第05讲 排列（4大知识点+8大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

第05讲 排列 课程标准 学习目标 1.了解排列图意义，掌握常见的排列处理方法。 2.会用排列的相关方法解决简单的排列问题。 3.理解与掌握排列数公式 4.熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解。 5.能解决一些简单的实际问题,熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题 6.常见误区：排列的定义不明确 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题． 知识点01排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 【即学即练1】（21-22高二下·上海奉贤·期末）从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的、、，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）. 知识点02 排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 【即学即练2】如何理解排列定义中“一定的顺序”？两个排列相同必须满足哪些条件？如何判断一个问题为排列问题？ 知识点03排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 【即学即练3】（22-23高二下·上海浦东新·期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答） 知识点04 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【即学即练4】（25-26高三上·上海·单元测试）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是 . 题型一：排列数的计算 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二下·浙江·期中）已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知，则n的值为 ． 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 （结果用最简分数表示）． 5．（2024高三·上海·专题练习）设有12件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正品的概率是 ． 6．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 7．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知n为正整数，且，则 ． 8．（22-23高二下·上海浦东新·期中）从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有 种排法． 题型二：用排列数公式证明 1.（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数；在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则的取值范围为 2.（23-24高二上·上海·课后作业）已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 题型三：排列数方程和不等式 1.（23-24高二下·上海闵行·期末）若，其中，则 ． 2．（高二下·上海奉贤·期中）已知，则 . 3.（2020高三·上海·专题练习）（1）用排列数表示：； （2）若，求的值. 题型四：全排列问题 1.（2023·上海闵行·一模）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 2．（20-21高二上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的情况有 种． 3．（21-22高二下·上海浦东新·期中）现有位教师要带个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级配一位教师带队，则不同的带队方案的种数为 （结果用数值表示）. 4．（23-24高三上·上海普陀·期末）求有 组、、、（、、、均为正整数），满足等式. 题型五：元素（位置）有限制的排列问题 1.（2021高三·上海·专题练习）五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（    ） A．120种 B．96种 C．78种 D．72种 2．（2020高三·上海·专题练习）5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）. A．288种 B．72种 C．36种 D．24种 3．（2020高三·上海·专题练习）A，B，C，D，E五个字母排成一排，字母A排在字母B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（    ）. A．24 B．12 C．60 D．120 4.（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个. 6．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 7．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）现有10个完全相同，尺寸为的长方体箱子，将第一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有 种. 8．（24-25高三上·上海·期中）已知是满足下列性质的一个排列，性质：排列中有且仅有一个，当时，满足性质的数列一共有 个. 9.（21-22高二下·上海虹口·期末）已知5名同学站成一排，要求甲、乙两人站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m. (1)求m的值； (2)求二项式的展开式中的的系数. 题型六：相邻问题的排列问题 1.（21-22高二下·上海浦东新·期末）公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A､B､C､D､E中的两个不同字母，和0､1､2､3､4､5､6､7､8､9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（    ）种. A．7200 B．14400 C．21600 D．43200 2．