精品解析：广西河池市2024-2025学年高二上学期期末教学质量检测数学试卷

2024-2025学年广西河池市高二上学期期末教学质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 3. 已知向量，，若与共线，则实数x的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 31 B. 45 C. 57 D. 63 5. 在等差数列中，，等比数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3 6. 直线与直线垂直，则a的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 7. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 10. 数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 11. 抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点其中在轴上方，且，若将三角形沿折起来，使其与三角形垂直，则（ ） A. B. 直线的方程为 C. 翻折后，异面直线所成角的余弦值为 D. 翻折后，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为__________. 13. 数列的前项和为，若，则__________. 14. 人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形三顶点，，，求： （1）直线AB的一般式方程; （2）边上的高所在直线的一般式方程. 16. 已知等差数列满足，，等比数列满足， （1）求数列，的通项公式; （2）设数列满足，求数列的前n项和 17. 如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， （1）试用向量，，表示向量 （2）若，求的值. 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 . （1）求证: 平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值. 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 （1）求曲线C的方程; （2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广西河池市高二上学期期末教学质量检测数学试题❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由标准方程可确定焦点位置和焦点横坐标，从而得到结果. 【详解】由抛物线方程知其焦点在轴上且，其焦点坐标为. 故选：C. 2. 已知数列1，1，2，3，5，8，13，则这个数列第九项是（ ） A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的递推公式即可得解. 【详解】解：显然是斐波那契数列， 所以， 则， 故选：B. 3. 已知向量，，若与共线，则实数x的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理即可求得. 【详解】解：由题设，有，， 则，可得 故选：. 4. 已知数列满足，，则（ ） A. 31 B. 45 C. 57 D. 63 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推公式，分别求得前五项，可得答案. 【详解】因为，且， 所以，，，， . 故选：C. 5. 在等差数列中，，等比数列满足，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质有，即可求出，再由等比数列的性质有即可求解. 【详解】由等差数列下标和性质知，， 则由等比数列下标和性质可知， 故选：A. 6. 直线与直线垂直，则a的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直直线的计算公式，可得答案. 【详解】由于两条直线垂直，所以，解得 故选：D. 7. 若空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量求解公式进行计算，得到答案. 【详解】由于空间向量，， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和且，，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出辅助线，设，利用双曲线定义表达出其他边，在中，由余弦定理得到方程，求出，再在中，由余弦定理得到方程，求出，求出离心率. 【详解】由题意知延长 则必过点 ， ， 设， 则，， 由双曲线的定义可得 ，， 由可得， 在中，由余弦定理 可得， 在中，由余弦定理 可得 解得：， 则， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. 圆心的坐标为 B. 圆的半径为 C. 圆心到直线的距离为 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，即可直接得到圆心和半径，判断选项AB，利用点到直线的距离公式和弦长公式即可直接判断选项CD. 【详解】对于AB，圆：的圆心为，半径， 故A错误，B正确； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 10. 数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递减数列 B. 数列是等差数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】将式子两边同时取倒数，得到，再构造数列为等比数列，即可判断正确，再根据等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式，即可判断正确，错误. 【详解】，根据递推公式可得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，故正确； ， 即，随着的增大减小，故正确， ，故数列不是等差数列，即错误； ，故错误. 故选：. 11. 抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点其中在轴上方，且，若将三角形沿折起来，使其与三角形垂直，则（ ） A. B. 直线的方程为 C. 翻折后，异面直线所成角的余弦值为 D. 翻折后，三棱锥的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据准线方程即可求解即可判断A，根据焦半径公式可得，即可根据点斜式求解直线方程求解B，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解C，利用体积公式求解D. 【详解】准线方程为，所以，即，且抛物线C的方程为，选项A正确; 设，，，所以， 易求，直线过、，故直线的方程，即，选项B错误; 联立与求得 翻折后，如图建立空间直角坐标系， ，，，， ，， ，选项C正确; 三棱锥的体积为，D选项正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将圆和圆作差即可得两圆公共弦所在直线的方程. 【详解】圆：和圆， 两圆作差相减，得直线方程为，经检验，直线方程满足题意； 故答案为：. 13. 数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】运用裂项相消法求解即可. 因为， 所以. 故答案为：. 14. 人教A版选择性必修第一册108页例题2涉及到的圆的压缩与拉伸其实是一种仿射变换，又称仿射映射.同理，椭圆经过，变换后可变为平面内的单位圆此时椭圆内接四边形面积S与仿射后的面积的关系为.已知椭圆的右端点与上顶点分别为A和B，过原点的直线与椭圆交于C，D两点，则四边形ACBD面积最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：由题意，进行仿射变换，将问题转化为在圆中处理，即可求解. 解法二：设，，联立方程组求出，，求得直线AB方程，进而求得到直线AB的距离，进而可得四边形的面积为，计算可求最大值. 【详解】解法一：令，，则椭圆变为 直线方程变为，, 则，，设的夹角为， 所以四边形的面积， 当且仅当时，等号成立， 所以. 解法二：设，， 联立和消去y得， 所以若，则， 又，，所以直线AB方程：， 点C，D到AB的距离分别为，， ，， 所以，而， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用斜率表示四边形的面积，再根据解析式，利用基本不等式求得面积的最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知三角形三顶点，，，求： （1）直线AB的一般式方程; （2）边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两点式写出直线的方程，化为一般式即可； （2）根据垂直和直线AB的斜率，得到边上的高所在直线的斜率，点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【小问1详解】 ，， 直线AB的方程为， 化简得； 【小问2详解】 直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 16. 已知等差数列满足，，等比数列满足， （1）求数列，的通项公式; （2）设数列满足，求数列的前n项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的基本量的运算求解即可； （2）根据等差、等比数列的求和公式及分组求和的方法得解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为 由，，可得，解得， 则 由，， 故是首项为3，公比为3的等比数列， 则 【小问2详解】 由（1）得， 17. 如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， （1）试用向量，，表示向量 （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，进而有，又因为代入即可； （2）由得，，在正四面体中有，，所以即可计算. 【小问1详解】 因为点D为BC的中点， 所以， 因为，所以， 所以，， 所以； 【小问2详解】 由得， ， 由正四面体OABC可知，， 所以 18. 如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 . （1）求证: 平面； （2）求平面与平面所成夹角的正弦值. 【答案】（1） 因平面，且,故可以点为坐标原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示). 则. 于是，, 设平面的法向量为， 则，令，可得； 又，显然，，故得平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得； （2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）建系，则， 设平面的法向量为， 则，令，可得. 设平面与平面所成夹角为， 因， 则. 即平面与平面所成夹角的正弦值为 19. 如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线 （1）求曲线C的方程; （2）设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、 （i）求证：为定值; （ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2） 设，，， 由题可知，，如下图所示， 则，， 而，于是， 所以， 又，则， 因此为定值； 由题意可知，直线PQ不可能与轴平行， 设直线PQ的方程为，，，易知 由，得， ，得 所以 由可知，， 即， 将代入化简得，解得或舍去， 所以直线PQ的方程为， 因此直线PQ经过定点 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义，可以判断出动点N的轨迹为椭圆，利用椭圆的定义求，从而求得轨迹方程. （2）（i）设，，，将、分别用含式子表示，然后利用消去，最后即可得出定值； （ii）令直线PQ的方程为，与椭圆方程联立，应用韦达定理，借助（i）的结论，得到关于的方程，解方程即可求得的值，即定点坐标. 【小问1详解】 由题意可知，， 由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆， 且长轴长，焦距， 所以， 因此曲线C方程为 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $