精品解析：广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合，利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为，全集， 故. 故选：C. 2. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，列出关于p的式子，即可求得结果. 【详解】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2. 故选：B 3. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】将这组数据从小到大排列为. 因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故选：D. 4. 已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离，然后列方程得到，最后判断充分性和必要性即可. 【详解】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1， 则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数，再根据正弦型函数的周期性、对称性、单调性逐项判断即可得结论. 【详解】因为，则的最小正周期，故A错误； 因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误； 令，解得， 则的单调递减区间为，故C正确； 令，得， 设，，则或， 解得或，所以，故D错误. 故选：C. 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 7. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】， ，即， ，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最小值为. 故选：B. 8. 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率得到，然后根据得到为等边三角形，即可得到，根据双曲线的对称性得到，最后利用双曲线的定义列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 如图，因为直线的斜率为，所以. 因为，所以，所以为等边三角形，，所以. 设双曲线的右焦点为，连接. 由对称性可知. 由双曲线的定义可得，即，则. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据直线的斜率得到特殊角，从而利用特殊角得到边长的关系，最后利用双曲线的定义列等式求离心率. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z的实部是 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法法则计算得到，然后计算模；B选项，根据实部的定义判断；C选项，根据共轭复数的定义和减法法则计算；D选项，根据复数的几何意义判断. 【详解】由题意可得， 则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 10. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题可得有唯一零点1，然后由“零点相邻函数”定义可得存在，使，且为零点.据此令，则值域即为a范围，由此可判断选项正误. 【详解】定义域为，， 则在上单调递增，注意到，则有唯一零点1. 定义域为R，由“零点相邻函数”定义， 存在，使，且为零点. 若，，这显然不可能. 则，. 令，. 令，， 则在上单调递增，在上单调递减，从而， 且当时，， 故时，可满足题意.则选项ABC满足题意. 故选：ABC 11. 如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的母线长为12 B. 圆锥SO的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D. 在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的体积即可. 【详解】 如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：D选项的解题关键在于得到当正方体为圆锥内切球的内接正方体时，正方体的体积最大，然后通过计算内切球的半径求正方体的体积. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出，依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，解得即可. 【详解】因为，，所以， 又， 所以，解得. 故答案为： 13. 现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出6根小棒中随机抽出3根的情况有种不同的情况，再求出构成三角形的情况有7种，即可求得结果. 【详解】从这6根小棒中随机抽出3根，共有种不同的情况，其中能构成三角形的情况有 共7种，故所求概率为. 故答案为： 14. 已知函数的最小值是，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先设，利用导数分析函数的单调性，求函数的最小值，根据已知的最小值求参数. 【详解】由题意可得. 设，则，所以是偶函数. 当时，. 设，则恒成立， 所以在上单调递增，所以，所以， 所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减， 所以， 由. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前 项和. 【答案】（1）证明：因为，所以， 所以. 因为，所以，所以数列是首项和公差均为1的等差数列. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义即可证明. （2）由（1）的结论与等差数列通项公式即可得到结果. （3）利用分组求和与等差等比前n项和公式即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可得， 则，故. 【小问3详解】 解：由（2）可得， 则 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）当时，先求确定切点，再求确定切线斜率，利用直线方程的点斜式可得切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数的符号，可得函数的单调区间. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 17. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：取棱 的中点O，连接， 设，则，， 因为是等边三角形，且O是 的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面 ，平面 ，且， 所以平面 . 因为平面，所以平面平面 . （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）取棱 的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面 ，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，，，则，， 设，则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为 ， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率； （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3） X 2 4 5 6 P 【解析】 【分析】（1）分析小明两次获奖的情况有两种求得到结果； （2）根据题意分程序运行2次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖，共有五种情况求和计算求解； （3）根据，结合（1）（2）问分析，得到多种情况，分别求出概率得出X的分布列，再求数学期望. 【小问1详解】 程序运行2次小明获奖的情况有，这两种， 其概率. 【小问2详解】 当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖. 程序运行4次，小明获奖的情况有，，，，这五种， 其概率， 故当时，小明获奖的概率. 【小问3详解】 当时，的所有可能取值为2，4，5，6. 由（1）可知，由（2）可知， 当时，包含，，，这四种情况， 其概率， . 故X的分布列为 X 2 4 5 6 P 故. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）. ①当直线的斜率不存在时，求的面积； ②证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）①； ②证明：如图， AI 设直线的方程为，，，，， 则直线的方程为. 联立，整理得. 因为，所以， 则，所以，所以. 同理可得，.. 设直线的斜率为， 则 ， 则直线的方程为. 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，得. 故直线过定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和定义，可求的值，得椭圆的标准方程. （2）①求，点坐标，可求的面积. ②直线的方程为，用表示出直线的方程，结合椭圆的性质，求直线与轴的焦点，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 将的方程，得，解得. 不妨设，由椭圆的性质可得，则直线的方程为. 联立，整理得， 则，所以， 则，即. 同理可得. 故. ②略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中，直线过定点的问题，可以有以下方法： （1）结合圆锥曲线的对称性，初步判断直线所过定点的位置，再确定点的坐标. （2）把直线写成点斜式，可得定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 4. 已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与x轴的两个交点A，B之间的最小距离是 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 7. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则（ ） A. B. z的实部是 C. D. 复数z在复平面内对应的点位于第四象限 10. 若m，n分别是函数，的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则a的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥SO的母线长为12 B. 圆锥SO的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D. 在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则___________. 13. 现有6根小棒，其长度分别为1，2，3，4，5，6，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是___________. 14. 已知函数的最小值是，则___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前 项和. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 17. 如图，在四棱锥 中，是等边三角形，四边形 是直角梯形，，，，. （1）证明：平面平面 . （2）线段上是否存在点E，使得直线 与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点A，B，C，D，E处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点A处的灯亮起，程序运行次数的上限为（，），然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与A相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第n次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点A处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行n次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点A处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率； （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时程序运行的次数为X，求X的分布列与期望. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）. ①当直线的斜率不存在时，求的面积； ②证明：直线 过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $