精品解析：湖北省十堰市2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

十堰市2024-2025学年度上学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，…，则该数列的第项为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间四点，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. D. 3. 直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 4. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径.若椭圆上所有点的曲率半径的最大值为，最小值为2，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年奥运会在巴黎举行，中国运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示，用频率近似概率，从测试成绩中随机抽取2个，抽取的2个中至少有1个低于60分的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在棱长为6的正四面体中，，，则（ ） A B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则（ ） A. 12210 B. 6105 C. 6205 D. 12220 8. 已知为坐标原点，直线与直线的交点为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列单调递减 C. 有最大值 D. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. 与独立 B. 与对立 C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交于A，B两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若A，B在左支上，且为正三角形，则的离心率为 B. 若A，B分别在左、右两支上，且为正三角形，则的渐近线方程为 C. 若A，B在左支上，，，成等差数列，且，则离心率为 D. 若A，B分别在左、右两支上，过点作直线的垂线交双曲线于点，，且B，O，D三点共线，则双曲线的渐近线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则__________. 13. 定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线，PN（M，N为切点）相互垂直，若圆经过点P，M，N，C，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知圆：，为圆的“伴随点”，则“伴随圆”圆的标准方程为_____. 14. 已知是数列前项和，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司的入职面试中有5道难度相当的题目，面试者需要从中随机抽取3道题回答，至少答对2道题才算通过，否则面试失败.面试者甲能答对其中3道题，面试者乙答对每道题的概率都是，假设抽到的不同题目能否答对是相互独立的. （1）求面试者甲､乙各自通过面试的概率； （2）求甲､乙至少有一人通过面试的概率. 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知抛物线的焦点为，点在上，点到轴的距离为，与焦点的距离为4，直线与交于A，B两点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，与轴的交点为，且，求； （3）若直线过点，为坐标原点，直线与抛物线的准线交于点，证明：平行于轴. 18. 在数列中，已知，. （1）证明是等差数列，并求出的通项公式. （2）若数列满足，，设数列的前项和为. ①求，并证明； ②证明：. 19. 已知椭圆，A，B分别是椭圆左、右顶点，M，N是椭圆上异于A，B的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. （1）求椭圆的方程. （2）若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. （3）在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 十堰市2024-2025学年度上学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效. 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列，，，，…，则该数列的第项为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列中的项，归纳得到数列的通项公式为，即可求解. 【详解】该数列的通项公式为，所以， 故选：C. 2. 已知空间四点，，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. 与夹角的余弦值为 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出、、、，利用空间向量的运算逐一判断即可. 【详解】因为，，所以，所以，故A错误，D正确. 因为，，所以，故B和C错误， 故选：D 3. 直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系即可. 【详解】由图可知，圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交. 故选：C 4. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆上点处的曲率半径.若椭圆上所有点的曲率半径的最大值为，最小值为2，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲率半径的意义先判断出椭圆在点处的曲率半径最小，在点处的曲率半径最大，并会用点处的曲率半径公式求出的关系，进而求出即可. 