精品解析：江苏省镇江第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

2025年江苏省镇江第一中学高二 （上）数学期末考试 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分． 1. 椭圆的短轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程求出b，即可求解. 【详解】因为椭圆，所以，即， 所以椭圆的短轴长为， 故选：B 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得，解出来并检验即可. 【详解】由题意得，，解得，当时，两直线均为（重合），经检验满足题意. 故选：B. 3. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D. 考点：抛物线的标准方程及其几何性质. 4. 设为等差数列前n项和，若，则( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式即可求解. 【详解】依题意为等差数列前n项和，若， 解得，所以. 故选：C. 5. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，求出切线斜率，再根据同角三角函数的基本关系可求出，，从而根据二倍角公式求得结果. 【详解】根据已知条件，，因为曲线在处的切线的倾斜角为， 所以， 所以.因为，， 则解得，， 故. 故选：B. 6. 已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则（ ） A. 24 B. 16 C. 8 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】由，的关系即可求解； 【详解】由条件可知：, 故选：B 7. 已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 8. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线性质可得四边形为矩形，然后结合双曲线的定义及的勾股定理可得，，再由的勾股定理即可求得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、，如图所示， 又因为，所以， 所以四边形为矩形，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形， 所以，即，解得， 所以，， 又因为为直角三角形，， 所以，即， 所以，即. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列{an}的前n项和为，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 数列 {an}是递减数列 C. 数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D. 满足的最大正整数n=22 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可判断，对于B由求出即可判断，对于C由即可求出最小值，即可判断，对于D由求出即可判断. 【详解】由有，当时，，所以，故A正确 当时，，所以，当，所以为递增数列，；故B错误； 由可知二次函数开口向上，当时，函数取最小值，由 因为，所以的最小值为，故C错误； 由有，所以最大正整数为，故D正确， 故选：AD. 10. 若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（ ） A. 点 的轨迹所围成区域的面积为 B. 面积的最大值为24 C. 点到直线距离的最大值为9 D. 若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确. 【详解】设，由得：， ，整理可得：， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确； 对于B，，若的面积取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大， 点到直线的距离的最大值为， 面积的最大值为，B错； 对于C，圆心到直线的距离， 即直线和圆相离， 点到直线距离的最大值为，C正确； 对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，， 解得：，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 11. 如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 （称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距，则（ ） A. 椭圆C的中心在直线O₁O₂上 B. C. 椭圆C上存在不同的四个点M ，使得 D. 椭圆C的离心率为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的几何体，作出轴截面，结合圆的切线性质及勾股定理求出椭圆长轴和焦距作答. 【详解】依题意，截面椭圆的长轴与圆锥的轴相交，椭圆长轴所在直线与圆锥的轴确定的平面截此组合体，得圆锥的轴截面及球，球的截面大圆，如图， 点分别为圆与圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线段是椭圆长轴， 可知椭圆C的中心（即线段的中点）不在直线上，故A错误； 椭圆长轴长， 过作于D，连，显然四边形为矩形， 又， 则， 过作交延长线于C，显然四边形为矩形， 椭圆焦距，故B正确； 所以， 以为直径作球，即该球的半径为，因为， 所以该球与椭圆有四个交点，根据直径对的圆周角为直角，可知椭圆C上存在不同的四个点M ，使得，故C正确； 所以椭圆的离心率，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分． 12. 若双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用,得到的关系式,然后代入双曲线的渐近线方程即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为, 所以,即, 因为双曲线的渐近线方程为, 所以双曲线渐近线方程为. 故答案为: 【点睛】本题考查双曲线的几何性质;考查运算求解能力;熟练掌握双曲线的几何性质是求解本题的关键;属于基础题. 13. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 14. 