第八章 实数（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版，辽宁专用）

第八章 实数 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 2．下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 4．下列说法中不正确的是（   ） A．10的平方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 5．有下列说法：①平方根等于它本身的数是0和1；②无理数都是无限小数；③2是的平方根；④的立方根等于4；⑤是一个分数；⑥两个无理数的和还是无理数．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 6．已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 7．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 8．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 9．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．把两个边长为1的小正方形按如图1所示的方式剪开，并将得到的4个三角形拼成一个大正方形，由此得到无理数，如图2，把图1中一个小正方形放置到数轴上，以表示2的点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．的绝对值是 ，的算术平方根是 ． 12．若，则 ． 13．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 14．对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 15．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 三、解答题 （共75分) 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 18．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 19．已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， (1)求m的值； (2)求的平方根． 20．阅读下面的文字并解答问题∶我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵ ，即， ∴的整数部分是，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)若的整数部分为，小数部分为，求的算术平方根． 21．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 22．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 23．综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第八章 实数 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：(共10题，每题3分，共30分。) 1．下列各式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根，立方根，平方根，熟练掌握求一个数的算术平方根、立方根、平方根是解题的关键． 根据求一个数的算术平方根计算并判定A、D；根据立方根一个数的立方要挟的相反数计算并判定B；根据求一个数的平方根计算并判定C． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，正确，故此选项符合题意； 故选：D． 2．下列各数中∶  ，，，，，，无理数有（    ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数即无限不循环小数，先求出的立方根，然后再一一判断即可． 【详解】解：， 则这些数中，无理数的有，，是无理数，共3个， 故选：B． 3．估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案. 【详解】∵， ∴． 故选：D． 4．下列说法中不正确的是（   ） A．10的平方根是 B．是4的一个平方根 C．的平方根是 D．0.01的算术平方根是0.1 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、10的平方根是，原说法正确，不符合题意； B、是4的一个平方根，原说法正确，不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，符合题意； D、0.01的算术平方根是0.1，原说法正确，不符合题意； 故选C． 5．有下列说法：①平方根等于它本身的数是0和1；②无理数都是无限小数；③2是的平方根；④的立方根等于4；⑤是一个分数；⑥两个无理数的和还是无理数．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查实数的分类，无理数，平方根和算术平方根，根据相关知识点．逐一进行判断即可． 【详解】解：①平方根等于它本身的数只是0，原说法错误； ②无理数都是无限小数，原说法正确； ③2是的平方根，说法正确； ④，8的立方根等于2，原说法错误； ⑤是无理数，原说法错误； ⑥两个无理数的和不一定是无理数，可能是有理数，如和，原说法错误． 综上，正确的结论有2个， 故选：A． 6．已知．若n为整数，且，则n的值为（   ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，由题目所给条件可知，得出，从而可得出答案． 【详解】解：∵ ． ∴， ∴， 即， ∴， 故选：C． 7．若一个自然数的算术平方根是，则它的下一个自然数的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，先根据算术平方根的定义，得出这个自然数是，则它的下一个自然数是，再根据算术平方根根的定义，即可解答． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是， ∴这个自然数是， ∴它的下一个自然数是， ∴它的下一个自然数的算术平方根是， 故选：C． 8．有一个“数值转换机”，其运算过程如图所示，当输入的的值为16时，输出的的值为（    ） A．4 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，理解“数值转换机”，根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：当时，是整数，不是无理数； 当时，是整数，不是无理数； 当时，是无理数， ∴输出的的值为， 故选：B． 9．对于实数P，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，．现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类似地，要想让2024变为2，需进行的操作次数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．仿照题目已知的例题即可解答． 【详解】解：由题意得： 2024， ∴对2024只需进行4次操作后变为2； 故选：B． 10．把两个边长为1的小正方形按如图1所示的方式剪开，并将得到的4个三角形拼成一个大正方形，由此得到无理数，如图2，把图1中一个小正方形放置到数轴上，以表示2的点为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，B，则点A表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴的有关问题，根据图形可知大正方形的面积为2，则正方形边长为，小正方形的对角线为，即圆的半径为，据此即可解答． 【详解】解：∵大正方形的面积为2，则大正方形边长为：，小正方形的对角线为： ∴圆的半径为， ∴点A表示的数是． 故选：C． 二、填空题：(共5题，每题3分，共15分。) 11．的绝对值是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的结果是非负数，先求出，再求的算术平方根即可. 【详解】解：(1) 的绝对值是：； （2）=，的算术平方根即的算术平方根为：． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查绝对值与算术平方根，注意要先化简运算． 12．若，则 ． 【答案】4或6/6或4 【分析】本题考查了算术平方根的性质，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根的有关性质，根据算术平方根等于它本身的数有0和1计算即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得或， 故答案为：4或6． 