精品解析：江西省新余市分宜中学2024-2025学年九年级下学期开学摸底考试数学试卷

2024-2025学年下学期江西省新余市分宜中学九年级开学摸底测试 数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列结论不正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 9的平方根是 C. 0的平方根等于0 D. 8的算术平方根是4 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方根、立方根以及算术平方根的定义判断即可． 此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 【详解】解：A、的立方根是，不符合题意； B．9的平方根是，不符合题意； C．0的平方根是0，不符合题意； D、8的算术平方根不是4，符合题意． 故选：D． 2. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据主视图定义，得到从几何体正面看得到的平面图形即可． 【详解】从正面看得到2列正方形的个数依次为2，1， 故选D． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键． 3. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查立方根，解题的关键是明确立方根的求法． 根据立方根的定义解答即可． 【详解】解：因为，， 所以的值为64． 故选：D． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴， 在数轴上表示的如下： 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式的解集，掌握解不等式组的解法是解题的关键． 5. 兄弟两人沿五四广场的木栈道跑步，领先的哥哥看弟弟跑的慢，就停下来看风景．过了一会发现弟弟跑前面去了，急忙追赶，结果比弟弟提前到达终点．用分别表示弟弟和哥哥所跑的路程，t为跑步时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】弟弟是匀速行走的，图象为线段，哥哥是：先跑后停再急跑，图象为三条折线组成；最后弟弟比哥哥晚到，即弟弟到终点花的时间多． 【详解】解：根据题意，一直增加；有三个阶段：1、增加，2、停下了看风景，不变，3、于是急忙追赶，增加；最后弟弟比哥哥晚到，即在的上方， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，行程问题，分析清楚时间与路程的关系是解题的关键． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A. 5x2﹣4x＝﹣2 B. （x﹣1）（5x﹣1）＝5x2 C. 4x2﹣5x+1＝0 D. （x﹣4）2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】A、将方程变形为一般式，由根的判别式△＝﹣24＜0，可得出方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根； B、将方程变形为一般式，由一元一次方程只有一个实数根，可得出方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根； C、根据根的判别式△＝9＞0，可得出方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根； D、通过解方程可得出x1＝x2＝4，即方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根． 综上即可得出结论． 【详解】A、原方程可变形为5x2﹣4x+2＝0， ∵△＝（﹣4）2﹣4×5×2＝﹣24＜0， ∴方程5x2﹣4x＝﹣2无实数根； B、原方程可变形为6x﹣1＝0， ∴方程（x﹣1）（5x﹣1）＝5x2只有一个实数根； C、∵△＝（﹣5）2﹣4×4×1＝9＞0， ∴方程4x2﹣5x+1＝0有两个不相等的实数根； D、∵（x﹣4）2＝0， ∴x1＝x2＝4， ∴方程（x﹣4）2＝0有两个相等的实数根． 故选C． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 第24届奥林匹克冬季运动会于2022年2月4号至20号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动．根据预测，中国冬季运动的市场价值在2025年将会达到1500亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用．1500亿美元用科学记数法表示是_____美元． 【答案】 【解析】 【分析】把带有单位的数转化成纯数形式,用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可． 【详解】∵1500亿=150000000000=， 故答案为:． 【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 8. 因式分解：＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先提取负号，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解： ＝－（y2+4y+4） ＝－（y+2）2． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键． 9. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________； 【答案】12 【解析】 【详解】分析：根据AB∥EF,得出，把线段的值代入运算即可. 详解：AB∥EF, ， 解得： 故答案为12. 