若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设出过对称点直线的方程，直曲联立表示出韦达定理，得到的中点为，代入已知直线方程得到用表示的判别式，再结合二次函数和分式不等式求解即可； 【详解】由题意可知，设抛物线 上存在关于直线对称的点为，直线的方程为， 联立，消去可得， ， 设的中点为，则，， 因为点在直线上，所以， 解得， 将代入判别式可得，化简可得， 由二次函数的关系可得恒成立， 所以上式等价于，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用对称关系得到直线，再利用中点坐标公式得到关系. 四、解答题：本题共 5 小题，共77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【小问1详解】 函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 【小问2详解】 设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设得，结合等比数列定义即可得证； （2）由（1）求出数列的通项公式，再由等差、等比数列前n项和公式即可计算得解. 【小问1详解】 由得，， 所以数列为首项为1，公比为3的等比数列. 【小问2详解】 由（1）得，则， . 17. 已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． （1）求抛物线E的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的性质直接求出即可； （2）由重心坐标公式和中点坐标公式得到中点坐标为，再由点差法得到直线的斜率，然后求出直线方程验证即可； 【小问1详解】 由题意得， 抛物线方程为：. 【小问2详解】 设，由重心坐标公式得， 中点坐标为， 两式相减得， 方程：， 此时 直线的方程为. 18. 已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【小问1详解】 设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 【小问2详解】 ， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 19. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． （1）求椭圆M的方程； （2）证明直线BC的斜率为定值； （3）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据给定的点求出即得椭圆M的方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式化简计算得证. （3）利用（2）的信息，利用弦长公式及点到直线的距离求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 设椭圆M的右焦点，则，而，解得， 所以椭圆M的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，显然直线不过点，即， 由消去得，， 设，则， 由直线的倾斜角互补，得， 即， 整理得， 则， 整理得，因此， 所以直线BC的斜率为定值. 【小问3详解】 由（2）知，直线的方程为，， ，即，， ， 点到直线的距离，的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值是. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省镇江第一中学高二 （上）数学期末考试 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共40 分． 1. 椭圆的短轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 2. 若直线与直线平行，则实数a的值为（        ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 抛物线的焦点坐标是 A. B. C. D. 4. 设为等差数列前n项和，若，则( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 9 5. 曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等比数列{an}的前n项和为 Sn，且，则（ ） A. 24 B. 16 C. 8 D. 无法确定 7. 已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 已知双曲线右焦点为，过点的直线与双曲线的右支交于、两点，且，点关于原点的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列{an}前n项和为，则下列说法正确的是 （ ） A. B. 数列 {an}是递减数列 C. 数列{Sₙ}的最小项为S₂₂和S₂₃ D. 满足的最大正整数n=22 10. 若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（ ） A. 点 的轨迹所围成区域的面积为 B. 面积的最大值为24 C. 点到直线距离的最大值为9 D. 若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 11. 如图是数学家 Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥侧面得到的截口曲线是椭圆的模型 （称为“Dandelin双球”）．在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切，截面分别与球O₁，球O₂切于点E，F（E，F是截口椭圆C的焦点）．设图中球O₁，球O₂的半径分别为4和1，球心距，则（ ） A. 椭圆C的中心在直线O₁O₂上 B. C. 椭圆C上存在不同四个点M ，使得 D. 椭圆C的离心率为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共15 分． 12. 若双曲线离心率为，则双曲线的渐近线方程为______． 13. 曲线上的点到直线的最短距离是________． 14. 若抛物线 上存在关于直线对称的点，则实数k的取值范围是_____． 四、解答题：本题共 5 小题，共77 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 16. 在数列中， （1）证明：数列是等比数列． （2）求数列的前n项和． 17. 已知抛物线的焦点为 F，点F到抛物线准线距离为2． （1）求抛物线E的标准方程； （2）已知的三个顶点都在抛物线E上， 顶点重心恰好是抛物线E的焦点 F．求所在的直线方程． 18. 已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为 2，且点在椭圆M上．过点A作两条倾斜角互补的直线分别交椭圆M于B，C两点． （1）求椭圆M的方程； （2）证明直线BC的斜率为定值； （3）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$