 对于B，，则，又直线MN，NQ有公共点N， 因此 ，，三点共线，B正确； 对于C，，令，即， 则有，无解，因此不存在m，使得，即三点不共线，C错误； 对于D，令，即，则有，无解， 因此不存在n，使得，即三点不共线，D错误. 故选：B 7．（2023·24高一下·浙江嘉兴·期中）（多选）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，若存在实数，使得，则，无解，所以与不共线， 可以作为平面的基底，故A错误； 对于B，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故B正确； 对于C，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故C正确； 对于D，因为，则与是共线向量，不能作为平面向量的基底，故D正确. 故选：BCD. 8．（2024·25高二上·云南昭通·期中）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量，，且， 可得，， ， 故选：A. 9．（2024·25高三上·北京石景山·期末）向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数 . 【答案】2 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 10．（2023·24高一下·北京·阶段练习）已知平面向量，，均为非零向量，则“”是“向量，同向”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】当时，， 但此时向量，不一定同向，即充分性不成立； 反之，当向量，同向， 若时，则，此时成立， 若与不垂直，设与夹角为，， 则， ，， 所以，即必要性成立， 所以“”是“向量，同向”的必要不充分条件. 故选：B 题型03平面向量的数量积 11．（2024·25高三上·北京房山·期中）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长均为1，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图形可知：，，， . 故选：A. 12．（2024·25高三上·陕西渭南·期中）已知，C是以为直径的圆上一点，，D是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示： 因为，C是以AB为直径的圆上一点，，所以， 又D为AC的中点， 所以， ， 故选：D 13．（2024·25高三上·云南大理·开学考试）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 解得：. 故选：D. 14．（2023·24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 15．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）在中，已知，若，且，则 ． 【答案】 【详解】由，则， 又，所以，又， 所以，即. 故答案为：.    题型04平面向量的夹角 16．（2024·25高三上·河南·期中）已知向量，，，则 . 【答案】 【详解】已知，，则. 已知，，则. . ，. . 故答案为：. 17．（2024·25高三上·黑龙江·期末）若单位向量，满足，则向量与的夹角为 ． 【答案】 【详解】由可得， 故，故， 由于，故， 故答案为：. 18．（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则， 又（其中为与的夹角，），所以， 又，所以，所以， 故选：C． 19．（2023·24高一下·山东泰安·阶段练习）设两个向量满足． (1)若，求的夹角； (2)若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1） 又 即 又 （2）的夹角为且 向量与的夹角为钝角 且与不共线 即 解得：且 实数t的取值范围且 20．（2023·24高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      题型05向量的模与距离 21．（2024·25高一上·四川眉山·期中）已知向量，的夹角为120°，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【详解】由可得 ， 所以. 故选：A. 22．（2024·25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】，， 由得，解得. 故选：D 23．（2023·24高一下·陕西咸阳·期中）（多选）如图，在长方形中，，点满足，其中，则的取值可以是（    ）    A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】ABC 【详解】以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，因为，所以，即，，故，， 则， ，因为，所以. 故选：ABC    24．（2022·贵州毕节·三模）已知向量是非零向量，λ、，则“”是“”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 两边平方可得， 即，即， 即或， 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 25．（2023·24高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 题型06平面向量与三角函数的交汇 26．（2024·25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 所以，则， 所以函数在上的值域为. 27．（2024·25高一上·四川成都·期中）已知向量，函数. (1)求的单调递增区间； (2)若函数在区间上恰有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 令，得， 的单调递增区间为； （2）由题知在区间上恰有两个不同的实数根， 即函数在区间上的图象与直线恰有两个交点， 令， 作出的图象与直线，如图. 由图知，当时，的图象与直线有两个交点， 实数的取值范围为. 28．（2024·25高三上·湖北·期中）如图，函数的部分图象如图所示，已知点A，D为的零点，点B，C为的极值点，，则 .    【答案】/ 【详解】由图可得，又，则，， ，则，， 则，化简得， 又，则，则有， 解得，又，则. 故答案为：. 29．（2023·24高一下·湖南长沙·阶段练习）已知向量，，. (1)当时，求及的值； (2)若函数，其中，求的值域． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）当时，， ，, 则，； （2）， ， 所以， 若，则，， 所以，即的值域为. 30．（2023·24高一下·安徽·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的值为（   ） A．-4 B．4 C．-8 D．8 【答案】D 【详解】函数， 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，结合图象可得，，则，，， 所以. 故选：D. 