（20-21高二下·上海杨浦·期中）汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（    ）种. A． B． C． D． 3.（23-24高二下·上海闵行·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是 ． 5．（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 6．（23-24高二下·上海·期末）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有 种. 7．（23-24高二下·上海·期末）甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 8.（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 题型七：不相邻排列问题 1.（22-23高二下·上海闵行·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 2．（22-23高二下·上海青浦·期中）5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 3．（20-21高二下·上海浦东新·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（    ） A．960种 B．720种 C．480种 D．240种 4．（23-24高二上·上海·期末）8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 5.（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 6．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 7．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 8．（20-21高二下·上海徐汇·期中）现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队. （1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？ （2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？ 题型八：其他排列模型 1.（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 2.（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 3．（22-23高二下·上海徐汇·期中）将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有 种排法． 4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是 ． 5．（21-22高二上·上海杨浦·期末）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道､大观园､历史博物馆､练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 种安排方式（用数字作答）. 6.（25-26高三上·上海·单元测试）从编号为1∼9的九个球中任取4个，使它们的编号为奇数，再把这4个球排成一排，共有多少种排法？ 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 2．（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 二、填空题 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则 . 6．（23-24高二下·上海·期末）若，则正整数 . 7．（24-25高三上·上海·期中）若，则等于 . 8．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 9．（23-24高二下·上海·期末）高三年级毕业活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有 种. 10．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 11．（23-24高三上·上海浦东新·期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 12．（23-24高三上·上海长宁·期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 13．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 14．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 15．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 16．（25-26高三上·上海·期末）同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有 种. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 18．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 19．（21-22高二下·上海浦东新·期中）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 20．（22-23高二下·上海浦东新·期中）4男3女排队拍照． (1)女生不在两边的排法有多少种？ (2)恰有3个男生连排的排法有多少种？ (3)甲在乙的左边的排法有多少种？ 21．（22-23高三上·上海浦东新·期中）由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 排列 课程标准 学习目标 1.了解排列图意义，掌握常见的排列处理方法。 2.会用排列的相关方法解决简单的排列问题。 3.理解与掌握排列数公式 4.熟练应用排列数公式及性质求解与排列数有关的量，并能证明恒等式，求方程的解及不等式的解。 5.能解决一些简单的实际问题,熟练应用公式表达排列的相关关系，及求解常见的排列问题 6.常见误区：排列的定义不明确 1.理解并掌握排列的概念. 2.能应用排列知识解决简单的实际问题． 知识点01排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 【即学即练1】（21-22高二下·上海奉贤·期末）从集合中任取3个不同元素分别作为直线方程中的、、，则经过坐标原点的不同直线有 条（用数值表示）. 