第04讲 平面向量在平面几何和物理中的应用 讲义-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019） 必修第二册

第04讲 平面向量在平面几何和物理中的应用 目录 知识点一：向量在平面几何中的应用 2 考点1：向量在平面几何中的应用 3 ① 用向量证明线段垂直 3 ② 用向量解决线段的长度问题 4 ③ 用向量解决夹角问题 5 ④ 向量与几何最值 6 ⑤ 向量在几何中的其他应用 8 知识点二：平面向量在物理中的应用 9 考点2： 向量在物理中的应用 9 知识点一：向量在平面几何中的应用 1. 常见应用形式 (1) 证明线段相等 或或 。 (2) 证明直线或线段平行 或 (3) 证明三点共线 三点共线存在实数使得或或 (4) 证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是等） 或。 (5) 求解与夹角有关的问题 可通过或求解。 (6) 求线段的长度或线段长度的关系 1　 线段长度：利用图形特点选择基底，向向量的数量积进行转化，用公式 求解；或建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解；或利用公式求解。 2　 线段长度的关系：用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求解线段比例关系，或通过建立坐标系，设定端点坐标，利用向量的坐标表示求解线段关系。 2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想 (1) 几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2) 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 3. 求解向量在平面几何中的应用问题的三部曲 (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系。 (3) 将运算结果“翻译”成几何关系。 考点1：向量在平面几何中的应用 1　 用向量证明线段垂直 【例1.1.】 若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【例1.2.】 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【例1.3.】 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【例1.4.】 在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【例1.5.】 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【例1.6.】 如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【例1.7.】 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 2　 用向量解决线段的长度问题 【例1.8.】 在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【例1.9.】 已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.10.】 如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 3　 用向量解决夹角问题 【例1.11.】 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【例1.12.】 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.13.】 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【例1.14.】 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【例1.15.】 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【例1.16.】 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 4　 向量与几何最值 【例1.17.】 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【例1.18.】 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【例1.19.】 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例1.20.】 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为    【例1.21.】 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【例1.22.】 已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 【例1.23.】 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 【例1.24.】 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是 . 5　 向量在几何中的其他应用 【例1.25.】 已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【例1.26.】 在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【例1.27.】 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【例1.28.】 在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【例1.29.】 （多选）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【例1.30.】 （多选）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（    ） A． B．直线过边的中点 C． D．若，则 知识点二：平面向量在物理中的应用 1. 明确用向量研究物理问题的相关知识 (1) 向量与力 向量是既有方向又有大小的量，它们可以有共同作用点也可以没有共同作用点，而力的三要素是大小，方向和作用点，所以利用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上。 (2) 向量与速度、加速度及位移 (3) 速度、加速度及位移的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算。用向量解决速度、加速度及位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标来运算。 (4) 向量与功、动量 力做的功实际上是力和位移两个向量的数量积，； 动量实际上是数乘向量。 2. 用向量法解决物理学中相关问题的步骤 第一步：将物理问题转化成数学问题； 第二步：建立以向量为主体的数学模型； 第三步：求出数学模型的解； 第四步：回归到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象。 考点2： 向量在物理中的应用 【例2.1.】 设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【例2.2.】 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【例2.4.】 在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【例2.5.】 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大． 