【详解】因为曲率半径越大，曲线在该点处的弯曲程度越小， 所以椭圆在点处的曲率半径最小，则，， 椭圆在点处的曲率半径最大，则，， 所以，，故椭圆的标准方程为. 故选：B 5. 2024年奥运会在巴黎举行，中国运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试.根据测试成绩（单位：分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示，用频率近似概率，从测试成绩中随机抽取2个，抽取的2个中至少有1个低于60分的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】会用频率直方图求概率，并会求两个相互独立事件同时发生的概率. 【详解】由频率近似概率知，抽取1个成绩低于60分的概率为，所以抽取的2个成绩中至少有1个低于60分的概率. 故选：A 6. 在棱长为6的正四面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将向量用正四面体的棱长表示，再进行数量积运算即可. 【详解】因为，， 所以 因为，且 所以， 所以. 因为正四面体的棱长为6，所以. 故选：C 7. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，…构成的数列的第项，则（ ） A. 12210 B. 6105 C. 6205 D. 12220 【答案】B 【解析】 【分析】归纳可得，利用累加法结合等差数列的求和公式可得答案. 【详解】因为 归纳可得，又， 所以， 所以， 故. 故选：B. 8. 已知为坐标原点，直线与直线的交点为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两直线所过定点，确定点的轨迹是以为直径的圆（除点外），求出其方程，数形结合，利用直线和圆相切，求出相切时切线斜率，即可求得答案. 【详解】由题意直线，即，直线， 且满足， 故直线过定点，直线过定点，且直线与直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆（除点外），且圆心为，半径为， 所以点的轨迹方程是除去点. 易知直线的斜率存在，设直线的方程为. 当直线与圆相切时，圆心到直线的距离，解得±1. 当时，切点为，所以直线的倾斜角的取值范围为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为等差数列，，，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ） A B. 数列单调递减 C. 有最大值 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出公差即可求出数列的通项公式，从而判断A；利用等差数列的求和公式求出，再结合二次函数的性质判断BCD. 【详解】设的公差为，因为，又， 所以， 所以，故A正确； 因为，所以数列先增后减，故不正确； 当时二次函数取最大值，因为，所以或6时，有最大值，，故，正确. 故选：ACD. 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事件“第一次取到标号为1或2的号签”，事件“第二次取到标号为5的号签”，事件“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. 与独立 B. 与对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先用穷举法列出样本空间和事件，再由独立事件的乘法公式可得A正确；由互斥事件的性质可得B错误；由古典概率可得C正确；由并事件的概率公式可得D正确； 【详解】选取的号签用表示，则共有，，，，，，， ，，，，，，，，，，， ，，，，，，，25个基本事件， 而事件包含了，，，，，，，，，，10个基本事件， 事件包含了，，，，，5个基本事件， 事件包含了，，，，4个基本事件，所以，，. 对于A，因为事件包含了，，2个基本事件，所以.因为， 所以与独立，故A正确； 对于B，因为与互斥但不对立，所以B错误； 对于C，因为事件包含了，，2个基本事件，所以，故C正确； 对于D，因为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交于A，B两点，则下列选项正确的是（ ） A. 若A，B在左支上，且为正三角形，则的离心率为 B. 若A，B分别在左、右两支上，且为正三角形，则的渐近线方程为 C. 若A，B在左支上，，，成等差数列，且，则的离心率为 D. 若A，B分别在左、右两支上，过点作直线的垂线交双曲线于点，，且B，O，D三点共线，则双曲线的渐近线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正三角形的性质得到关于的齐次方程可判断A；利用余弦定理求出离心率可得，从而可判断B；利用等差数列以及余弦定理得到关于的齐次方程可判断C；由双曲线的对称性知四边形为矩形，结合双曲线的定义与勾股定理可得，进而得，即可判断D. 【详解】对于A，由双曲线的对称性可知，直线垂直于轴，，， 所以，，解得，故A正确. 对于B，因为，所以.因为， 所以，所以，解得， 所以，所以的渐近线方程为，故B错误. 对于，因为，，成等差数列， 所以，即. 因为，所以. 设，则，，，所以. 在中，，解得， 所以，，，.因为， 所以，解得，故C正确. 对于D，由双曲线的对称性知四边形为矩形，设，则， 所以，. 由，得，解得. 由，得， 所以，所以，所以的渐近线方程为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线平行，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求解，注意检验即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以或. 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意. 故答案为： 13. 定义：是圆外一点，过点所作的圆的两条切线，PN（M，N为切点）相互垂直，若圆经过点P，M，N，C，则称为圆的“伴随点”，圆为“伴随圆”.已知圆：，为圆的“伴随点”，则“伴随圆”圆的标准方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题意确定圆是以为直径的圆，求出圆心和半径，即得答案. 