精品解析：广东省部分学校2025届高三下学期2月开学考试数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（ ） A 83 B. 84 C. 87 D. 88 4. 已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与轴的两个交点之间的最小距离是 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 7. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的实部是 C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 10. 若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，圆锥底面圆的圆心为是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为12 B. 圆锥表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是 D. 在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 13. 现有6根小棒，其长度分别为，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是__________. 14. 已知函数的最小值是，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求通项公式. （3）若，求数列的前项和. 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，. （1）证明：平面平面. （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 18. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点处的灯亮起，程序运行次数的上限为，然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率： （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时序运行的次数为，求的分布列与期望. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）. ①当直线的斜率不存在时，求的面积； ②证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算集合A，再应用补集定义运算即可. 【详解】由题意可得， 又，则. 故选：C. 2. 抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，列出关于p的式子，即可求得结果. 【详解】由题意可得，解得，则焦点F到坐标原点O的距离是2. 故选：B 3. 产品质量指数是衡量产品质量水平的综合指标.某厂质检员从一批产品中随机抽取10件，测量它们的产品质量指数，得到的数据分别为，则这组数据的第70百分位数是（ ） A. 83 B. 84 C. 87 D. 88 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义计算. 【详解】将这组数据从小到大排列为. 因为，所以这组数据的第70百分位数是. 故选：D. 4. 已知直线与圆，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离，然后列方程得到，最后判断充分性和必要性即可. 【详解】由圆上恰有3个点到直线的距离为1得到圆心到直线的距离为1， 则，解得，则“”是“圆上恰有3个点到直线的距离为1”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 若函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称 C. 的单调递减区间为 D. 的图象与轴的两个交点之间的最小距离是 【答案】C 【解析】 【分析】先将函数运用二倍角和辅助角公式变形为，再运用周期公式，对称轴性质，整体代入法，零点知识分别计算判定即可. 【详解】由题意可得，则的最小正周期，故A错误. 因为不是最值，所以的图象不关于直线对称.故B错误. 令，解得， 则的单调递减区间为，故C正确. 令，得.设， 则或， 解得或，所以，故D错误. 故选：C. 6. 在正四棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱台的表面积是（ ） A. 36 B. 40 C. 52 D. 56 【答案】D 【解析】 【分析】过点作，垂足为H，则.结合条件“侧棱与底面所成角的余弦值为”，求出，还有高，进而求出表面积. 【详解】过点作，垂足为H，则. 因为侧棱与底面所成角的余弦值为，所以，所以， 则梯形的高， 故该正四棱台的表面积是. 故选： D. 7. 设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知条件化简可求得的值，再利用三角形面积的关系列出关于的等式，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】， ，即， ，，， 为的平分线且与BC交于点，， ，即， 又，解得，当且仅当时等号成立， 的面积， 的面积的最小值为. 故选：B. 8. 已知直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率得到，然后根据得到为等边三角形，即可得到，根据双曲线的对称性得到，最后利用双曲线的定义列等式，整理即可得到离心率. 【详解】 如图，因为直线的斜率为，所以. 因为，所以，所以为等边三角形，，所以. 设双曲线的右焦点为，连接. 由对称性可知. 由双曲线的定义可得，即，则. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据直线的斜率得到特殊角，从而利用特殊角得到边长的关系，最后利用双曲线的定义列等式求离心率. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. B. 的实部是 C. D. 复数在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，根据复数的除法法则计算得到，然后计算模；B选项，根据实部的定义判断；C选项，根据共轭复数的定义和减法法则计算；D选项，根据复数的几何意义判断. 详解】由题意可得， 则的实部是，复数在复平面内对应的点为，位于第一象限， 故A，C正确，B，D错误. 故选：AC. 10. 若、分别是函数、的零点，且，则称与互为“零点相邻函数”.已知与互为“零点相邻函数”，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出函数的零点为，根据题中定义额可得出函数的零点为，令，可知，直线与函数在上的图象有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 则对任意的恒成立， 所以，函数是上的增函数，且，则. 因为与互为“零点相邻函数”，所以，即，解得. 因为，所以0，所以在上有解， 即在上有解. 设，则. 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，函数的极小值为，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有公共点， 所以，，即实数的取值范围是. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 11. 如图，圆锥底面圆的圆心为是圆的一条直径，与底面所成角的正弦值为是母线的中点，是母线上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的母线长为12 B. 