题型07利用正(余)弦定理解三角形 31．（2023·24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 32．（2023·24高一下·江苏扬州·期中）在中，，则的最小内角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得， 可得是最小的角，设，则， 由余弦定理得. 故选：B. 33．（2024·福建·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，满足，，，则 . 【答案】2 【详解】根据题意，， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 即解得或（舍）， 所以. 故答案为：2 34．（2024·25高一上·全国·期中）在中，，延长到D，使得，则的长度为 ． 【答案】 【详解】在中，， 由正弦定理可得，，即，所以， 在中，，，， 由余弦定理可得，， 所以. 故答案为： 35．（2024·25高二上·浙江·期中）在中，，，最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【详解】由，， 所以，所以， 又， 所以，所以，所以， 故，为最长的边， 由，得， 则， 所以（舍去）， 由正弦定理得，所以. 即最长边的长为. 故选：D. 题型08正余弦的边角互化 36．（2023·24高一下·山西运城·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则 ． 【答案】1 【详解】由余弦定理得. 故答案为：. 37．（2023·24高一下·海南省直辖县级单位·期中）在中，角，，的对边分别是，，，，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 则，所以，即， 因为为三角形内角，所以，，则，所以； 故选：B 38．（2023·24高一下·云南德宏·期中）在中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一： ，由正弦定理可得， ，，． 又，． ． ，则． 方法二： 因为，由射影定理可得， 又，． ． ，则． 故选：A 39．（2024·25高三上·贵州·阶段练习）已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 且，则，可得， 即，所以. （2）因为，即， 由余弦定理可得，即， 整理可得，， 所以. 40．（2024·25高三上·黑龙江大庆·期中）在中，内角所对的边分别为．已知． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得： ， 即， 化简得：， 由正弦定理，可得， 又由余弦定理，可得， 又，故． （2）由（1）得，所以，则． 由余弦定理得， 则，所以的周长为． 题型09多边形解三角形 41．（2023·24高一下·江苏南京·期末）如图， 平面四边形 中，,， 则的长为 . 【答案】 【详解】在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 在中，，所以，又， 由正弦定理可得，，即， 解得， 又因为，所以 在中，由正弦定理可得， 即， 所以. 故答案为：. 42．（2023·24高一下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面四边形ABCD中，，. (1)若的面积为，求AC； (2)在（1）的条件下，若，求. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）在中，，，的面积为， 所以， 即，解得. 在中，由余弦定理得， 所以， 解得； （2）因为，，AD=9， 在中，由正弦定理， 所以． 所以． 43．（2023·24高一下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)24 【详解】（1）在中，，∴ ∵，∴ 又∵为钝角，∴为锐角，∴ （2）在中， ∴ ∴解得(负根舍去) 在中，，∴ ∴又， 整理得，，∴ ∴∴， ∴的周长为24. 44．（2023·24高一下·江苏镇江·期末）为进一步落实国家乡村振兴政策，某网红村计划在村内一圆形地块中种植油菜花，助推乡村旅游经济．为了让油菜花种植区与观赏路线布局合理，设计者们首先规划了一个平面图，如图所示，与是油菜花种植区，其中，（不计宽度）是观赏路线．在四边形中，，，.    (1)若时，求路线的长； (2)当时，求路线的长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为四边形ABCD内接于圆，又，所以， 在中，由余弦定理得： 所以． 在中，由余弦定理得： 即，即， 所以(舍)或．    （2）因为四边形ABCD内接于圆，，则， 因为，故． 由（1）知， 在中，，则， 所以在中，由正弦定理得，即， 所以，因为，所以， 所以． 在中，由余弦定理得： ， 所以. 45．（2023·24高一下·浙江杭州·期末）在四边形中，.    (1)求证：. (2)若，且，求四边形的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)若，则四边形的面积， 若，则四边形的面积. 【详解】（1）在中， 由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 在中，由正弦定理得， 即， 所以. 又， 所以， 所以.    （2）在中，由正弦定理得， 所以， 所以或， ①当时，则， 在中，由余弦定理得，，又， 解得， 此时四边形的面积， ②当时，则， 在中，由余弦定理得，， 解得， 此时四边形的面积. 题型10解三角形中的最值问题 46．（2024·安徽淮北·二模）记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 47．（2023·24高一下·江西上饶·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，，，的平分线交于点，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【详解】由，所以， 即，可得． 所以，（当且仅当，即时取等号）， 则的最小值为． 故答案为：． 48．（2023·24高一下·天津河西·期中）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】锐角中，，， 由正弦定理可得， 所以， 又， 所以，解得， 所以，所以． 故选：D． 49．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）锐角中，角、、的对边分别为、、，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由， 可得：, 化简可得：， 由正弦定理可得：， 所以，又, 所以，， 因为为锐角三角形， 所以解得：，所以， 所以， 所以， 故答案为： 50．（2024·25高三上·福建宁德·期中）在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 一、单选题 1．（2024·25高三上·河南许昌·期中）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 由，得，又， 因此，所以. 