后该城市开始受到台风的侵袭。注：cos（θ－45°）＝ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 平面向量在平面几何和物理中的应用 目录 知识点一：向量在平面几何中的应用 2 考点1：向量在平面几何中的应用 3 ① 用向量证明线段垂直 3 ② 用向量解决线段的长度问题 7 ③ 用向量解决夹角问题 9 ④ 向量与几何最值 15 ⑤ 向量在几何中的其他应用 22 知识点二：平面向量在物理中的应用 27 考点2： 向量在物理中的应用 27 知识点一：向量在平面几何中的应用 1. 常见应用形式 (1) 证明线段相等 或或 。 (2) 证明直线或线段平行 或 (3) 证明三点共线 三点共线存在实数使得或或 (4) 证明线段垂直（证明四边形是矩形或正方形，证明三角形是等） 或。 (5) 求解与夹角有关的问题 可通过或求解。 (6) 求线段的长度或线段长度的关系 1　 线段长度：利用图形特点选择基底，向向量的数量积进行转化，用公式 求解；或建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解；或利用公式求解。 2　 线段长度的关系：用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理求解线段比例关系，或通过建立坐标系，设定端点坐标，利用向量的坐标表示求解线段关系。 2. 用向量法解决平面几何问题的两种思想 (1) 几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． (2) 坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 3. 求解向量在平面几何中的应用问题的三部曲 (1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题。 (2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系。 (3) 将运算结果“翻译”成几何关系。 考点1：向量在平面几何中的应用 1　 用向量证明线段垂直 【例1.1.】 若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【详解】解：因为，所以，所以平面四边形为平行四边形， 又，在方向上的数量投影是0，即，即，所以平行四边形为菱形； 故选：C 【例1.2.】 在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】，， 则， ，，则△ABC为直角三角形. 故选：B. 【例1.3.】 在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【详解】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 【例1.4.】 在中，，，为的重心，若，则外接圆的半径为(    ) A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】延长AG交BC于D，∵G是△ABC重心，∴AD为△ABC中线． ， 即AD⊥BC，故△ABC是等腰三角形，且， 则△ABC外接圆圆心在AD上，设为O，则OA=OC， ∵∠OAC=，∴△OAC是等边三角形，∴OA=OC=AC=AB=1，即△ABC外接圆半径为1． 故选：B． 【例1.5.】 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，(且)，D为AB的中点，E为的重心，F为的外心． (1)求重心E的坐标； (2)用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）如图， ∵，，， ∴，则由重心坐标公式，得； （2）． 易知的外心F在y轴上，可设为． 由，得， ∴，即． ∴． ∴， ∴，即． 【例1.6.】 如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【详解】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 【例1.7.】 如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【详解】（1）； . （2）. 证明如下： 由（1）知，，， . ，. 2　 用向量解决线段的长度问题 【例1.8.】 在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】D 【详解】如图示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.    则， 所以，. 所以， 所以（当且仅当时等号成立）. 所以的最小值是6. 故选：D 【例1.9.】 已知向量，线段的中点为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 则， 由， 得，又已知，且， 则有， 故. 故选：A. 【例1.10.】 如图，在中，，，是边的中点，过点作于点，延长交于点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：设，∵，∴， 又是边的中点，所以， ∴，∴， ∴， ∵，，所以，且， ∴，，， 代入得，解得， ∴，∴. 方法二：因为，，所以为等腰直角三角形， 又因为，为中线，所以，， 所以. 因为，所以， 所以，即， 所以. 过点作交于点，所以， 因为，设，则， 所以，解得，∴.    故选：C 3　 用向量解决夹角问题 【例1.11.】 中，若，，点满足，直线与直线相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，以点为原点，为轴构建直角坐标系， 因为，，所以，，， 设， 因为、、三点共线，所以，，， 因为，、、三点共线，所以， 联立，解得，，， 因为，，所以，， 因为， 所以， 故选：A. 【例1.12.】 已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 因为， 则，所以，即B，O，C三点共线． 因为为的外心，即有， 所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角． 如图，过点作，垂足为． 因为在上的投影向量为，所以， 所以在上的投影向量为． 又因为，所以． 因为，所以， 故的取值范围为． 故选：A． 【例1.13.】 如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 【例1.14.】 如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合，B，D分别在x，y轴正半轴上，，，点E为AB上一点    (1)若，求AE的长； (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求． 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）由题，可得.则. 设，则.因，则.则，故AE的长为1； （2）若E为AB的中点，则，，又. 由图可知. 【例1.15.】 在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      【例1.16.】 如图，是单位圆（圆心为）上两动点，是劣弧（含端点）上的动点.记（均为实数 (1)若到弦的距离是， （i）当点恰好运动到劣弧的中点时，求的值； （ii）求的取值范围； (2)若，记向量和向量的夹角为，求的最小值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【详解】（1）解：由到弦的距离是，可得，故 （i）由圆的几何性质得， 故 （ii）记劣弧的中点为，且 ① ② ①+②得 进一步得： ， 其中 故的取值范围为： （2）解：记，由两边平方，得 ，又，∴ ∴ 故 又和向量的夹角为， 记， 显然关于单调递增， 所以当时，. 4　 向量与几何最值 【例1.17.】 已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值， 故选：． 【例1.18.】 