6.3.1平面向量基本定理-2024-2025学年高一数学同步题型训练人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.1平面向量基本定理 题型一：基底的概念及辨析 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：， 所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误； 对于：设存在唯一的实数使， 则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确. 故选：. 【例2】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得， 对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基底； 对于B中，向量，假设存在实数，使得， 可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底； 对于C中，向量和，假设存在实数，使得， 可得解得，所以和不可以作为基底； 对于D中，向量和，假设存在实数，使得， 可得此时方程组无解，所以和可以作为基底. 故选：C 【变式1-1】（多选）已知非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．与向量共线的单位向量是 C．若，则或 D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底 【答案】ABD 【详解】对于A，非零向量，，，由，，则存在非零实数和，使得，，即，所以，故A正确； 对于B，与向量共线的单位向量是，故B正确； 对于C，若，只有与共线时，才有或，故C错误； 对于D，，是平面的一组基底，则，不共线， 假设向量，共线，则存在实数，使得， 即，显然，不同时为0，于是，共线，与，不共线矛盾，即假设不成立， 因此向量，不共线，即，也能作为该平面的一组基底，故D正确； 故选：ABD 【变式1-2】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底； ③不共线可以做基底，④不可以做基底； 故所在平面所有向量的基的是①③. 故选：B. 【变式1-3】下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 【答案】②③ 【详解】一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基,①错误；②正确； 可以作为基底的向量需要是不共线的向量，零向量不可为基中的向量.③正确； 故答案为：②③. 题型二：用基底表示向量 【例3】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【答案】 【详解】设，因为，，， 所以， 又A，P，N三点共线，B，P，M三点共线，所以， 解得，所以. 故答案为：. 【例4】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意在平行四边形中，， 又是的中点，则， 又与交于点， 所以，则， 所以， 又， 所以 故选：A. 【变式2-1】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，即. 故选：D. 【变式2-2】如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【详解】在中，由为中点，得， 所以. 故选：C 【变式2-3】如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    【答案】 【详解】连接，显然在上，且， 故， 又，故.    故答案为： 题型三：平面向量基本定理的应用 【例5】已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则 ． 【答案】 【详解】如下图所示：    因为为的中点，， 因为，，三点共线，可得， 解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 ． 故答案为： 【例6】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【详解】 如图，延长交于点，因点是的重心， 则，① 因三点共线，则，使， 因，，代入得，，② 由①，②联立，可得，，消去即得，， 则， 当且仅当时等号成立， 即时，取得最小值，为. 故选：C. 【变式3-1】在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. (1)若，，，求与的夹角. (2)若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 【答案】(1) (2)①   ②四边形为梯形，理由见解析 【详解】（1），， 即，则，； （2）①，， ， ，，与夹角余弦值为； ②， ，且， 四边形为梯形. 【变式3-2】如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）； （2），且，即， 所以， 又因为，所以； （3）若点为的重心，则， 又因为， 若，，三点共线，则使得， 可得，解得， 所以存在，使得，，三点共线. 【变式3-3】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知，所以， 故选：C 题型四：利用平面向量基本定理求参数 【例7】已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由与交于点，得共线，共线， 设， 则， 又，由共线，得，使得，    即，又不共线，，解得， ，， 所以. （2）由（1）知， 则，而， 所以 . 【例8】（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【答案】ACD 【详解】 因为，则，又，，共线，所以，A正确； 由，则，则，当且仅当时取等号，B错误； 由，当时有最小值，C正确； 因为， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ACD 【变式4-1】如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 【变式4-2】已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 【答案】D 【详解】向量不共线，且， 则有解得所以． 故选：D． 【变式4-3】已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若与共线，则设， 因为向量与能作为平面向量的一组基底， 所以，所以，解得. 故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 6.3.1平面向量基本定理 题型一：基底的概念及辨析 【例1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）已知非零向量，，，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．与向量共线的单位向量是 C．若，则或 D．若，是平面的一组基底，则，也能作为该平面的一组基底 【变式1-2】设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 【变式1-3】下面三种说法：①一个平面内只有一对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面所有向量的基；③零向量不可为基中的向量.其中正确的说法是 .（填序号） 题型二：用基底表示向量 【例3】如图，△ABO中，已知，，，，则用向量，表示＝ ． 【例4】如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（     ）    A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，是的中点，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【变式2-2】如图，在中，已知为中点，则（    ） A． B． C． D．7 【变式2-3】如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则 ； ．    题型三：平面向量基本定理的应用 【例5】已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则 ． 【例6】如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．3 【变式3-1】在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点（，），设，. (1)若，，，求与的夹角. (2)若 ①与夹角余弦值； ②判断四边形的形状，并说明理由. 【变式3-2】如图，在直角梯形中，，，，，，为的中点，点满足，. (1)用与表示； (2)求的取值范围； (3)若点为的重心，是否存在，使得，，三点共线？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-3】向量，，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型四：利用平面向量基本定理求参数 【例7】已知是边长为2的等边三角形，分别是上的点，且与交于点. (1)若，求与的值； (2)求. 【例8】（多选）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是9 【变式4-1】如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【变式4-2】已知向量不共线，且，则的值等于（    ） A．3 B． C．0 D．2 【变式4-3】已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$