故选：B 2．（2024·25高三上·河北沧州·期中）在中，，分别是边，的中点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 故选：D. 3．（2024·25高三上·河南周口·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量，，则， 因为，则，整理可得. 故且，所以，. 故选：D. 4．（2024·25高一上·云南昆明·期末）在中，角所对三条边为，已知，则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 所以，且， 所以. 故选：B. 5．（2024·25高三上·浙江·期末）已知平面向量，，满足且在上的投影向量为，若向量与向量的夹角为，则向量（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，在上的投影向量为，即，则， 又，则， 解得，由，解得. 故选：B 6．（2023·24高一下·山东潍坊·期末）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为分钟 【答案】B 【详解】由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向， 由，可得，，A选项错误，B选项正确； ，C选项错误； 该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误. 故选：B. 7．（2023·24高一下·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 又，所以，， 所以. 故选：A 8．（2023·24高一下·重庆·期末）如图，已知正方形的边长为2，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接， 因为是边长为2的正方形，动点在以为直径的半圆上， 所以当在点或点时，取得最大值， 当在弧中点时，取得最小值， 的取值范围为， 又因为，，， 所以 ， 因为的取值范围为， 所以的取值范围为，的取值范围为， 故选：B 二、多选题 9．（2024·25高三上·江苏盐城·阶段练习）已知向量，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．与同向的单位向量为 D．与的夹角余弦值为 【答案】BC 【详解】A.，故A错误； B.，，所以，故B正确； C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确； D.，故D错误. 故选：BC 10．（2024·25高二上·山西晋城·期中）“没有运算的向量只能起到路标作用，有了运算的向量力量无穷”，除了向量线性运算和数量积外常见的还有向量的外积．定义如下，空间向量与的外积是一个向量，其长度等于，其方向满足，，，，且三个向量构成右手系（如图）．在棱长为2的正四面体中，为的中心，下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，根据外积定义可得， 又，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，根据定义可得，长度相等，方向相反， 即，C错误； 对于D，，根据定义得与反向，， 所以，D正确． 故选：ABD. 11．（2024·25高三上·辽宁大连·期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．若，，则面积最大值为3 D．，角B的平分线BD交AC边于D，且，则的最小值为12 【答案】BCD 【详解】对于A：若，根据正弦定理则， 即，因为，所以或 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，A错误； 对B，因为，则，， 则根据正弦定理有， 故B正确； 对C，设，. 则， ， 所以 ， 当时，三角形的面积取得最大值，故C正确； 对D，由题意可知，， 由角平分线性质和三角形面积公式得， 化简得，即， 因此， 当且仅当，即时取等号，即的最小值为，则D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024·25高一上·北京西城·期末）已知正方形的边长为，点满足，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，， 因为， 所以，， 所以，，故. 故答案为：. 13．（2024·25高三上·江苏镇江·期中）镇江的慈寿塔是金山寺的标志性建筑，创建于1400余年前的齐梁时期．某同学为了测量慈寿塔的高，他在山下处测得塔尖点的仰角为，再沿正对塔方向前进20米到达山脚点，测得塔尖点的仰角为，塔底点的仰角为，则慈寿塔高约为 米．（，答案保留整数） 【答案】31 【详解】如图，，，，， 设，则，，， ∴，∴， 则． 故答案为：31. 14．（2022·天津南开·模拟预测）在平行四边形中，，则 ；点是线段上的一个动点，当最小时， ． 【答案】 /120°/ /0.5 【详解】 ， ； 设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°， 则 ， ∴当时，取最小值，则． 故答案为：120°；． 四、解答题 15．（2024·25高一上·河北保定·期中）如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）， ； （2）， 又，故， 故三点共线. 16．（2023·24高一下·北京·阶段练习）已知向量，，，且向量与共线. (1)证明：； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2）由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. （3）因为，，， 所以，解得. 17．（2024·25高三上·北京房山·期中）在中，，，. (1)求，的值和的面积； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理可得， 注意到，，， 所以，即，解得， 进一步； （2）由余弦定理可得，，因为， 所以，而， 从而. 18．（2024·25高三上·江苏无锡·期中）已知向量与的夹角为，且，若. (1)当时，求实数的值; (2)当取最小值时，求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以，即， 所以， 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以，所以. （2）因为， 所以， 由（1）知，且， 所以， 则， 故当时，最小为， 此时， 则， 又， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为. 19．（2024·25高三上·河南周口·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，，其中为的面积． (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，又，得到， 整理得到，又，所以. （2）由（1）知，所以， 则， 又因为为锐角三角形，所以，得到， 所以，得到， 所以的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$