点睛：考查平行线分线段成比例定理，从AB∥EF,得出是解题的关键. 10. 有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20且小于40，那么这个两位数是__． 【答案】24或35 【解析】 【详解】解：设这个两位数十位数字为x，则个位数字为x+2，那么这个两位数为10x+x+2．根据题意得： ，解得：． ∵x为正整数，∴x为2或3， ∴10x+x+2=24或35， 则这个两位数是24或35． 故答案为24或35． 点睛：本题考查了一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题目，列出不等关系式即可求解． 11. 在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，那么较小锐角的度数是_____． 【答案】36°． 【解析】 【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为2k、3k，由题意得 2k+3k＝90°， 解得k＝18°， 所以较小锐角的度数为18×2＝36°． 故答案为36°． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，比例的问题，利用“设k法”求解更简便． 12. 如图，已知的半径为6，弦，将弦绕点按顺时针方向旋转后得到弦（点在劣弧上），与交于点，连接．当是直角三角形时，的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：（1）当时，直径所对的圆周角等于，可得，再运用勾股定理进行计算即可．（2）当时，利用旋转可得和的值相等，那么． 【详解】解：（1）当时，如图，连结，为的直径． . 设，可得 ， 解得， 即； （2）当时，如图 取中点，连接，则，是点旋转后的对应点， ，． 又， 四边形正方形， ． ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆的性质，旋转的性质，勾股定理，正方形的判定和性质，理解相关知识是解答关键． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊三角函数值即可求得. 【详解】解： 【点睛】本题考查的知识点是三角函数的计算，解题的关键是熟练的掌握三角函数的计算. 14. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，掌握求解的基本步骤，注意检验分式方程的根是解题的关键． 先去分母，再移项合并同类项，未知数系数化1，再检验分式方程的根即可． 【详解】解：去分母，得， 移项并合并同类项得 ， 未知数系数化1得 ， 检验：时， ， 是方程的解． 15. 某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水；B．瓶装矿泉水；C．碳酸饮料；D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两幅不完整的统计图． 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 价格（元/瓶） 0 2 3 4 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级饮用碳酸饮料同学有______人，补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用碳酸饮料的同学中选出5名同学（3名男生，2名女生）组成班级的监督员，再由这5名监督员随机抽签产生2名监督员，进行当日的执勤工作，请用列表法或画树状图法求当日恰好抽到2名女监督员的概率． 【答案】（1）20，图形见解析 （2）该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，算术平均数，条形统计图和扇形统计图的应用、采用列举法求解概率等知识，注重数形结合是解答本题的关键． （1）结合条形图和扇形统计图数据，用B种人数除以B种人数的占比即可求出总人数，利用总人数即可求出C种的人数，再补全条形图即可； （2）根据（1）的结果，求出总的费用再除以总人数即可求解； （3）采用列表法即可求解． 【小问1详解】 解：总人数：（人），C种的人数为：（人）， 条形图如下： 故答案为：20； 【小问2详解】 解：（元）． 答：该班同学每天用于饮品的人均花费是2.2元； 【小问3详解】 解：根据题意，列表如下． 男1 男2 男3 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2） 男3 （男3，男1） （男3，男2） （男3，女1） （男3，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 由表格可知，共有20种等可能的结果，其中，抽到2名女监督员的结果有2种，故恰好抽到2名女监督员的概率为． 16. 如图，已知点、点以及直线． （1）用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； （2）在（1）中所作的图中，连接，若，过点作于点，过点作于点．求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识． （1）利用尺规作图的方法作出的垂直平分线，交直线于点即可； （2）利用证明，推出，，即可得到． 【小问1详解】 解：点如图所示， ； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 17. 数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”． 小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题： （1）如图1，当与相切于点时，求的长； （2）如图2，当与相切时， ①求长； ②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______． 