圆锥的表面积为 C. 一只蚂蚁沿圆锥的侧面上的曲线从点爬到点处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥的顶点的最短距离是 D. 在圆锥内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的面积即可. 【详解】 如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以，所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，，则圆锥的侧面积为，所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，，由余弦定理可得，则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为，由题意可知，则，所以.因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故答案为：BCD. 【点睛】关键点睛：D选项的解题关键在于得到当正方体为圆锥内切球的内接正方体时，正方体的体积最大，然后通过计算内切球的半径求正方体的体积. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示列式计算得解. 【详解】依题意，，则，所以. 故答案为： 13. 现有6根小棒，其长度分别为，从这6根小棒中随机抽出3根首尾相接（不能折断小棒），则能构成三角形的概率是__________. 【答案】##0.35 【解析】 【分析】利用古典概型求概率的方法计算. 【详解】从这6根小棒中随机抽出3根，共有种不同的情况，其中能构成三角形的情况有 ，共7种，故所求概率. 故答案为：. 14. 已知函数的最小值是，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造，根据奇偶性的定义得到是偶函数，然后求导分析在上的单调性，最后根据单调性和奇偶性求最值即可. 【详解】由题意可得. 设，易证是偶函数. 当时，. 设，则恒成立，所以在上单调递增. 所以，所以，所以在上单调递增. 因为是偶函数，所以在上单调递减，所以，即，解得. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于构造函数，然后利用奇偶性和单调性求的最值即可得到的最值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，. （1）证明：数列是等差数列. （2）求的通项公式. （3）若，求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知得，再由等差数列的定义可得答案； （2）由（1）求出可得答案； （3）由（2）利用分组求和可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 所以. 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为1的等差数列； 【小问2详解】 由（1）可得， 则， 故； 【小问3详解】 由（2）可得， 则 . 16. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线斜率，再结合切点，利用点斜式写出切线方程. （2）求导，分，，讨论导函数符号，可得函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. 【小问2详解】 由题意可得. 当，即时.由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 17. 如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，. （1）证明：平面平面. （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，然后利用面面垂直的判定定理证明； （2）设，建立空间直角坐标系，然后根据直线与平面所成的角的正弦值列方程，解得即可. 【小问1详解】 证明：取棱的中点，连接. 设，则. 因为是等边三角形，且是的中点，所以. 因为，所以，所以， 则. 因为平面平面，且，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 解：取棱的中点，连接，则两两垂直， 以为原点，的方同分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设.则， 则. 设，则，又， 所以 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某商场推出了购物抽奖活动，活动规则如下：如图，在点处各安装了一盏灯，每次只有一处的灯亮起.初始状态是点处的灯亮起，程序运行次数的上限为，然后按下开始按扭，程序开始运行，第1次是与相邻点处的其中一盏灯随机亮起，第次是与第次灯亮处相邻点的其中一盏灯随机亮起.若在运行过程中，点处的灯再次亮起，则游戏结束，否则运行次后游戏自动结束.在程序运行过程中，若点处的灯再次亮起，则顾客获奖.已知顾客小明参与了该购物抽奖活动. （1）求程序运行2次小明获奖的概率： （2）若，求小明获奖的概率； （3）若，记游戏结束时序运行的次数为，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）分析小明两次获奖的情况有两种求解； （2）根据题意分程序运行2次，小明获奖，程序运行4次，小明获奖，共有五种情况求和计算求解； （3）根据，结合（1）（2）问分析，得到多种情况，分别求出概率得出的分布列，再求数学期望. 【小问1详解】 程序运行2次小明获奖的情况有这两种， 其概率. 【小问2详解】 当时，小明获奖的情况如下：程序运行2次，小明获奖；程序运行4次，小明获奖. 程序运行4次，小明获奖情况有这五种， 其概率， 故当时，小明获奖的概率. 【小问3详解】 当时，的所有可能取值为. 由（1）可知，由（2）可知， 当时，包含，这四种情况， 其概率， . 故的分布列为 2 4 5 6 故. 19. 已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别是是椭圆上一点，且. （1）求椭圆的标准方程. （2）过点的直线与椭圆交于两点（异于顶点），直线分别交椭圆于两点（异于）. ①当直线的斜率不存在时，求的面积； ②证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和定义，可求的值，得椭圆的标准方程. （2）①求，点坐标，可求的面积. ②直线的方程为，用表示出直线的方程，结合椭圆的性质，求直线与轴的焦点，即可证明直线过定点. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 故椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为. 将的方程，得，解得. 不妨设，由椭圆的性质可得，则直线的方程为. 联立，整理得， 则，所以， 则，即. 同理可得. 故. ②如图： 设直线的方程为，，，，， 则直线的方程为. 联立，整理得. 因为，所以， 则，所以，所以. 同理可得，.. 设直线的斜率为， 则 ， 则直线的方程为. 由椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点必在轴上， 令，得. 故直线过定点. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中，直线过定点的问题，可以有以下方法： （1）结合圆锥曲线的对称性，初步判断直线所过定点的位置，再确定点的坐标. （2）把直线写成点斜式，可得定点坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$