【答案】18 【分析】根据给定条件可得，再从任取两个不同元素分别作为值的种数中减去重合的直线条数即可作答. 【详解】依题意，，从任取两个不同元素分别作为的值有种， 其中重合的直线，与 重合， 与重合， 所以经过坐标原点的不同直线条数是. 故答案为：18 知识点02 排列相同的条件 两个排列相同的充要条件： (1)两个排列的元素完全相同． (2)元素的排列顺序也相同． 【即学即练2】如何理解排列定义中“一定的顺序”？两个排列相同必须满足哪些条件？如何判断一个问题为排列问题？ 【答案】答案见解析 【详解】定义中“一定的顺序”是说元素的安排与位置（顺序）有关．相同的排列必须满足两个条件：一是元素完全相同，二是元素的排列顺序完全相同．元素完全相同，顺序不同或者元素不完全相同的两个排列都是不同的排列．判断一个问题是否为排列问题，首先判断是否有顺序，然后判断是否是从n个不同元素中取出个元素，满足这两个条件的问题就是排列问题，否则就不是排列问题． 知识点03排列数的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示． 【即学即练3】（22-23高二下·上海浦东新·期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答） 【答案】90 【分析】利用定序相除法进行求解，先求10本书的所有排法，再求原来8本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的8本书，加上新买的2本书，随意排列共有种排法， 原来的8本书随意排列共有种排法， 而原来特有的顺序只有1种，所以共有种方法. 故答案为：90. 知识点04 排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 【即学即练4】（25-26高三上·上海·单元测试）对于任意正整数，定义“的双阶乘”如下：当是偶数时，；当是奇数时，；①；②；③的个位数是0；④的个位数是5.其中正确的命题的序号是 . 【答案】①②③④ 【分析】根据的双阶乘的定义，依次分析四个命题即可. 【详解】对于①， ，故正确； 对于②， ，故正确； 对于③，，其中含有10， 故个位数字为0，故正确； 对于④，， 其个位数字与的个位数字相同，故其个位数字为5，故正确. 故答案为：①②③④. 题型一：排列数的计算 1.（23-24高二下·上海·阶段练习）已知为正整数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列数的运算即可求解. 【详解】由， 得. 故选：D 2．（22-23高二下·浙江·期中）已知，则n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答. 【详解】因为，而，即有，于是， 所以n的值为5. 故选：C 3.（25-26高三上·上海·单元测试）已知，则n的值为 ． 【答案】3 【分析】根据排列数公式直接计算即可得解. 【详解】由得， 化简得，解得（舍去）或. 故答案为：3. 4．（23-24高三下·上海·阶段练习）某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是 （结果用最简分数表示）． 【答案】 【分析】所有的选法共有种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有种，由此求得这3名学生选择的选修课互不相同的概率． 【详解】所有的选法共有种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有种， 所以这3名学生选择的选修课互不相同的概率为. 故答案为：． 5．（2024高三·上海·专题练习）设有12件药品，其中4件是次品，现进行两次无放回抽样，即每次抽一件不放回去，则两次都抽到正品的概率是 ． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率公式求解． 【详解】两次都抽到正品的概率为. 故答案为：． 6．（23-24高二上·上海·期末）若，则 . 【答案】7 【分析】根据排列数的运算性质计算即可求解. 【详解】由题意知，，则， 由，解得. 故答案为：7 7．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知n为正整数，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用排列数公式，列式求解作答. 【详解】依题意，n为正整数，， 因为，则有，解得， 所以. 故答案为：8 8．（22-23高二下·上海浦东新·期中）从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有 种排法． 【答案】12 【分析】运用排列数计算即可. 【详解】由题意知，从4本不同的书中选出2本排成一列共有种排法. 故答案为：12. 题型二：用排列数公式证明 1.（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知函数；在数列中，，，记数列的前项积为，数列的前项和为，则的取值范围为 【答案】 【分析】首先求，再求乘积，利用裂项相消法，即可求和，再利用单调性，求和的取值范围. 【详解】在数列中，，，即，， 即有， ， 则 由于，递增，可得，即. 故答案为： 2.（23-24高二上·上海·课后作业）已知m、n是正整数，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据排列数计算公式证明； （2）根据排列数计算公式证明. 【详解】（1）根据排列数公式，可以得到． 所以，． （2）根据排列数公式，可以得到 ． 所以，． 题型三：排列数方程和不等式 1.（23-24高二下·上海闵行·期末）若，其中，则 ． 【答案】3 【分析】根据排列数的计算即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或（舍去）， 故答案为：3. 2．（高二下·上海奉贤·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】根据排列数公式可得出关于的等式，分析可知且，即可解得的值. 【详解】因为，则且，则，即，解得. 故答案为：. 3.（2020高三·上海·专题练习）（1）用排列数表示：； （2）若，求的值. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）直接利用排列数计算公式化简即可； （2）直接利用排列数计算公式即可得到结论. 【详解】（1）由排列数计算公式，知 . （2）由排列数计算公式，得， 即，即， 解得或，又，故. 【点睛】本题考查排列数公式的推导，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题. 题型四：全排列问题 1.