【答案】（1）BP=2 （2）①4.8；②9.6 【解析】 【分析】（1）连接PT，由⊙P与AD相切于点T，可得四边形ABPT是矩形，即得PT=AB=4=PE，在Rt△BPE中，用勾股定理即得BP=2； （2）①由⊙P与CD相切，有PC=PE，设BP=x，则PC=PE=10-x，在Rt△BPE中，由勾股定理得x2+22=（10-x）2，即可解得BP=4.8；②点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，由EM是△ABQ的中位线，可得四边形BPNE是矩形，即知EN=BP=4.8，故EM=2EN=9.6． 【小问1详解】 连接PT，如图： ∵⊙P与AD相切于点T， ∴∠ATP=90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°， ∴四边形ABPT是矩形， ∴PT=AB=4=PE， ∵E是AB的中点， ∴BE=AB=2， 在Rt△BPE中，； 【小问2详解】 ①∵⊙P与CD相切， ∴PC=PE， 设BP=x，则PC=PE=10-x， 在Rt△BPE中，BP2+BE2=PE2， ∴x2+22=（10-x）2， 解得x=4.8， ∴BP=4.8； ②点Q从点B出发沿射线BC移动，M是AQ中点，点M在⊙P内的路径为EM，过P作PN⊥EM于N，如图： 由题可知，EM是△ABQ的中位线， ∴EM∥BQ， ∴∠BEM=90°=∠B， ∵PN⊥EM， ∴∠PNE=90°，EM=2EN， ∴四边形BPNE是矩形， ∴EN=BP=4.8， ∴EM=2EN=9.6． 故答案为：9.6． 【点睛】本题考查矩形与圆的综合应用，涉及直线和圆相切、勾股定理、动点轨迹等，解题的关键是理解M的轨迹是△ABQ的中位线． 18. 为了了解某小学某年级500名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系式．由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题． （1）求出a、b的值； （2）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少？ 【答案】（1） （2）100人 【解析】 【分析】（1）根据表格所给数据先求出50.5～75.5的有4人，75.5～100.5的有16人，再根据a+b=20，2a=3b，即可求出a和b的值； （2）利用样本估计总体的方法即可估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人． 【小问1详解】 解：由题意所给数据可知：的有4人，的有16人， ∴， ∵，∴，解得 ∴，． 【小问2详解】 解：40名学生所在的样本中，跳绳成绩优秀的人所占的百分比为， ∴该校该年级500名学生中跳绳成绩优秀的人数大约是(人) ． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、总体、个体、样本、用样本估计总体，解决本题的关键是熟练掌握各个概念，数形结合． 19. 请用已学过的方法研究一类新函数y＝k|x﹣b|（k，b为常数，且k≠0）的图象和性质： （1）完成表格，并在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|的图象； x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 2 1 0 1 2 4 （2）点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上． ①若y1＝y2，则m的值为 ； ②若y1＜y2，则m的取值范围是 ； （3）结合函数图像，写出该函数的一条性质． 【答案】（1）3，3，画函数图象见解析； （2）①；②m>1； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）列表、描点，连线画出函数图象即可； （2）观察图形，根据图象的性质即可得到结论； （3）结合（2）中图象的性质，即可得到结论． 【小问1详解】 解：列表： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点、连线，画出函数y＝|x﹣2|图象如图： 【小问2详解】 解：点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上， 观察图象：y＝|x﹣2|图象关于直线x=2对称，且当x>2时，y随x增大而增大，当x<2时，y随x增大而减小，而m+2>m， ①若y1＝y2，则m+2-2=2-m，解得m=1； ②若y1＜y2，则m>1， 故答案为：1，m>1； 【小问3详解】 解：对于函数y＝k|x−b|，当k＞0时，函数值y先随x的增大而减小，函数值为0后，再随x的增大而增大． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键． 20. 一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示． （1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离； （2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？ 【答案】（1）1000米 （2）能 【解析】 【分析】（1）作于，解，即可求得的长；（2）在中，，，则可求出，再根据时间路程速度求出他到达宾馆需要的时间，与15分钟比较即可． 【详解】（1）作于， 由题意可得出：，米， 则米； （2）在中，，， 米． 这名徒步爱好者以100米分的速度从雁峰公园返回宾馆， 他到达宾馆需要的时间为， 他在15分钟内能到达宾馆． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解直角三角形，锐角三角函数等知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 21. 