已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】如图:令，，则，故. 因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上. 设，连接，因为，所以点在直线上. 因为，所以，即，所以. 结合图形可知，当时，即取得最大值，且. 故选：D 【例1.19.】 已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，，则由题意可知:， 由勾股定理可得    当点位于直线异侧时或PB为直径时，设， 则： ，则 当时，有最大值.    当点位于直线同侧时，设， 则： ， ，则 当时，有最大值. 综上可得，的最大值为. 故选：A. 【例1.20.】 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为    【答案】8 【详解】如图，连结，显然， ， ， 点在正六边形的边上运动，是其中心， 因此的最小值等于中心到正六边形的边的距离，距离为. 所以的最大值为. 故答案为：8 【例1.21.】 已知四边形是边长为4的正方形，点满足，为平面内一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设，是中点， 则, 由可得,故， 所以， 故当时，取到最小值， 故答案为： 【例1.22.】 已知平面向量，，满足，且，则的最大值为 ． 【答案】/2.5 【详解】由题意，，又， 故， 故， 由向量模长的三角不等式，， 即， 解得：，则的最大值为. 故答案为： 【例1.23.】 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： 则,，设,于是， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为：． 【例1.24.】 如图，在中，，，点满足，，为中点，点在线段上移动（包括端点），则的最小值是 . 【答案】 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示直角坐标系， 设，，， 设，，， ，，， ，，， ，， ，即，解得， ，因为为中点，， 设，，，, , 所以当时，即， 故答案为：. 5　 向量在几何中的其他应用 【例1.25.】 已知非零向量，满足，且，则为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】， ， ， ， 为等腰三角形， 又， ， ，又，所以， 为等边三角形， 故选：D. 【例1.26.】 在中，，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰（非等边）三角形 【答案】D 【详解】因为，所以，所以， 所以，所以，即， 又，所以，所以， 所以为等腰非等边三角形. 故选：D 【例1.27.】 在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，，，，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是△ABC的内心. 故选：B 【例1.28.】 在中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以的角平分线与垂直，所以， 因为，,所以， 则． 故选：D 【例1.29.】 （多选）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】ACD 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 【例1.30.】 （多选）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（    ） A． B．直线过边的中点 C． D．若，则 【答案】ACD 【详解】，则，A正确； 若，则， 所以是△的重心， 直线过中点，而与不平行， 所以直线不过边的中点，B错误； 又，而，， 所以，C正确； 若，且， 所以， 而，D正确. 故选：ACD 知识点二：平面向量在物理中的应用 1. 明确用向量研究物理问题的相关知识 (1) 向量与力 向量是既有方向又有大小的量，它们可以有共同作用点也可以没有共同作用点，而力的三要素是大小，方向和作用点，所以利用向量知识解决力的问题时，通常要把向量平移到同一作用点上。 (2) 向量与速度、加速度及位移 (3) 速度、加速度及位移的合成与分解，实际上就是向量的加减法运算。用向量解决速度、加速度及位移等问题，用的知识主要是向量的加法、减法以及数乘运算，有时也借助坐标来运算。 (4) 向量与功、动量 力做的功实际上是力和位移两个向量的数量积，； 动量实际上是数乘向量。 2. 用向量法解决物理学中相关问题的步骤 第一步：将物理问题转化成数学问题； 第二步：建立以向量为主体的数学模型； 第三步：求出数学模型的解； 第四步：回归到物理现象中，用已经获取的数值去解释相应的物理现象。 考点2： 向量在物理中的应用 【例2.1.】 设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（    ） A．向东南走了 km B．向西南走了 km C．向东南走了 km D．向西南走了 km 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、速度、位移的合成 【分析】由向量加法的几何意义以及勾股定理即可求解. 【详解】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知， 所表示的意义为向东南走了 km. 故选：A. 【例2.2.】 一条东西方向的河流两岸平行，河宽，河水的速度为向正东．一艘小货船准备从河南岸码头P处出发，航行到河对岸Q（与河的方向垂直）的正西方向并且与Q相距的码头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为，则当小货船的航程最短时，小货船航行速度的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段，设小货船航行速度为，水流的速度为，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为，作出示意图如下： ，，在中，有， 所以，，， 所以， 所以， 所以小货船航行速度的大小为， 故选：C. 【例2.3.】 物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：（其中是功，是力，是位移）一物体在力和的作用下，由点移动到点，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，又，，所以，故. 故选：A. 【例2.4.】 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为 . 【答案】8 【详解】解：设，的合力为，则， ∵，的夹角为， ∴， ∴， ∵物体平衡状态.∴物体的重力大小为=8. 故答案为：8. 【例2.5.】 在体育课上，同学们经常要在单杠上做引体向上运动（如图），假设某同学所受重力为，两臂拉力分别为，，若，与的夹角为，则以下四个结论中： ①的最小值为； ②当时，； ③当时，； ④在单杠上做引体向上运动时，两臂夹角越大越省力．在以上四个结论中，正确的序号为 ． 【答案】①②③ 【详解】对于①，当与方向竖直向上时，的最小，此时，所以①正确； 对于②，当时，，，所以②正确； 对于③，当时，，，所以③正确； 对于④，由，当越大时，越小，越大，越费力，所以④错误． 故答案为：①②③． 【例2.6.】 在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图所示）的东偏南θ,cos θ＝，θ∈（0°，90°）方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大． 后该城市开始受到台风的侵袭。注：cos（θ－45°）＝ 【答案】12 【详解】设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭， , ∵ ， ∴, 即， 依题意得，解得 ， 从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$