【详解】因为“伴随圆”圆过点P，M，N，C，由于， 所以圆是以为直径的圆，而， 所以圆心为，半径为， 所以圆方程为 故答案为： 14. 已知是数列的前项和，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件得，因此故数列和数列均为等差数列，分为奇数，和为偶数两种情况结合数列的性质特点分别分组求和即可求解. 【详解】由题意得，当时，，解得. 由，， 两式相减得，且不满足上式. 根据上式有：，又因为，解得， 由，， 两式相减得， 故数列和数列均为公差为的等差数列. 当为奇数时，设， 则 当为偶数时，设， 则 . 综上， 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用递推公式得到：，确定数列的特点从而求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司的入职面试中有5道难度相当的题目，面试者需要从中随机抽取3道题回答，至少答对2道题才算通过，否则面试失败.面试者甲能答对其中3道题，面试者乙答对每道题的概率都是，假设抽到的不同题目能否答对是相互独立的. （1）求面试者甲､乙各自通过面试的概率； （2）求甲､乙至少有一人通过面试的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式可得甲通过面试的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式可得乙通过面试的概率. （2）计算甲，乙都没有通过面试的概率，根据对立事件概率公式可得结果. 【小问1详解】 记甲能答对的题号为，不能答对的题号为4，5，则甲从中随机抽取3道题共有，10种情况，甲能通过面试包含了7种. 设“甲能通过面试”为事件，则. 记“乙每次答题正确”为事件，“乙能通过面试”为事件， 则. 【小问2详解】 由（1）知甲，乙都没通过面试的概率为. 故甲，乙至少有一人通过面试的概率. 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，. （1）证明：. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由正方形可证明，由面面垂直可证平面，进而可证，由线面垂直的判定定理可证平面，进而可证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用空间向量的运算求余弦值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在直角梯形中，因为，，，， 所以为正方形，所以， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立 空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得， 因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知抛物线的焦点为，点在上，点到轴的距离为，与焦点的距离为4，直线与交于A，B两点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线的斜率为1，与轴的交点为，且，求； （3）若直线过点，为坐标原点，直线与抛物线的准线交于点，证明：平行于轴. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据抛物线上的点到x轴的距离以及焦半径公式求出p，即可求得答案. （2）利用联立方程结合向量等式，求出两交点的坐标，即可求得答案； （3）设直线的方程为，联立抛物线方程，求出B点纵坐标，继而求出D点纵坐标，即可证明结论. 【小问1详解】 解：依题意，设点，则， 代入，解得， 因为，所以点到准线的距离为4，即， 解得，故抛物线方程为 【小问2详解】 设直线的方程为，，. 由，得 由消去整理得，需满足 所以， 且，解得，此时满足题意； 代入，解得，， 故 【小问3详解】 证明：由（1）得抛物线的焦点为. 设直线的方程为，，， 由消去整理得，， 则，即， 直线的方程为， 当时，， 即点的纵坐标，则，故平行于轴. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第三问中，证明平行于轴，需计算求出两点的纵坐标，比较二者，相等即可. 18. 在数列中，已知，. （1）证明是等差数列，并求出的通项公式. （2）若数列满足，，设数列的前项和为. ①求，并证明； ②证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2）①，证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用进行赋值，即可求出公差，得到通项公式； （2）①利用以及（1）中通项公式赋值即可求出，再将等式关系进行代换，即可证出；②利用①中结论，裂项求和求出，再根据基本不等式即可证出. 【小问1详解】 令，，则对任意，都有，即， 则数列是以2为首项，2为公差的等差数列， 故，即. 【小问2详解】 ①由（1）可得，即，得. 因为，， 所以两式相减得，即. ②证明：由得，要证，即证， 由①得，，则， 故 ， 故原不等式成立. 19. 已知椭圆，A，B分别是椭圆的左、右顶点，M，N是椭圆上异于A，B的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. （1）求椭圆的方程. （2）若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. （3）在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的对称性列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理并结合斜率坐标公式计算推理得证. （3）由（2）的信息，利用直线方程求出点的坐标，并建立函数关系求出最小值. 【小问1详解】 根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 则，，， 而，则， 因此 ， 解得， 所以直线恒过定点. 【小问3详解】 由（2）知，，得 直线的方程为，直线的方程为， 则， ，解得， 点有，，同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$