如图所示，在平面上有一半径为1 cm的圆定点A，OA=4cm．以点A为旋转中心，使圆O分别顺时针旋转90°，逆时针旋转60°，得到圆B和圆C，作出这两个圆. (1)试问圆B或圆C的圆心与圆O的圆心O的距离是多少? (2)试问圆B和圆C的圆心的距离是多少? 【答案】（1）cm，4cm；（2） cm. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据旋转的性质得出对应点坐标进而得出答案，利用勾股定理以及等边三角形的判定与性质得出答案； （2）作CD⊥BA延长线于点D，连接BC，首先得出CD的长，进而得出AD的长，再利用勾股定理得出答案． 试题解析：（1）如图作出圆B和圆C， ∵∠OAB=90°，AO=AB=4cm，∴OB=cm. ∵AO=AC，∠OAC=60°，∴△AOC是等边三角形.∴CO=4cm. ∴圆B或圆C的圆心与圆O的圆心O的距离分别是：cm，4cm； （2）作CD⊥BA延长线于点D，连接BC， ∵∠OAC=60°，∠OAB=90°，∴∠CAD=30°. ∴CD=AC=2，AD=ACsin60°=∴BD=. ∴（cm）． 考点：1.作图-旋转变换；2.勾股定理；3.等边三角形的判定和性质． 22. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且． （1）求∠OBC的度数； （2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中： 若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； 若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系． 【答案】（1）∠OBC=60°；（2）①或2；②当a＜5时，a+b=5；当a＞5时，a﹣b=5 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠OBC=60°； （2）分三种情况分析图形可能的结果，再根据直角三角形的特殊边关系推出结果(30°角所对直角边等于斜边的一半)； （3）分两种情况分析图形可能的结果，再根据等腰三角形的特殊边关系推出结果（等腰三角形两腰相等）． 【详解】（1）如图1： 在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4， ∵CO⊥BD， ∴CD=CB=4， ∴CD=CB=BD， ∴△DBC是等边三角形， ∴∠OBC=60°； （2）①由题意，得AP=2t，BQ=t， ∵A（﹣3，0），B（2，0）， ∴AB=5， ∴PB=5﹣2t， ∵∠OBC=60°≠90°， ∴下面分两种情况进行讨论， Ⅰ）如图2： 当∠PQB=90°时， ∵∠OBC=60°， ∴∠BPQ=30°， ∴BQ=， ∴t=，解得：t=； Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3： ∵∠OBC=60°， ∴∠BQP=30°， ∴PB=， ∴， 解得：t=2； ②如图4： 当a＜5时， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=5﹣a， ∵△PQB等腰三角形，∠OBC=60°， ∴△PQB是等边三角形， ∴b=5﹣a，即a+b=5， 如图5：当a＞5时， ∵AP=a，BQ=b， ∴BP=a﹣5， ∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°， ∴BP=BQ， ∴a﹣5=b，即a﹣b=5． 【点睛】此题考核知识点：等边三角形、等腰三角形的判定；含有30°角的直角三角形性质；直角三角形定义；点的坐标与距离关系；坐标系中点的运动．这是一道综合题，解题的关键在于理解点的变化过程中图形的几种情况，借助坐标求出相关的边长，根据特殊图形边长的特殊关系列出等式便可． 23. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标； （2）画出关于原点对称的； （3）在x轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析，； （2）见解析； （3）图见解析，． 【解析】 【分析】（1）根据旋转角和旋转方向分别画出点、、的对应点、、，连接点、、可得，根据图形所在的位置得出点的坐标； （2）根据关于原点对称的性质画出分别画出点、、的对应点、、，连接点、、，可得； （3）作点关于x轴的对称点，连接交轴于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如下图所示， 连接，在第二象限作， 连接，在第二象限作， 连接，作， 连接点、、可得：， 即为所求， 从图中可以看出点的坐标是； 【小问2详解】 解：如下图所示， 连接并延长到使， 连接并延长到使， 连接并延长到使， 连接、、可得， 即为所求； 【小问3详解】 解：如下图所示， 由图可知点、关于轴对称， 连接交于点D， 根据两点之间线段最短可知此时最短， 根据对称性质可知， 此时， 此时使的值最小， 此时点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质和轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是根据旋转的性质找到三角形三个端点的对应点，顺次连接对应点得到相应的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期江西省新余市分宜中学九年级开学摸底测试 数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列结论不正确的是（ ） A. 的立方根是 B. 9的平方根是 C. 0的平方根等于0 D. 8的算术平方根是4 2. 如图所示的几何体是由4个相同的小正方体组成．其主视图为（  ） A. B. C. D. 3. 