6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 题型一：正交分解的理解 【例1】设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【答案】． 【详解】因为， 又，所以． 因此在基下的坐标为． 【例2】如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 【答案】答案见解析 【详解】， ， ， . 【变式1-1】已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 【答案】， 【详解】由题图知，轴，轴． ∵，，∴， ∴． ∵， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查平面向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量坐标的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则，． 故． 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标的计算和向量的模，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【变式1-3】下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 【答案】C 【详解】选项A中，与的夹角为60°； 选项B中，与的夹角为锐角； 选项D中，与的夹角为锐角或钝角.故选项都不符合题意. 选项C中，与的夹角为90°，故选项C符合题意. 故选：C 【点睛】本题考查基底的概念与判断，是基础题 题型二： 用坐标表示平面向量 【例3】如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【答案】答案见解析 【详解】由图形可知，，，， 它们的坐标表示为，，. 【例4】已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 因此与同方向的单位向量为， 故选：A 【变式2-1】在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】向量对应的坐标为， ，， 所以向量对应的坐标位于第二象限. 故选：B. 【变式2-2】已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【答案】，、，证明见解析 【详解】因为、、， 所以，，， 因为，所以，又直线与直线有公共点， 所以、、三点共线. 【变式2-3】如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 【答案】(1)，. (2)， 【详解】（1）因为 所以， . （2）设，因为M为中点，、， 所以，所以. 设，则， 由得， 即所以即. 题型三：平面向量有关概念的坐标表示 【例5】已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为 ． 【答案】 【详解】由题意， 所以与x轴夹角正弦值为，故， 所以由题意与x轴夹角为， 又， 所以. 故答案为：. 【例6】下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 【变式3-1】已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题，则与同向的单位向量是，对应坐标是. 故选：A． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 【答案】 ； 【详解】设点，， ∵，且， ∴，. ∵，， ∴，. 故，. 故答案为：； 【变式3-3】（多选）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 【答案】ABC 【详解】由题意，向量与终点、始点的坐标差有关， 所以点的坐标不一定是，故A错误； 同理点的坐标不一定是，故B错误； 当是原点时，点的坐标是，故C错误； 当是原点时，点的坐标是，故D正确. 故选：ABC 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示 题型一：正交分解的理解 【例1】设为一组标准正交基，已知，，．若，求在基下的坐标． 【例2】如图，分别用基底表示向量，并求出它们的坐标 【变式1-1】已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，是x轴上的单位向量,是y轴上的单位向量，试求和的坐标． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列可作为正交分解的基底的是 A．等边三角形中的和 B．锐角三角形中的和 C．以角A为直角的直角三角形中的和 D．钝角三角形中的和 题型二： 用坐标表示平面向量 【例3】如图，取与轴，轴同向的两个单位向量，作为基底，分别用，表示，，，并求出它们的坐标． 【例4】已知点，则与同方向的单位向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，设（其中），则向量对应的坐标位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】已知平面上、、三点的坐标分别为、、，求、、的坐标，并证明、、三点共线． 【变式2-3】如图，在平行四边形中，已知、、，其对角线交点为M.求： (1)向量与的坐标； (2)点D与M的坐标. 题型三：平面向量有关概念的坐标表示 【例5】已知平面直角坐标系中，O是坐标原点，，将绕O点逆时针旋转弧度得到，则点B的坐标为 ． 【例6】下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-1】已知，则与同向的单位向量的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】在平面直角坐标系中，向量，的方向如图所示，且，，则 ， . 【变式3-3】（多选）已知，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标是 B．点的坐标是 C．当是原点时，点的坐标是 D．当是原点时，点的坐标是 2 学科网（北京）股份有限公司 $$