（2023·上海闵行·一模）今年中秋和国庆共有连续天小长假，某单位安排甲、乙、丙三名员工值班，每天都需要有人值班．任选两名员工各值天班，剩下的一名员工值天班，且每名员工值班的日期都是连续的，则不同的安排方法数为 ． 【答案】 【分析】先确定值班天的人，有种选择，再将三个人全排即可，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】三人值班的天数分别为、、，先确定值班天的人，有种选择， 再将三个人全排即可，所以，不同的排法种数为种. 故答案为：. 2．（20-21高二上·上海徐汇·期末）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到A、B、C三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学，则甲、乙两人被分在同一个社区的情况有 种． 【答案】6 【分析】运用捆绑法进行求解即可. 【详解】把甲、乙两人捆绑一起，与丙、丁两同学一起排列在一起符合题意， 所以有种不同的情况， 故答案为：6 3．（21-22高二下·上海浦东新·期中）现有位教师要带个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级配一位教师带队，则不同的带队方案的种数为 （结果用数值表示）. 【答案】 【分析】根据排列数的知识可直接得到结果. 【详解】将位教师安排给个班级可得不同的带队方案有：种. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海普陀·期末）求有 组、、、（、、、均为正整数），满足等式. 【答案】 【分析】设，分的取值进行分类讨论，利用数的整除性推导得出的取值，进一步解出、的值，然后考虑将、、排序，综合可得出符合条件的数组的个数. 【详解】不妨设，分以下两种情况讨论： （1）当时，则， 此时，若，则被整除，矛盾，故， 于是有，可知或，解得或， 则或， 只需将、、排序即可，此时共有种符合条件的数组； （2）当时，则， 此时，若，则能被整除，矛盾， 事实上，则，则能被整除， 则被整除余，矛盾，所以，， 如果，那么， 此时，若，则不能被整除，而能被整除，矛盾， 若，则能被整除，而为奇数，则不能被整除，矛盾， 故， 于是， 当时，能被整除，但为奇数，则不能被整除， 所以，或， 当时，，解得，所以，， 可得，解得； 当时，，解得，所以，， 可得，解得. 此时，或. 只需将、、排序即可，此时共有种符合条件的数组. 综上所述，共有种符合条件的数组. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据数的整数性确定的取值，进而得出、、的取值，从而使问题得到解答. 题型五：元素（位置）有限制的排列问题 1.（2021高三·上海·专题练习）五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有（    ） A．120种 B．96种 C．78种 D．72种 【答案】C 【解析】分甲在末尾和在第二，三，四位讨论其余几人的位置情况即可. 【详解】由题意可先安排甲，并按其分类讨论： 1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有=24种排法； 2）若甲在第二，三，四位上，则乙不在排尾，也不在甲的位置，有3种，其余三人有种，所以共有=54种排法， 由分类计数原理，排法共有24+54=78种， 故选：C． 【点睛】解含有约束条件的排列组合问题，应按有约束条件的元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏． 2．（2020高三·上海·专题练习）5个人站成一排，甲、乙两人中间恰有一人的不同站法有（    ）. A．288种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】C 【分析】根据题意，甲、乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，利用“捆绑”法，再与其他的2个人进行排列. 【详解】由题意，甲、乙两人中间恰有一人，把这三个人看做一个整体，则有种， 所以，5个人站成一排，且甲、乙两人中间恰有一人的站法有：种. 故选：C. 【点睛】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，相邻问题用“捆绑”法，属于基础题. 3．（2020高三·上海·专题练习）A，B，C，D，E五个字母排成一排，字母A排在字母B的左边（但不一定相邻）的排法种数为（    ）. A．24 B．12 C．60 D．120 【答案】C 【分析】利用定序相除法求解：即先求5个字母全排列，再除顺序数. 【详解】先5个字母全排列，由于字母A不是排在字母B的左边，就是排在字母B的右边两种情况，且这两种情况排列数相等，所以所求排列数为. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查带有限制条件的元素的排列问题，考查运算求解能力，是基础题. 4.（24-25高二上·上海·阶段练习）用 “行”、“知”、“中”、“学”、“顶”、“呱”、“呱”这七个字可以组成 种不同的七字短语. (不考虑短语的含义) 【答案】 【分析】先将七个字全排列，再除以2即可. 【详解】先将七个字进行排列，有种选择， 由于七个字中有两个相同的“呱”，故均重复计算了一次， 所以共有种不同的七字短语(不考虑短语的含义). 故答案为： 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）把1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先严格减后严格增，则这样的数列共有 个. 【答案】254 【分析】根据1是分界点，分类讨论即可. 【详解】该数列为先减后增，则1一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种， 当1前面只有一个数时，有种情况； 当1前面只有2个数时，有种情况； 当1前面只有3个数时，有种情况， ， 当1前面只有7个数时，有种情况. 综上，这样的数列共有个. 故答案为：. 6．（2024·上海虹口·一模）已知项数为10的数列中任一项均为集合中的元素，且相邻两项满足．若中任意两项都不相等，则满足条件的数列有 个． 【答案】 【分析】先将任意排列，依次将到插入该数列，考虑满足条件，求出其方法总数，即可得出答案. 【详解】由于，可以先将任意排列， 再将插入该数列，但不能在的左边且与相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在和的左边且与，相邻，共有种， 再将插入该数列，同样不能在，和3的左边且与相邻，共有种， 以此类推，将插入该数列，共有种. 故答案为：. 7．