若，则的值为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 64 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 兄弟两人沿五四广场木栈道跑步，领先的哥哥看弟弟跑的慢，就停下来看风景．过了一会发现弟弟跑前面去了，急忙追赶，结果比弟弟提前到达终点．用分别表示弟弟和哥哥所跑的路程，t为跑步时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　） A 5x2﹣4x＝﹣2 B. （x﹣1）（5x﹣1）＝5x2 C. 4x2﹣5x+1＝0 D. （x﹣4）2＝0 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 第24届奥林匹克冬季运动会于2022年2月4号至20号在北京举行，在中国已经有3亿人参与了冰雪运动．根据预测，中国冬季运动的市场价值在2025年将会达到1500亿美元，这也会给全世界的冬季运动带来巨大的推动作用．1500亿美元用科学记数法表示是_____美元． 8. 因式分解：＝__________． 9. 如图所示，AB∥EF，若CE=4，CF=3，AE=BC，则BC=___________； 10. 有一个两位数，其个位数字比十位数字大2，已知这个两位数大于20且小于40，那么这个两位数是__． 11. 在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，那么较小锐角的度数是_____． 12. 如图，已知的半径为6，弦，将弦绕点按顺时针方向旋转后得到弦（点在劣弧上），与交于点，连接．当是直角三角形时，的长是______． 三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算： 14 解方程：． 15. 某班数学兴趣小组对本班同学一天饮用饮品的情况进行了调查，大致可分为四种：A．白开水；B．瓶装矿泉水；C．碳酸饮料；D．非碳酸饮料．根据统计结果绘制如下两幅不完整的统计图． 饮品名称 白开水 瓶装矿泉水 碳酸饮料 非碳酸饮料 价格（元/瓶） 0 2 3 4 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）这个班级饮用碳酸饮料的同学有______人，补全条形统计图； （2）若该班同学每人每天只饮用一种饮品（每种仅限一瓶，价格如表），则该班同学每天用于饮品的人均花费是多少元？ （3）为了养成良好的生活习惯，班主任决定在饮用碳酸饮料的同学中选出5名同学（3名男生，2名女生）组成班级的监督员，再由这5名监督员随机抽签产生2名监督员，进行当日的执勤工作，请用列表法或画树状图法求当日恰好抽到2名女监督员的概率． 16. 如图，已知点、点以及直线． （1）用尺规作图的方法在直线上求作一点，使．（保留作图痕迹，不要求写出作法）； （2）在（1）中所作的图中，连接，若，过点作于点，过点作于点．求证： 17. 数学课上老师提出问题：“在矩形中，，，是的中点，是边上一点，以为圆心，为半径作，当等于多少时，与矩形的边相切？”． 小明的思路是：解题应分类讨论，显然不可能与边及所在直线相切，只需讨论与边及相切两种情形．请你根据小明所画的图形解决下列问题： （1）如图1，当与相切于点时，求长； （2）如图2，当与相切时， ①求的长； ②若点从点出发沿射线移动，连接，是的中点，则在点的移动过程中，直接写出点在内的路径长为______． 18. 为了了解某小学某年级500名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系式．由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120.请结合所给条件，回答下列问题． （1）求出a、b的值； （2）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少？ 19. 请用已学过的方法研究一类新函数y＝k|x﹣b|（k，b为常数，且k≠0）的图象和性质： （1）完成表格，并在给出的平面直角坐标系中画出函数y＝|x﹣2|的图象； x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 6 y 4 2 1 0 1 2 4 （2）点（m，y1），（m＋2，y2）在函数y＝|x﹣2|的图象上． ①若y1＝y2，则m的值为 ； ②若y1＜y2，则m的取值范围是 ； （3）结合函数图像，写出该函数的一条性质． 20. 一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示． （1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离； （2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？ 21. 如图所示，在平面上有一半径为1 cm的圆定点A，OA=4cm．以点A为旋转中心，使圆O分别顺时针旋转90°，逆时针旋转60°，得到圆B和圆C，作出这两个圆. (1)试问圆B或圆C的圆心与圆O的圆心O的距离是多少? (2)试问圆B和圆C的圆心的距离是多少? 22. 如图1，在平面直角坐标系xOy中，，，C为y轴正半轴上一点，且． （1）求∠OBC的度数； （2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中： 若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值； 若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系． 23. 如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，． （1）将绕着点逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标； （2）画出关于原点对称； （3）在x轴上找一点，使的值最小，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$