13．已知的平方根是，的算术平方根是4，那么的平方根是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．首先根据的平方根是，可得：，据此求出的值是多少；然后根据的算术平方根是4，可得：，据此求出的值是多少，进而求出的平方根是多少即可． 【详解】解：的平方根是， 解得； 的算术平方根是4， 解得， 的平方根是：． 故答案为：． 14．对于任意两个和为正数的实数m、n，定义运算※如下：例如．那么 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的分母有理化，新定义运算，理解新定义，掌握二次根式的运算是关键．按照新定义计算并化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．若n为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 三、解答题 （共75分) 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)6 (4)4 【分析】本题考查了算术平方根与立方根、零指数幂、二次根式的运算等知识，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得； （2）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的加减法即可得； （3）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算加减法即可得； （4）先化简二次根式、计算零指数幂，再计算二次根式的加法，然后计算二次根式的除法，最后计算有理数的减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 17．求下列各式中的x的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握立方根的定义是解题的关键， （1）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （2）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可； （3）根据立方根的计算方法和解方程的方法可以解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 18．如下图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为．设点B表示的数为m． (1)实数m的值为_______； (2)在数轴上还有两点分别表示实数c和d，且与互为相反数．请计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数与数轴、平方根、非负数的性质，正确理解题意是解题关键． （1）根据向右爬了2个单位长度则在起点基础上加，即可得到m的值； （2）根据非负数的性质得到c，d的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示的数为， ∴， 故答案为：； （2）解：因为与互为相反数， 所以， 因为与均为非负数， 所以， 所以， 所以原式． 19．已知和是某数m的两个平方根，的立方根是3，c是的整数部分， (1)求m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)49 (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的整数部分，熟练掌握相关定义和无理数的估算方法，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，得到，求出的值，进而求出的值即可； （2）求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 20．阅读下面的文字并解答问题∶我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，得到的差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如： ∵ ，即， ∴的整数部分是，小数部分为． 根据上述材料，回答下列问题： (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为，求的值； (3)若的整数部分为，小数部分为，求的算术平方根． 【答案】(1)，； (2)； (3)的算术平方根为． 【分析】（）根据无理数的估算求解即可； （）根据无理数的估算求解即可； （）首先根据无理数的估算求出和的值，然后代入求解即可； 本题考查了无理数的估算和实数的运算，平方根，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分是，小数部分为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴，即， ∴的整数部分为，小数部分为， ∴， ∴的算术平方根是， ∴的算术平方根为． 21．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①______；_____； 探究：对于任意非负有理数a，_____． ②______；______； 探究：对于任意负有理数a，_____． 综上，对于任意有理数a，_____． (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①4；0；a；②3；5；； (2) 【分析】此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． （）①分别计算各式的值，并归纳出探究结果； ②分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出，； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果． 【详解】（1）解：，， 探究：对于任意非负有理数a，； ，， 探究：对于任意负有理数，； 综上，对于任意有理数，； （2）解：观察数轴可知： ，，， ． 22．请阅读下面材料，并完成相应的任务． 设是有理数，且满足，求的值． 解：由题意，得． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以，即， 所以． 根据阅读材料，解决问题： 设都是有理数，且满足，求的值． 【答案】的值为7或 【分析】本题主要考查实数运算，二次根式的运算，根据提供的方法，先变形为，从而得出，求出，最后代入求值即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 因为都是有理数， 所以也是有理数． 因为是无理数， 所以， 解得， 当时，， 当时，． 综上所述，的值为7或． 23．综合与实践 问题情境 “综合与实践”课上，老师告诉大家，无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部写出来，比如、、等，而常用“……”或者“”的表示方法都不够准确． 方法尝试 “善思”小组用来表示的小数部分，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．“智慧”小组用来表示的小数部分，因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．也就是说，任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间． 解决问题 (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)也夹在两个相邻的整数之间，可以表示为，求的值． (3)若，其中是整数，且，请直接写出的相反数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查估算无理数的大小，以及相反数定义，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提． （1）根据算术平方根的定义估算无理数的大小，再类比题干求解，即可解题； （2）估算无理数的大小，进而确定a、b的值，再代入计算，即可解题； （3）先估算无理数的大小，进而确定、的值，再代入计算，最后结合相反数的定义求解，即可解题． 【详解】（1）解：， ， 即的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解： ， 即，， ； （3）解：， ， ， ，其中是整数，且， ，， 则， 的相反数为． 试卷第2页，共15页 试卷第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$