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）现有10个完全相同，尺寸为的长方体箱子，将第一个箱子平放在地面上，其余的9个箱子的每一个箱子都平放在前面的箱子上，可以任意旋转箱子，那么使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有 种. 【答案】5130 【分析】设分别有个高度为的箱子，结合题意可得，，进而得到，，，再结合排列组合知识求解即可. 【详解】因为10个箱子都有3种不同的高度， 设分别有个高度为的箱子， 则，则， 由于，则， 所以，，， 则使得这10个箱子堆放高度为41的堆放方式共有种. 故答案为：5130. 8．（24-25高三上·上海·期中）已知是满足下列性质的一个排列，性质：排列中有且仅有一个，当时，满足性质的数列一共有 个. 【答案】 【分析】先根据题意得到和之间的关系：，再计算，代入即可. 【详解】设为符合题意的的个数， 考虑和之间的关系，为此考虑两种情况下的： 第一种为1到符合性质排列，不妨设，此时要么放在末尾要么放在和之间，这一共有 种情况； 第二种为1到不符合性质T排列，此时若想插入数使得序列满足性质，则前个数只能递增排列，然后插入，有种情况； 故 设 易知 ， 所以. 故答案为：. 9.（21-22高二下·上海虹口·期末）已知5名同学站成一排，要求甲、乙两人站在两端，记满足条件的所有不同的排法种数为m. (1)求m的值； (2)求二项式的展开式中的的系数. 【答案】(1)12 (2)66 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、求指定项的系数 【分析】（1）先安排甲、乙两人，再安排其他人员，结合排列数可得答案； （2）利用二项展开式的通项公式进行求解. 【详解】（1）先安排甲、乙两人，共有种方法，再排其余3人，共有种方法，所以. （2）由（1）知，的展开式的通项公式为， 令可得，，所以二项式的展开式中的的系数为. 题型六：相邻问题的排列问题 1.（21-22高二下·上海浦东新·期末）公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后，小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排.某人欲选由A､B､C､D､E中的两个不同字母，和0､1､2､3､4､5､6､7､8､9中的3个不同数字，组成的三个数字都相邻的一个号牌，则他选择号牌的方法种数最多有（    ）种. A．7200 B．14400 C．21600 D．43200 【答案】D 【分析】先计算挑选出两个不同字母和3个不同数字的情况数，再求解三个数字都相邻的情况即可 【详解】由题意，选取A､B､C､D､E中的两个不同字母，和0､1､2､3､4､5､6､7､8､9中的3个不同数字共有种情况，当两个字母和3个数字确定后，再组成的三个数字都相邻的一个号牌总共有种情况，根据分步计数的乘法原理可得，选择号牌的方法种数最多有种 故选：D 2．（20-21高二下·上海杨浦·期中）汽车牌照由4个数字（可以重复）和2个字母（也不一定要不相同）构成，这6个字符可以任何顺序呈现，但两个字母必须相邻，则可以形成的不同的牌照有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理以及插空法即可求解. 【详解】首先排4个数字共有种， 再将2个字母看成一个整体插在个空内，共有种， 所以形成的不同的牌照有. 故选：B 3.（23-24高二下·上海闵行·期中）甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法种数 ．（用数字作答） 【答案】48 【分析】根据捆绑法求解即可. 【详解】由题意，先将甲乙捆绑排列，再跟剩下的人排列，故不同的排法种数有种. 故答案为：48 4．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知除颜色外完全相同的个小球，其中个白色，个红色，个黑色．现将它们从左至右随机排成一排，则个红球恰好排在一起的概率是 ． 【答案】 【分析】利用捆绑法可求得个红球恰好排在一起的方法数，结合小球随机排列的方法总数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】个小球随机排列，有种情况； 把个红球看成一个整体，有种情况，然后把这个整体与其他小球排序，有种情况； 个红球恰好排在一起的概率是：. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·期末）有7个同学要排队做操，其中甲乙丙必须相邻，则总共有 种排法． 【答案】 【分析】根据相邻问题捆绑法即可求解. 【详解】甲乙丙相邻，则共有, 故答案为： 6．（23-24高二下·上海·期末）5个学生排成一排照相，甲、乙相邻的排法共有 种. 【答案】48 【分析】利用捆绑法，即可求得答案； 【详解】将甲、乙捆绑看作一个整体，内部全排列，然后和其他人全排列， 故共有（种）排法， 故答案为：48 7．（23-24高二下·上海·期末）甲、乙、丙、丁、戊乘坐高铁结伴出行并购买了位于同一排座位的五张车票， 因此 他们决定自行安排这些座位． 高铁列车的座位安排如图， 甲希望坐在靠窗的座位上， 乙 不希望坐在 座，丙和丁希望坐在相邻的座位上 (中间不能隔着过道)， 则满足要求的座位安排方式共有 种． 【答案】14 【分析】根据特殊位置要求分类讨论各种情况即可. 【详解】丙和丁希望坐在相邻的座位上,分类讨论： 丙和丁在DF位置上，甲在A座位上， 乙 坐在 C 座位上，戊 坐在 B座位上共有种排法； 丙和丁在AB位置上，甲在F座位上， 乙 戊 坐在 CD座位上,共有种排法； 丙和丁在BC位置上，甲在F或A座位上， 乙 戊 坐在剩下的座位上,共有种排法； 则满足要求的座位安排方式共有种排法. 故答案为：14. 8.（22-23高二下·上海长宁·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单； (1)3个中唱歌节目要排在一起，有多少种排法？ (2)相声节目不排在第一个节目，魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用捆绑法可求解即可； （2）根据相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数即可求解． 【详解】（1）将3个唱歌节目捆绑在一起，看成1个节目有种，与其余3个节目一起排， 则共有种不同排法． （2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法， 若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法， 则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目等价于用6个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数， 再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数， 所以共有种不同排法． 