1.1 向量 课件-2024-2025学年高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

湘教版数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 1.1 向量 首页外框字体为：方正呐喊体 另外使用：方正静蕾简体 1 章节引言 几何和代数是数学的两个重要组成部分.几何研究图形，直观形象易懂，但不易于计算.代数研究数的运算，有现成规则可以遵循，但容易陷入数的海洋而不易理解算式的实际意义，向量既可以画作几何图形，又可以进行代数运算，还可以通过坐标转化为数的运算，兼具几何与代数的优点.向量的出现将发挥沟通几何与代数的桥梁作用. 本章我们将从物理、几何、代数三个角度来学习平面向量及其运算的几何意义和代数意义，并尝试运用向量来刻画和解决现实生活、数学和物理中的一些问题. 问题引入 问题：物理上的速度、力、位移等和上面的量区别在哪里？ 我们已经学了很多量，并且知道这些量可用实数（带单位）来表示其大小，如质量、距离、面积等等. 在物理中，既有大小，又有方向，叫矢量. 新知学习 向量 既有大小又有方向的量，在数学中称为向量. 向量的表示 A B . . a b AB 几何表示 代数表示 向量的大小 向量 的大小，也就是向量 的长度，称为 的模，记作 . a a a | a | a b . . . O A B 起点在前，终点在后 辨析：若两个向量大小相同，则这两个向量相等. 两个向量相等⇔大小方向均相同 新知学习 相等向量 方向相同、长度相等的向量称为相等向量. 相反向量 零向量 A B C D AB DC = AD BC = AB BA 与 是相等向量吗？ 我们把长度相等、方向相反的向量 , 称为相反向量，记作 =- . a b a b 如果向量 的大小 ,就称 是零向量，记作 . a a 0 | a |=0 AA = 0 所有的零向量相等. 零向量方向为任意方向. 典例精析 练习巩固 1. 有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功. 其中，不是向量的个数是（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：质量、路程、功只有大小，没有方向，不是向量，而速度、力、加速度均是 既有大小又有方向的物理量.故选C. A. 也可以用表示 B. 方向是由M指向N C. 起点是M D. 终点是M 解析：由向量的几何表示知，A，B，C正确，D不正确.故选D. C 2. 已知向量 a 如图所示，下列说法不正确的是（　D　） D 练习巩固 3. 下列关于向量的说法中，正确的是（　C　） A. 长度相等的两向量必相等 B. 两向量相等，其长度不一定相等 C. 向量的大小与有向线段的起点无关 D. 向量的大小与有向线段的起点有关 解析：长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错误；两向量相等， 必有两向量的长度相等，故B错误；向量的大小与有向线段的起点无关，故C 正确，D错误. C 练习巩固 4. 如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 与 的关系是（　B　） A. ＝ B. ｜｜＝｜｜ C. ＞ D. ＜ 解析：｜ ｜与｜ ｜表示等腰梯形两腰的长度，故相等. B 5. 在△ ABC 中，点 D ， E 分别为边 AB ， AC 的中点，则如图所示的向量中，相等向量 有（　A　） A. 一组 B. 二组 C. 三组 D. 四组 解析：由相等向量的定义可知，题图中只有一组向量相等，即 ＝ . A 专项研习 研习1 向量的概念 [典例1]　（1）（多选）下列各量中不是向量的是（　ACD　） A. 时间 B. 加速度 C. 面积 D. 长度 （2）给出下列说法： ①零向量是没有方向的； ②零向量的长度为0； ③零向量的方向是任意的； ④由于0方向不确定，故0不能相等. 其中正确的是 .（填正确说法的序号） ACD ②③　 1. 判断一个量是否为向量的两个关键条件 关键看它是否具备向量的两要素： （1）有大小；（2）有方向. （两个条件缺一不可） 2. 理解零向量应注意的问题 零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等. 练习巩固 [练习1]　下列说法中正确的是（　D　） A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C. 向量的大小与方向有关 D. 向量的模可以比较大小 解析：不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即 为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数 量，可以比较大小，故D正确. D 专项研习 研习2 向量的表示 [典例2]　在如图的方格纸上，已知向量 a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以 B 为起点画一个向量 b ，使 b ＝ a ； （2）画一个以 C 为起点的向量 c ，使｜ c ｜＝ ，说出 c 的终点的轨迹是什么？并 作出轨迹. 答案解析 [解]　（1）根据相等向量的定义，所作向量 b 所在直线与 a 所在直线平行，且 长度相等方向相同，如图. （2）由平面几何知识可作满足条件的向量 c .所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 C 为圆心， 为半径的圆，如图所示. 练习巩固 一、选择题 1. 把平面上所有单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是 （　D　） A. 一条线段 B. 一段圆弧 C. 圆上一群孤立点 D. 一个单位圆 2. （多选）给出下列命题，正确的是（　AC　） A. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 B. 温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量 C. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 D. 坐标平面上的x轴与y轴都是向量 D AC 练习巩固 解析：A. 根据作用力与反作用力的概念 可知作用力与反作用力是一对共线向量；B. 温度只有大小没有方向，所以不是向 量；C. 如图可知，是共线向量；D. x 轴与 y 轴只有方向，没有大小，所以不是向量. 所以只有A、C正确. 练习巩固 3. 如图，在菱形 ABCD 中，∠ BAD ＝120°，则以下说法错误的是（　D　） A. 与相等的向量只有1个（不含） B. 与的模相等的向量有9个（不含） C. 的模恰好为的模的倍 D. 与不相等 解析：由于 ＝ ，因此与 相等的向量只有 ，而与 的模相等的向量 有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，因此选项A，B正确.而Rt△ AOD 中，∵∠ ADO ＝30°，∴｜ ｜＝ ｜ ｜，故｜ ｜＝ ｜ ｜， 因此选项C正确.由于 ＝ ，因此选项D错误，故选D. D 练习巩固 4. （多选）给出下列说法中正确的是（　BC　） A. 若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点 B. 在平行四边形ABCD中，一定有＝ C. 若a＝b，b＝c，则a＝c D. a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜ 解析： ＝ ， A ， B ， C ， D 四点可能在同一条直线上，故A不正确.在平行四 边形 ABCD 中，｜ ｜＝｜ ｜， 与 平行且方向相同，所以 ＝ ， 故B正确.若 a ＝ b ，则｜ a ｜＝｜ b ｜，且 a 与 b 方向相同；若 b ＝ c ，则｜ b ｜ ＝｜ c ｜，且 b 与 c 方向相同，则 a 与 c 长度相等且方向相同，所以 a ＝ c ，故C正 确.对于D，当 a ＝－ b 时，｜ a ｜＝｜ b ｜，得不到 a ＝ b ，故D不正确. BC 练习巩固 5. 如图所示，向量 ， ， 是（　C　） A. 有相同起点的向量 B. 相反向量 C. 模相等的向量 D. 相等的向量 解析：由题图可知，三向量方向不同，但长度相等.即这三个向量的模相等. C 课堂小结 布置作业 练习册对应章节 $$