题型七：不相邻排列问题 1.（22-23高二下·上海闵行·期中）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法错误的是（    ） A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B．课程“礼”不排在第一周，也不排在最后一周，共有480种排法 C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法 D．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法 【答案】D 【分析】根据给定条件利用组合知识可以判断A正确；利用特殊位置法可以判断B错误；相邻问题利用捆绑法可以判断C正确； 不相邻问题利用插空法可以判断D错误. 【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A正确； 对于B，从中间四周中任取一周排“礼”，再排其它五门体验课程共有种，B正确； 对于C，“御”“书”“数”排在相邻的三周，可将“御”“书”“数”视为一个元素，不同排法共有种，C正确； 对于D，先排“礼”、“御”、“书”、“数”，再用插空法排“乐”“射”，不同排法共有种，D错误. 故选： D. 2．（22-23高二下·上海青浦·期中）5个人排一排，甲乙不相邻，不同的排法有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．18种 【答案】B 【分析】由题意可先安排除甲乙之外的3人，再用插空法排甲乙2人，即得答案. 【详解】由题意5个人排一排，甲乙不相邻，先排其余3人，再将甲乙插空即可， 故不同的排法有种， 故选：B 3．（20-21高二下·上海浦东新·期中）记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（    ） A．960种 B．720种 C．480种 D．240种 【答案】C 【分析】本题是一个分步问题，采用插空法，先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，根据分步计数原理得到结果． 【详解】解：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人插到4名志愿者形成的5个空中，则不同的排法有种. 故选：C． 4．（23-24高二上·上海·期末）8个人排成一排照相，其中甲乙丙三人中任意两人都不相邻的排法种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据插空法相关知识直接计算求解即可. 【详解】由题意，先排剩下的5个人，共有种排法， 再将甲乙丙三个人插入剩余的6个空位，共有种排法， 故总共有种排法. 故选：A 5.（23-24高二下·上海宝山·期末）7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有 种． 【答案】3600 【分析】不相邻问题用“插空法”即可. 【详解】先将除了甲和乙外的5人全排列，有种排法， 这5人排成一排，形成6个空，让甲乙去“插空”有种方法， 故7人站成一排，甲和乙不能相邻有种不同的排法. 故答案为：3600. 6．（23-24高二下·上海青浦·阶段练习）2位教师和3名学生站成一排，要求2位教师不相邻，则不同排法的种数为 . 【答案】72 【分析】利用插空法先排3名学生，再将老师插入到4个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3名学生有种，再排2位教师有种， 所以，不同排法的种数为种. 故答案为：72 7．（23-24高二上·福建莆田·期末）5名男生，2名女生站成一排照相．求在下列约束条件下，有多少种站法？ (1)女生不站在两端； (2)女生相邻； (3)女生不相邻. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先排两端再排中间即可得解. （2）用捆绑法即可得解. （3）使用插空法即可得解. 【详解】（1）先考虑两端站的人，再考虑其他位置，满足条件的站法有（种）. （2）将2名女生捆绑，当作一个对象，与其他对象一起全排列，可得满足条件的站法有（种）. （3）分两步：第一步，先排男生，有种站法， 第二步，将2名女生插入男生所形成的6个空（包括两端）中，有种站法， 由分步乘法计数原理知，满足条件的站法有（种）. 8．（20-21高二下·上海徐汇·期中）现有甲、乙、丙、丁、戊五个人排队. （1）要求甲、乙两个人必须站在相邻位置，共有几种排队方法？ （2）要求甲、乙两个人不相邻，共有几种排队方法？ 【答案】（1）48；（2）72. 【分析】（1）利用捆绑法可得解； （2）利用插空法可得解. 【详解】（1）先将甲、乙看作一个整体有种排法，再与丙、丁、戊进行全排列有种排法， 利用分步相乘计数原理可知种 （2）先将丙、丁、戊进行全排列有种排法，再将甲、乙插到4个空里有种排法， 利用分步相乘计数原理可知种 题型八：其他排列模型 1.（23-24高二下·上海·期末）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲、乙必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．36 B．72 C．144 D．240 【答案】B 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲乙，再从剩下4名同学任选2人排列即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种选择， 又因为乙也不担任四辩，共有2种选择， 从剩下4名同学任选2人，且任意排序，共有种， 所以一共有种. 故选：B. 2.（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 3．（22-23高二下·上海徐汇·期中）将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有 种排法． 【答案】1260 【分析】利用排列知识即可求出结果. 【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有种. 故答案为：1260. 4．（22-23高二上·上海嘉定·期中）设直线的方程是，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、 B的值，则所得不同直线的条数是 ． 【答案】18 【分析】任取2个数作为，共有种，去掉重复的直线条数即可得解. 【详解】∵从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值有种结果， 在这些直线中有重复的直线， 当A=1，B=2时和当A=2，B=4时，结果相同， 把A，B交换位置又有一组相同的结果， ∴所得不同直线的条数是， 故答案为：18 5．（21-22高二上·上海杨浦·期末）从7名老师中选取4人，分别带领四组学生去鲁迅小道､大观园､历史博物馆､练塘古镇这4处景点外出考察，每组1名带队老师，则共有 种安排方式（用数字作答）. 【答案】 【分析】依题意从名老师中选出名老师安排到四组学生，再将四组学生安排到4个景点即可，按照分步乘法计数原理计算可得； 【详解】解：依题意从名老师中选出名老师排到四组学生，则一共有种排法，再将四组学生安排到4个景点则有，则一个有种排法； 故答案为： 6.（25-26高三上·上海·单元测试）从编号为1∼9的九个球中任取4个，使它们的编号为奇数，再把这4个球排成一排，共有多少种排法？ 【答案】120 【分析】根据给定条件，问题相当于从5个奇数中任取4个排成一排，再列式计算即得. 【详解】依题意，从5个奇数中任取4个排成一排的不同排法种数为. 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（    ） A．120种 B．240种 C．216种 D．256种 【答案】B 【分析】先将甲乙看作一个元素，再和其余4人一起排列. 【详解】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法， 再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法， 所以这样的排法一共有种方法. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·期末）行知中学高二年级有10位同学在某竞赛中获奖，现排成两排拍照，每排5人，则不同的排列种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用全排列列式即得. 【详解】依题意，10位同学排成两排，每排5人拍照，相当于10个人到10个位置就坐， 所以不同排法种数是. 故选：B 3．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）用这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论夹在中间的偶数数字为和不为两种情况，结合捆绑法、特殊位置优先的方式来求解即可. 【详解】当夹在中间的偶数数字为时，满足题意的五位数个数为个； 当夹在中间的偶数数字不为时，将其与看作一个整体，则有种情况； 再将这个整体和另一个不为的数字挑选一个排在首位，其余数字任意排序，共有种情况， 则满足题意的五位数有个； 满足题意的五位数共有个. 故选：A. 4．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 【答案】A 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余5人即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种方法； 剩下5名同学任选3人，且任意排序，共有种， 所以一共有种， 故选：A. 二、填空题 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【分析】利用排列数公式额可得出关于的等式，即可解得正整数的值. 【详解】因为，即， 因为且，故. 故答案为：. 6．（23-24高二下·上海·期末）若，则正整数 . 【答案】5 【分析】根据排列数公式，展开求解，即得答案. 【详解】由，得， 即， 故答案为：5 7．（24-25高三上·上海·期中）若，则等于 . 【答案】 【分析】根据排列数计算公式直接求得结果. 【详解】因为， 解得， 故答案为：. 8．（24-25高二上·上海·期末）关于正整数的方程是，则 ． 【答案】5 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】由得，， ∴，即，解得或， ∵，∴. 故答案为：5. 9．（23-24高二下·上海·期末）高三年级毕业活动中，要求，，三个班级各出三人，组成小方阵，班的三位同学既不在同一行，也不在同一列的排法有 种. 【答案】 【分析】先排班的三位同学，再排其他两个班的6人，运用分步计数原理计算. 【详解】先排班的三位同学，第一人有9种方法，第二人有4种，第三人有1种， 共有种， 再排其他两个班的6人，进行全排列有种， 所以共有种. 故答案为：. 10．（24-25高二上·上海·期末）甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到，，，四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人同时参加岗位服务的排法有 种. 【答案】 【分析】依题意只需另外三个人在､､三个位置进行全排列，利用排列数公式计算可得. 【详解】当甲､乙两人同时参加岗位服务时，另外三个人在､､三个位置进行全排列， 满足条件的事件数是，即甲､乙两人同时参加岗位服务的排法有6种. 故答案为： 11．（23-24高三上·上海浦东新·期中）夏老师要进行年度体检，有抽血、腹部彩超、胸部CT、心电图、血压测量等五个项目，为了体检数据的准确性，抽血必须作为第一个项目完成，而夏老师决定腹部彩超和胸部CT两项不连在一起检查，则不同的检查方案一共有 种. 【答案】12 【分析】先将心电图、血压测量两项全排列，再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，最后将抽血放在第一位即可. 【详解】解：由题意得：将心电图、血压测量两项全排列，有种情况， 再将腹部彩超和胸部CT两项排在其空位中，有种情况 最后将抽血放在第一位，有1种情况， 所以共有种情况， 故答案为：12 12．（23-24高三上·上海长宁·期中）从甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，要求每个项目都有人参加，则甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有 种. 【答案】54 【分析】根据排列数利用间接法，在总体中排除没有甲、乙的参赛方案. 【详解】若甲､乙等5人中任选3人参加三个不同项目的比赛，共有种不同参赛方案， 若没有甲､乙入选的不同参赛方案共有种， 所以甲､乙中至少有1人入选的不同参赛方案共有种. 故答案为：54. 13．（23-24高二下·上海·期末）将 的所有排列按如下方式排序： 首先比较从左至右第一个数的大小，较 大的排列在后； 若第一个数相同， 则比较第二个数的大小， 较大的排列在后， 依此类 推． 按这种排序方式，排列2，3，4，5，6，1的后一个排列是 ． 【答案】2,3,4,6,1,5 【分析】通过比较各个位数得出后一个排列. 【详解】根据题意，已知排列与后一个排列位置关系应当由最后两个数进行大小比较得来的，但是将后两个数比较所得排列为2,3,4,5,1,6， 根据规则，此排列应该为已知排列的前一个排列。 因此，应当从第四个数开始比较，前三个数相同，第四个数比5大，然后要保证第五个数尽量小.即2,3,4,6,1,5. 故答案为：2,3,4,6,1,5. 14．（23-24高二下·上海·期末）某场中国队与巴西队的足球比赛进入了激动人心的点球大战，中国队需要从除守门员外的10名首发队员中选5名队员依次主罚点球. 已知除守门员外的10名首发队员中有2名前锋、4名中场、4名后卫，若要求2名前锋必须入选、且不能相邻，那么主罚点球人员的不同排列方法有 种.（不考虑是否踢进等问题） 【答案】4032 【分析】利用插空法，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，产生4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列即可. 【详解】由题意得，先从除2名前锋外的其余8名队员中选3人排列，有种， 3人排列后有4个空，然后2名前锋从4个空中选2个排列，则有种， 所以由分步乘法原理可知共有种， 故答案为：4032 15．（23-24高二下·上海·期末）某公司年会将安排7个节目的演出顺序表，其中共4个语言类节目，3个歌舞类节目，则歌舞类节目互不相邻的概率为 ． 【答案】； 【分析】利用插空法求出符合题意的排列情况总数，再结合古典概型的概率公式求解. 【详解】先把4个语言类节目全排列，中间形成5个空，5个空中选3个空排三个歌舞类节目， 共有种情况，又因为7个节目全排列有种情况， 所以所求概率为. 故答案为：. 16．（25-26高三上·上海·期末）同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中三人两两不相邻，和是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有 种. 【答案】72 【分析】用插空法求解.先将除A，B，C三人的其余三人排序，再安排D，最后将B，C插入剩余三个空位即可. 【详解】分三步： 第一步，先将除A，B，C三人的其余三人进行排序，有种方法； 第二步，第一步排好后有4个空位，因为A和D必须相邻，所以A只能插入与D相邻的两个空位，有2种方法； 第三步，最后将B，C插入剩余三个空位，有种方法. 由分步乘法计数原理得，共有种方法. 故答案为：. 三、解答题 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）（1）解不等式： （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，将原不等式化简为，求解，再根据，即可求出结果； （2）由排列数的公式将左边化简整理，即可得出结果. 【详解】（1）由，得， 化简得，解之得，① 又，可得，② 由①②及得. （2） ， 因此，. 18．（24-25高二上·上海·期中）班级迎新晚会有3个唱歌节目、2个相声节目和1个魔术节目，要求排出一个节目单. (1)魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？ (2)3个唱歌节目要排在一起，有多少种排法? 【答案】(1)600； (2). 【分析】（1）先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，再将其余5个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解； （2）先将3个歌唱节目捆绑在一起，再与其余3个节目全排列，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】（1）魔术节目不排在最后一个节目， 则先从3个唱歌节目和2个相声节目中选1个放在最后，有5种排法； 其余5个节目任意排，有种排法， 所以魔术节目不排在最后一个节目，有种排法. （2）将3个歌唱节目捆绑在一起，看成1个节目有种， 与其余3个节目一起排共种， 则3个唱歌节目要排在一起，有种排法． 19．（21-22高二下·上海浦东新·期中）有六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，如果： (1)A，B两人不排在一起，有几种排法？ (2)C，D两人必须排在一起，有几种排法？ (3)E不在排头，F不在排尾，有几种排法？ 【答案】(1)种 (2)种 (3)种 【分析】（1）利用插空法可以求解； （2）利用捆绑法可以求解； （3）分两种情况讨论，①若E在排尾， ②若E不在排尾，分别求出排法种数，即可求得答案. 【详解】（1）先排除A，B外的四个人，再将A，B插入到其余4人所形成的5个空中， 因此，排法种数为； （2）将C，D两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他4人去安排， 因此，排法种数为； （3）E不在排头，F不在排尾，分以下两种情况讨论： ①若E在排尾，则剩下的5人全排列，故有种排法； ②若E不在排尾，则E有4个位置可选，B有4个位置可选， 将剩下的4人全排列，安排在其它4个位置即可，此时，共有种排法． 综上所述，共有种不同的排法种数． 20．（22-23高二下·上海浦东新·期中）4男3女排队拍照． (1)女生不在两边的排法有多少种？ (2)恰有3个男生连排的排法有多少种？ (3)甲在乙的左边的排法有多少种？ 【答案】(1) (2)1728 (3)2520 【分析】（1）先排两边，剩余位置全排列即可； （2）讨论3个男生连排看成整体M的位置，结合排列数运算求解； （3）先进行全排列，再结合对称性分析求解. 【详解】（1）女生不在两边，则两边均为男生，有种不同排法， 剩余的男、女生全排列，有种不同排法， 所以共有种不同排法. （2）3个男生连排看成整体M，有种不同排法， 相当于M，1男3女排队，且M与1男不能连排， 先将3女进行排列，有种， 再将M和1男插到3女所成的4个空中，有种， 所以共有种排法. （3）4男3女的排法有种， 根据对称可知：甲在乙的左边的排法有种. 21．（22-23高三上·上海浦东新·期中）由，，，，，，，，，按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为，设，其中． (1)若，求的值； (2)求证：； (3)求的最大值． 【答案】(1)57 (2)证明见解析 (3)131 【分析】（1）把数据逐个代入，求解可得答案； （2）利用绝对值和的性质进行求解； （3）先求这10个数的2倍和3倍数，相对较大的10个数与较小10个数差为最大值. 【详解】（1）因为，所以. （2）证明：因为 . （3），，，，，，，，，的2倍与3倍共20个数如下： 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30. 其中较大的10个数之和为203，较小的10个数之和为72，所以， 当时， ， 所以的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$